复合函数求导经典例题
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2023年2月25日发(作者：耐药菌感染).
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复合函数求导练习题
一．选择题〔共26小题〕
1．设，那么f′〔2〕=〔〕
A．B．C．D．
2．设函数f〔x〕=g〔x〕+x+lnx，曲线y=g〔x〕在点〔1，g〔1〕〕处的切线方程为y=2x+1，
那么曲线y=f〔x〕在点〔1，f〔1〕〕处的切线方程为〔〕
A．y=4xB．y=4x﹣8C．y=2x+2D．
3．以下式子不正确的选项是〔〕
A．〔3x2+cosx〕′=6x﹣sinxB．〔lnx﹣2x〕′=ln2
C．〔2sin2x〕′=2cos2xD．〔〕′=
4．设f〔x〕=sin2x，那么=〔〕
A．B．C．1D．﹣1
5．函数y=cos〔2x+1〕的导数是〔〕
A．y′=sin〔2x+1〕B．y′=﹣2xsin〔2x+1〕
C．y′=﹣2sin〔2x+1〕D．y′=2xsin〔2x+1〕
6．以下导数运算正确的选项是〔〕
A．〔x+〕′=1+B．〔2x〕′=x2x﹣1C．〔cosx〕′=sinxD．〔xlnx〕′=lnx+1
7．以下式子不正确的选项是〔〕
A．〔3x2+xcosx〕′=6x+cosx﹣xsinxB．〔sin2x〕′=2cos2x
C．D．
8．函数f〔x〕=e2x+1﹣3x，那么f′〔0〕=〔〕
A．0B．﹣2C．2e﹣3D．e﹣3
9．函数的导数是〔〕
A．B．
.
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C．D．
10．函数f〔x〕=sin2x，那么f′〔x〕等于〔〕
A．cos2xB．﹣cos2xC．sinxcosxD．2cos2x
11．y=esinxcosx〔sinx〕，那么y′〔0〕等于〔〕
A．0B．1C．﹣1D．2
12．以下求导运算正确的选项是〔〕
A．B．
C．〔〔2x+3〕2〕′=2〔2x+3〕D．〔e2x〕′=e2x
13．假设，那么函数f〔x〕可以是〔〕
A．B．C．D．lnx
14．设
，那么f
2021
〔x〕=〔〕
A．22021〔cos2x﹣sin2x〕B．22021〔sin2x+cos2x〕
C．22021〔cos2x+sin2x〕D．22021〔sin2x+cos2x〕
15．设f〔x〕=cos22x，那么=〔〕
A．2B．C．﹣1D．﹣2
16．函数的导数为〔〕
A．B．
C．D．
17．函数y=cos〔1+x2〕的导数是〔〕
A．2xsin〔1+x2〕B．﹣sin〔1+x2〕C．﹣2xsin〔1+x2〕D．2cos〔1+x2〕
18．函数y=sin〔﹣x〕的导数为〔〕
A．﹣cos〔+x〕B．cos〔﹣x〕C．﹣sin〔﹣x〕D．﹣sin〔x+〕
.
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19．函数f〔x〕在R上可导，对任意实数x，f'〔x〕＞f〔x〕；假设a为任意的正实数，以下
式子一定正确的选项是〔〕
A．f〔a〕＞eaf〔0〕B．f〔a〕＞f〔0〕C．f〔a〕＜f〔0〕D．f〔a〕＜eaf〔0〕
20．函数y=sin〔2x2+x〕导数是〔〕
A．y′=cos〔2x2+x〕B．y′=2xsin〔2x2+x〕
C．y′=〔4x+1〕cos〔2x2+x〕D．y′=4cos〔2x2+x〕
21．函数f〔x〕=sin2x的导数f′〔x〕=〔〕
A．2sinxB．2sin2xC．2cosxD．sin2x
22．函数的导函数是〔〕
A．f'〔x〕=2e2xB．
C．D．
23．函数的导数为〔〕
A．B．
C．D．
24．y=sin〔3﹣4x〕，那么y′=〔〕
A．﹣sin〔3﹣4x〕B．3﹣cos〔﹣4x〕C．4cos〔3﹣4x〕D．﹣4cos〔3﹣4x〕
25．以下结论正确的选项是〔〕
A．假设，B．假设y=cos5x，那么y′=﹣sin5x
C．假设y=sinx2，那么y′=2xcosx2D．假设y=xsin2x，那么y′=﹣2xsin2x
26．函数y=的导数是〔〕
A．B．
C．D．
二．填空题〔共4小题〕
27．设y=f〔x〕是可导函数，那么y=f〔〕的导数为．
.
