青岛实验高级中学
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2023年2月21日发(作者：)2022-2023学年山东省青岛市即墨区实验高级中学高一上学期期中数
学试题
一、单选题
1
．已知集合
A
，
B
和全集
U={1
，
2
，
3
，
4}
，且
A={1
，
2
，
3}
，
B={3
，
4}
，则U
BA
（）
A
．
{4}B
．C
．
{3
，
4}D
．
{3}
【答案】A
【分析】求出
U
A
，再求交集即可
.
【详解】因为4
U
A
，=34,B
，
所以4
U
AB
.
故选：A.
2．命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是（）
A
．xR，
0x
B
．0
xR，
0
0x
C
．xR，
0x
D
．0
xR，
0
0x
【答案】C
【分析】原命题为特称命题，根据特称命题的否定是全称命题进行否定即可.
【详解】命题
“
有些实数的绝对值是正数
”
是特称命题，根据特称命题的否定是全称命题，所以命题
的否定应该是
“
所有实数的绝对值都不是正数
”
，即xR，
0x
.
故选：C.
【点睛】本题考查含有量词的命题的否定，要求熟练掌握特称命题的否定是全称命题，全称命题的
否定是特称命题，属于基础题.
3
．已知命题
“Rx，使得2110xax
”
是真命题，则
a
的取值范围是（）
A
．,1
B
．1,3
C
．3,
D
．,13,
【答案】D
【分析】由题意可知：不等式对应的二次函数开口向上，若命题
“Rx，使得2110xax
”
是真命题，则相应的二次方程有不等的实根
,
利用判别式即可求解
.
【详解】因为命题
“
Rx，使得2110xax
”
是真命题，
所以方程2110xax
有两个不等的实数根，所以2(1)40a
，
解得：1a或
3a
，
故选：D
.
4
．已知函数3
2
22,1
,1
xxx
fx
xaxx
，若02ff
，实数
a
（）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】先求得02f
，再由(2)0224ffaf
，即可求得答案
.
【详解】由题意可得02f
，故(2)4202,3ffaaf
，
故选：B.
5
．设命题甲：
|x
－
2|
＜
3
，命题乙：
05x
，那么甲是乙的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】因为命题甲：
|x
－
2|
＜
3
，解得：
15x
，命题乙：
05x
,
所以乙
甲且甲推不出乙，甲是乙的必要而不充分条件，
故选
:
B．
6
．已知0.20.3
2
log0.2,2,0.2abc
，则
A
．abcB
．acbC
．
c
．
b
【分析】运用中间量0比较
,ac
，运用中间量1比较
,bc
【详解】
22
log0.2log10,a0.20221,b0.3000.20.21,
则
01,cacb
．故选
B
．
【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利
用转化与化归思想解题．
7
．
1614
年纳皮尔在研究天文学的过程中，为了简化计算面发明对数；
1637
年笛卡尔开始使用指数
运算；
1707
年欧拉发现了指数与对数的互逆关系，对数源于指数，对数的发明先于指数，这已成为
历史珍闻
.3e2.5x
，
lg20.3010
，
lge0.4343
，估计
x
的值约为（）
A．0.1654B．0.2314C．0.3055D．0.4897
【答案】C
【分析】根据指数与对数式的互化，可得x的表达式，利用对数运算，结合已知可求得答案.
【详解】由3e2.5x
可得
3lgelg2.5x
，即
5
lg
12lg2120.3010
2
0.3055
3lge3lge30.4343
x
,
故选：C.
8
．已知定义在R上函数fx
，对任意的
1
x
，
2
2023,x
且
12
xx
，都有
1212
0xxfxfx
，若函数2023yfx
为奇函数，202320230ab
且
4046ab
，则（）
A
．0fafb
B
．0fafb
C
．0fafb
D
．fafb
的值与
0
的大小关系不确定
【答案】C
【分析】根据题意，先求出函数的单调性和对称中心，然后已知条件进行转化，进而求出结果.