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28．函数y=cos〔2x2+x〕的导数是．
29．函数y=ln的导数为．
30．假设函数，那么的值为．
参考答案与试题解析
一．选择题〔共26小题〕
1．〔2021春•XX校级期中〕设，那么f′〔2〕=〔〕
A．B．C．D．
【解答】解：∵f〔x〕=ln，令u〔x〕=，那么f〔u〕=lnu，
∵f′〔u〕=，u′〔x〕=•=，
由复合函数的导数公式得：
f′〔x〕=•=，
∴f′〔2〕=．
应选B．
2．〔2021•怀远县校级模拟〕设函数f〔x〕=g〔x〕+x+lnx，曲线y=g〔x〕在点〔1，g〔1〕〕
处的切线方程为y=2x+1，那么曲线y=f〔x〕在点〔1，f〔1〕〕处的切线方程为〔〕
A．y=4xB．y=4x﹣8C．y=2x+2D．
【解答】解：由g′〔1〕=2，而，
所以f′〔1〕=g′〔1〕+1+1=4，即切线斜率为4，
又g〔1〕=3，
故f〔1〕=g〔1〕+1+ln1=4，
故曲线y=f〔x〕在点〔1，f〔1〕〕处的切线方程为y﹣4=4〔x﹣1〕，即y=4x，
应选A．
3．〔2021春•永寿县校级期中〕以下式子不正确的选项是〔〕
A．〔3x2+cosx〕′=6x﹣sinxB．〔lnx﹣2x〕′=ln2
.
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C．〔2sin2x〕′=2cos2xD．〔〕′=
【解答】解：由复合函数的求导法那么
对于选项A，〔3x2+cosx〕′=6x﹣sinx成立，故A正确
对于选项B，成立，故B正确
对于选项C，〔2sin2x〕′=4cos2x≠2cos2x，故C不正确
对于选项D，成立，故D正确
应选C
4．〔2021春•XX市校级期中〕设f〔x〕=sin2x，那么=〔〕
A．B．C．1D．﹣1
【解答】解：因为f〔x〕=sin2x，所以f′〔x〕=〔2x〕′cos2x=2cos2x．
那么=2cos〔2×〕=﹣1．
应选D．
5．〔2021秋•阜城县校级月考〕函数y=cos〔2x+1〕的导数是〔〕
A．y′=sin〔2x+1〕B．y′=﹣2xsin〔2x+1〕
C．y′=﹣2sin〔2x+1〕D．y′=2xsin〔2x+1〕
【解答】解：函数的导数y′=﹣sin〔2x+1〕〔2x+1〕′=﹣2sin〔2x+1〕，
应选：C
6．〔2021春•XX月考〕以下导数运算正确的选项是〔〕
A．〔x+〕′=1+B．〔2x〕′=x2x﹣1C．〔cosx〕′=sinxD．〔xlnx〕′=lnx+1
【解答】解：根据导数的运算公式可得：
A，〔x+〕′=1﹣，故A错误．
B，〔2x〕′=lnx2x，故B错误．
C，〔cosx〕′=﹣sinx，故C错误．
D．〔xlnx〕′=lnx+1，正确．
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应选：D
7．〔2021春•海曙区校级期末〕以下式子不正确的选项是〔〕
A．〔3x2+xcosx〕′=6x+cosx﹣xsinxB．〔sin2x〕′=2cos2x
C．D．
【解答】解：因为〔3x2+xcosx〕′=6x+cosx﹣xsinx，所以选项A正确；
〔sin2x〕′=2cos2x，所以选项B正确；
，所以C正确；
，所以D不正确．
应选D．
8．〔2021春•XX期中〕函数f〔x〕=e2x+1﹣3x，那么f′〔0〕=〔〕
A．0B．﹣2C．2e﹣3D．e﹣3
【解答】解：∵f′〔x〕=2e2x+1﹣3，∴f′〔0〕=2e﹣3．
应选C．
9．〔2021春•黔西南州校级月考〕函数的导数是〔〕
A．B．
C．D．
【解答】解：∵函数，
∴y′=3cos〔3x+〕×3=，
应选B．
10．〔2021春•XX市校级月考〕函数f〔x〕=sin2x，那么f′〔x〕等于〔〕
A．cos2xB．﹣cos2xC．sinxcosxD．2cos2x
【解答】解：由f〔x〕=sin2x，那么f′〔x〕=〔sin2x〕′=〔cos2x〕•〔2x〕′=2cos2x．
所以f′〔x〕=2cos2x．
应选D．