【详解】由题意可知：定义在R上函数fx
，
12
,[2023,)xx
且
12
xx
，
都有
1212
0xxfxfx
，则fx
在区间
[2023,)
上单调递减，
又因为函数2023yfx
为奇函数，则
(2023)(2023)fxfx
，
当
0x
时，则
(2023)(2023)ff
，也即
(2023)0f
，
又因为函数2023yfx
关于原点
(0,0)
对称，则函数fx
的图象关于点
(2023,0)
对称，所以函数
fx
在R上单调递减，因为202320230ab
，
设
ab
，则
2023,2023ab
，则有
()0,()0fafb
，
又因为
4046ab
，则0fafb
，
故选：
C.
二、多选题
9
．已知集合21,2,4mMm
，且
5M
，则
m
的可能取值有（）
A
．
1B
．1
C
．
3D
．
2
【答案】AC
【解析】利用
5M
，可得
25m
或245m
，解出
m
的值代入集合验证满足元素互异性即可
.
【详解】因为
5M
，所以
25m
或245m
，解得：3m，或1m，1m，
当3m时，
1,5,13M
，符合题意，
当1m时，
1,3,5M
，符合题意，
当1m时，
1,1,5M
，不满足元素互异性，不成立
所以3m或1m，
故选：AC
【点睛】本题主要考查了元素的确定性和互异性，属于基础题.
10
．已知
,,,abcd
是实数，则下列一定正确的有（）
A
．若
11
ab
，则
ab
B
．若
0ab
，0cd，则acbd
C
．
0a
，
1a
，若
loglog
aa
MN
，则MN
D
．
0a
，
1a
，若MN，则
loglog
aa
MN
【答案】BC
【分析】根据不等式的性质，结合特殊值，对每个选项进行逐一分析即可选择.
【详解】对
A
：当
2,1ab
时，满足
11
ab
，但不满足
ab
，故
A
错误；
对
B
：若
0ab
，0cd，则
0ab
，
0cd
故可得
acbd
，故
B
正确；
对
C
：因为
log
a
yx
为0,
上的单调函数，
故当
loglog
aa
MN
时，一定有
MN
，故
C
正确；
对
D
：若
0MN
，
log,log
aa
MN
没有意义，故
D
错误
.
故选：BC.
11
．已知yfx
可用列表法表示如下
:
x
12345
fx
23423
若1ffxx
，则
x
可以取（）
A
．2
B
．
3C
．4D
．
5
【答案】BCD
【分析】根据所给函数关系一一代入计算可得；
【详解】解：当2x时，23421fff
，故不适合
;
当
3x
时，34231fff
适合
;
当4x时，42341fff
适合
;
当
5x
时，53451fff
适合，
所以
3x
或4或
5
.
故选：BCD
12．下列说法正确的有（）
A
．若
1
2
x
，则
1
2
21
x
x
的最大值是
1
B
．若
x
，
y
，z都是正数，且
2xyz
，则
41
1xyz
的最小值是
3
C
．若
0x
，
0y
，
228xyxy
，则
2xy
的最小值是
2
D
．若实数
x
，
y
满足
0xy
，则
2
2
xy
xyxy
的最大值是422
【答案】ABD
【分析】对于
A
，凑分母，结合基本不等式，可得答案；对于
B
，根据基本不等式，结合
“1”
的妙用，
可得答案；对于
C
，根据基本不等式的变式，整理出关于所求整式的二次不等式，可得答案；对于
D
，采用换元法，设
x
t
y
，
0t
，可将原式化简为
1
1
2
3t
t
，结合基本不等式，可得答案．
【详解】对于
A
，因为
1
2
x
，所以
210x
，所以
120x
，
所以
11
2211
2121
xx
xx
11
12121211
1212
xx
xx
，
当且仅当
1
12
12
x
x
，即
0x
时等号成立，所以
1
2
21
x
x
的最大值为1，故
A
正确；
对于
B
，因为
x
，
y
，
z
都是正数，且
2xyz
，所以13xyz，
10x
，
0yz
，
所以
41141
1
131
xyz
xyzxyz
44
1111
5523
3131
yzyz
xx
xyzxyz
，
当且仅当
4
1
1
yz
x
xyz
，即12xyz
，即
1
1
x
yz
时等号成立，所以
41
1xyz
的最小值为
3
，故
B
正确；
对于
C
，因为0x，
0y
，所
22
2
2
xy
xy
，即
22
2
4
xy
xy
（当且仅当
2xy
时等号成立），
因为
228xyxy
，所以282xyxy
，所以
22
82
4
xy
xy
，
所以2242320xyxy
，解得
28xy
（舍去）或
24xy
，当且仅当
2,1xy
时等
号成立，
所以
2xy
的最小值为
4
，故
C
错误；
对于
D
，
22
2
12
x
xy
y
xx
xyxy
yy
，设
x
t
y
，
0t
，
2
2
22+2221
11
2
2121232
3
xyttttt
xyxytttttt
t
t
∵
22
222tt
tt
，当且仅当
2
t
t
，即
2t
时，取等号
∴
11
111322422
2
223
3t
t
则
2
2
xy
xyxy
的最大值为422，故
D
正确．
故选：ABD.