11．〔2021秋•惠农区校级月考〕y=esinxcosx〔sinx〕，那么y′〔0〕等于〔〕
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A．0B．1C．﹣1D．2
【解答】解：∵y=esinxcosx〔sinx〕，
∴y′=〔esinx〕′cosx〔sinx〕+esinx〔cosx〕′〔sinx〕+esinx〔cosx〕〔sinx〕′
=esinxcos2x〔sinx〕+esinx〔﹣sin2x〕+esinx〔cos2x〕
∴y′〔0〕=0+0+1=1
应选B
12．〔2021秋•XX期末〕以下求导运算正确的选项是〔〕
A．B．
C．〔〔2x+3〕2〕′=2〔2x+3〕D．〔e2x〕′=e2x
【解答】解：因为，所以选项A不正确；
，所以选项B正确；
〔〔2x+3〕2〕′=2〔2x+3〕•〔2x+3〕′=4〔2x+3〕，所以选项C不正确；
〔e2x〕′=e2x•〔2x〕′=2e2x，所以选项D不正确．
应选B．
13．〔2021秋•XX区期末〕假设，那么函数f〔x〕可以是〔〕
A．B．C．D．lnx
【解答】解：；
；
；
．
所以满足的f〔x〕为．
应选A．
.
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14．〔2021秋•庐阳区校级月考〕设
，那么f
2021
〔x〕=〔〕
A．22021〔cos2x﹣sin2x〕B．22021〔sin2x+cos2x〕
C．22021〔cos2x+sin2x〕D．22021〔sin2x+cos2x〕
【解答】解：∵f
0
〔x〕=sin2x+cos2x，∴f
1
〔x〕==2〔cos2x﹣sin2x〕，f
2
〔x〕==22
〔﹣sin2x﹣cos2x〕，
f
3
〔x〕==23〔﹣cos2x+sin2x〕，f
4
〔x〕==24〔sin2x+cos2x〕，…
通过以上可以看出：f
n
〔x〕满足以下规律，对任意n∈N，．
∴f
2021
〔x〕=f
503×4+1
〔x〕=22021f
1
〔x〕=22021〔cos2x﹣sin2x〕．
应选：B．
15．〔2021•潜江校级模拟〕设f〔x〕=cos22x，那么=〔〕
A．2B．C．﹣1D．﹣2
【解答】解：∵f〔x〕=cos22x=
∴=﹣2sin4x
∴
应选D．
16．〔2021秋•平遥县校级期末〕函数的导数为〔〕
A．B．
C．D．
【解答】解：∵
∴
.
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∴=
应选D
17．〔2021春•南湖区校级月考〕函数y=cos〔1+x2〕的导数是〔〕
A．2xsin〔1+x2〕B．﹣sin〔1+x2〕C．﹣2xsin〔1+x2〕D．2cos〔1+x2〕
【解答】解：y′=﹣sin〔1+x2〕•〔1+x2〕′=﹣2xsin〔1+x2〕
应选C
18．〔2021春•瑞安市校级月考〕函数y=sin〔﹣x〕的导数为〔〕
A．﹣cos〔+x〕B．cos〔﹣x〕C．﹣sin〔﹣x〕D．﹣sin〔x+〕
【解答】解：∵函数y=sin〔﹣x〕可看成y=sinu，u=﹣x复合而成且y
u
′=〔sinu〕′=cosu，
∴函数y=sin〔﹣x〕的导数为y′=y
u
′u
x
′=﹣cos〔﹣x〕=﹣sin[﹣〔﹣x〕]=﹣sin
〔+x〕
故答案选D
19．〔2021春•龙港区校级月考〕函数f〔x〕在R上可导，对任意实数x，f'〔x〕＞f〔x〕；
假设a为任意的正实数，以下式子一定正确的选项是〔〕
A．f〔a〕＞eaf〔0〕B．f〔a〕＞f〔0〕C．f〔a〕＜f〔0〕D．f〔a〕＜eaf〔0〕
【解答】解：∵对任意实数x，f′〔x〕＞f〔x〕，
令f〔x〕=﹣1，那么f′〔x〕=0，满足题意
显然选项A成立
应选A．
20．〔2021•永州校级模拟〕函数y=sin〔2x2+x〕导数是〔〕
A．y′=cos〔2x2+x〕B．y′=2xsin〔2x2+x〕
C．y′=〔4x+1〕cos〔2x2+x〕D．y′=4cos〔2x2+x〕
【解答】解：设y=sinu，u=2x2+x，
.
.v
那么y′=cosu，u′=4x+1，
∴y′=〔4x+1〕cosu=〔4x+1〕cos〔2x2+x〕，
应选C．
21．〔2021•祁阳县校级模拟〕函数f〔x〕=sin2x的导数f′〔x〕=〔〕
A．2sinxB．2sin2xC．2cosxD．sin2x
【解答】解：
将y=sin2x写成，
y=u2，u=sinx的形式．
对外函数求导为y′=2u，
对内函数求导为u′=cosx，
故可以得到y=sin2x的导数为
y′=2ucosx=2sinxcosx=sin2x
应选D
22．〔2021春•XX区期末〕函数的导函数是〔〕
A．f'〔x〕=2e2xB．
C．D．
【解答】解：对于函数，
对其求导可得：f′〔x〕===；
应选C．
23．〔2021春•房山区期中〕函数的导数为〔〕
A．B．
C．D．
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【解答】解：令y=3sint，t=2x﹣，那么y′=〔3sint〕′•〔2x﹣〕′=3cos〔2x﹣〕
•2=，
应选A．
24．〔2021春•瑞安市校级期中〕y=sin〔3﹣4x〕，那么y′=〔〕
A．﹣sin〔3﹣4x〕B．3﹣cos〔﹣4x〕C．4cos〔3﹣4x〕D．﹣4cos〔3﹣4x〕
【解答】解：由于y=sin〔3﹣4x〕，
那么y′=cos〔3﹣4x〕×〔3﹣4x〕′=﹣4cos〔3﹣4x〕
应选D
25．〔2006春•XX期末〕以下结论正确的选项是〔〕
A．假设，B．假设y=cos5x，那么y′=﹣sin5x
C．假设y=sinx2，那么y′=2xcosx2D．假设y=xsin2x，那么y′=﹣2xsin2x
【解答】解：函数的导数为，，∴A错误
函数y=cos5x的导数为：y′=﹣5sin5x，∴B错误
函数y=sinx2的导数为：y′=2xcosx，，∴C正确
函数y=xsin2x的导数为：y′=sin2x+2xcos2x，∴D错误
应选C
26．函数y=的导数是〔〕
A．B．
C．D．
【解答】解：由复合函数的求导法那么可得，•[ln〔x2+1〕]′ln2
=〔1+x2〕′ln2
=•ln2
应选A
二．填空题〔共4小题〕
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27．〔2021春•巨野县校级期中〕设y=f〔x〕是可导函数，那么y=f〔〕的导数为
y′=f′〔〕．
【解答】解：设y=f〔u〕，u=，
那么y′=f'〔u〕，u′=，
∴y′=f′〔〕
故答案为：y′=f′〔〕．
28．〔2021春•X兴区校级月考〕函数y=cos〔2x2+x〕的导数是﹣〔4x+1〕sin〔2x2+x〕．
【解答】解：y′=﹣〔4x+1〕sin〔2x2+x〕，
故答案为﹣〔4x+1〕sin〔2x2+x〕．
29．〔2021•洞口县校级模拟〕函数y=ln的导数为．
【解答】解：y′=〔〕′=•
〔〕′=•.
=•=
故答案为：
30．〔2021春•雁塔区校级期中〕假设函数，那么的值
为．
.
.v
【解答】解：由
故
=
故答案为：．