三、填空题
13
．已知集合1(,)|,(,)|AxyyxBxyyx
，则
AB
__________
．
【答案】
1,1,1,1
【分析】解方程组
1
1
yx
yx
x
，即可得AB.
【详解】联立
1
1
yx
yx
x
，解得
1
1
x
y
或
1
1
x
y
，
故1,1,1,1AB
.
故答案为：
1,1,1,1
.
14
．设
3
log42a
，则
4a的值为
________
．
【答案】
1
9
【分析】根据对数运算性质化简求值即可.
【详解】44
3
2
2log3log
lg4
9
o
a
，4
4
1
log
log9
9
1
444
9
a
.
故答案为：
1
9
.
15
．若函数2325fxkxkx
在,1
上单调递减，则
k
的取值范围是
______.
【答案】
1
[0,]
2
【分析】根据二次函数和一次函数的单调性分类讨论求解即可.
【详解】当
0k
时，25fxx
，显然该函数在,1
上单调递减；
当
0k
时，该函数的对称轴为：
32k
x
k
，
要想该函数在,1
上单调递减，
只需满足
0
1
0
32
2
1
k
k
k
k
，
综上所述：
k
的取值范围是
1
[0,]
2
，
故答案为：
1
[0,]
2
四、双空题
16
．已知函数
2,2
()
1
,3
2
xxxc
fx
cx
x
，若
0c
，则fx
的值域是
_________
；若fx
的值域是
1
,2
4
，则参数
c
的取值范围是
_________.
【答案】
1
[,)
4
；
1
[,1]
4
.
【分析】第一空，根据分段函数的解析式，分段求解函数值的范围，取并集可得答案;
第二空，结合二次函数的性质，根据题意得到参数需满足的不等式，求得答案.
【详解】当
0c
时，
2,20
()
1
,03
2
xxx
fx
x
x
，
当
20x
时，22
111
()()[,2]
244
fxxxx
，
当
03x
时，
11
()[,)
26
fx
x
，
故fx
的值域是
1
[,)
4
；
若fx
的值域是
1
,2
4
，
因为
2,1x
时，2()2fxxx
，
因为
1
2
x
时，2
1
()
4
fxxx
，故需满足01c，
又因为需满足
1
2
2c
，则
1
4
c
，故参数
c
的取值范围是
1
1
4
c
，即
1
[,1]
4
c
，
故答案为：
1
[,)
4
;
1
[,1]
4
.
五、解答题
17
．（
1
）
6
0
32
3
12
(8)0.25
22
；
（
2
）7
log3
3
334
log27lg25lg47log8log3.
【答案】（
1
）
17
2
；（
2
）
1.
【分析】（1）根据指数幂的运算法则，化简计算，可得答案；
（2）根据对数的运算法则，化简计算，可得答案.
【详解】（
1
）
6
0
326
3
121
(8)0.2581(2)
2216
117
9
22
；
（
2
）7
log3
3
334
log27lg25lg47log8log3
1
lg3
33lg2
3
lg2543
2lg32lg2
31
+23+1
22
.
18
．已知集合1Axxm
，
5
0
1
x
Bx
x
.
(1)
若0m，求R
AB
；
(2)
若
xA是
xB的充分不必要条件，求实数
m
的取值范围
.
【答案】
(1)
{|11}xx
；
(2)2m.
【分析】（
1
）确定集合A
,
求得集合
B,
以及其补集，根据交集运算即可求得答案
;
（
2
）根据
xA是
xB的充分不必要条件，可得A
B
,
从而可得关于
m
的不等式，求得答案
.
【详解】（
1
）当
0m
时，1Axx
，
5
0(5)(1)0{|1
1
x
Bxxxxxx
x
或5}x，
则
R
{|15}Bxx
，
故
R
{|11}ABxx
；
（
2
）若
xA是
xB的充分不必要条件，则A
B
,
故
11,2mm
，即实数
m
的取值范围是
2m.
19
．函数fx
是定义在R上的奇函数，已知当
0x
时，223fxxx
；
(1)
求函数fx
的解析式并画出函数图象，根据图像写出函数fx
的单调增区间；
(2)
若方程0fxm
有
3
个相异的实数根，求实数
m
的取值集合；
(3)
求不等式2fx
的解集
.
【答案】(1)见解析
(2)0mm
或
43m
或34m
；
(3)120xx
或16x
；
【分析】（1）利用奇函数的定义即可求解析式，从而可得函数的图象，利用图象即可得单调增区间；
（
2
）问题转化为函数yfx
与
ym
的图象有
3
个交点，结合图象即可求解；
（
3
）对
x
分类讨论，求出不等式的解集，再求并集即可
【详解】（
1
）当0x时，223fxxx
，
令0x，则0x，
则2
22323fxxxxx
，
又函数fx
是定义在R上的奇函数，
所以223fxfxxx
，
所以223fxxx
，
又00f
，
所以函数fx
的解析式为
2
2
23,0
0,0
23,0
xxx
fxx
xxx
，
作出函数fx
的图象如下：
由图象可知：函数fx
的单调增区间为,1
和1,
；
（
2
）若方程0fxm
有
3
个相异的实数根，
则函数yfx
与
ym
的图象有
3
个交点，
由图象可知0m或
43m
或
34m
，
所以实数
m
的取值集合是0mm
或
43m
或34m
；
（
3
）当0x时，不等式2fx
即为2232xx
，
即2210xx
，解得
120x
；
当
0x
时，不等式2fx
即为
02
，显然不成立；
当
0x
时，不等式2fx
即为2232xx
，
即2250xx
，解得
16x
；
综上，不等式2fx
的解集为120xx
或16x
；
20
．已知2()21()fxmxxmR.
(1)
若0fx
的解集为1xnx
，求实数
m
、
n
的值；
(2)
求关于
x
的不等式2()(1)21fxmxmxm
的解集
.
【答案】
(1)
1
3,
3
mn
；
(2)答案见解析.
【分析】（1）根据不等式的解集可确定相应的方程的两根，根据根与系数的关系列出等式，求得答
案;
（
2
）化简2()(1)21fxmxmxm
，确定相应方程的根，分类讨论，确定不等式的解集
.
【详解】（
1
）由题意0fx
的解集为1xnx
，
可得
1
和
n
是方程2210mxx
的两实数解，且0m，
则
21
1,1nn
mm
，解得
1
3,
3
mn
；
（
2
）关于
x
的不等式2()(1)21fxmxmxm
，
即2221(1)21mxxmxmxm
，即2(2)20xmxm
，
即
2(0)()xmx
，
当2m时，2(2)0x，不等式2()(1)21fxmxmxm
的解集为；
当m>2时，不等式2()(1)21fxmxmxm
的解集为
(2,)m
；
当
m<2
时，不等式2()(1)21fxmxmxm
的解集为(,2)m.
21
．世界范围内新能源汽车的发展日新月异，电动汽车主要分三类：纯电动汽车、混合动力电动汽
车和燃料电池电动汽车
.
这
3
类电动汽车目前处在不同的发展阶段，并各自具有不同的发展策略
.
中国
的电动汽车革命也早已展开，以新能源汽车替代汽（柴）油车，中国正在大力实施一项将重新塑造
全球汽车行业的计划
.2022
年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定
成本
2000
万元，每生产
x
（百辆），需另投入成本Cx
（万元），且
210100,040
10000
5014500,40
xxx
Cx
xx
x
；
已知每辆车售价
5
万元，由市场调研知，全年内生产的车辆当年能全部销售完
.
(1)
求出
2022
年的利润Lx
（万元）关于年产量
x
（百辆）的函数关系式；
(2)2022年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.
【答案】
(1)
2104002000,040
()
10000
2500,40
xxx
Lx
xx
x
;
(2)100（百辆），2300万元.
【分析】（
1
）根据利润Lx
收入
-
总成本，即可求得Lx
（万元）关于年产量
x
（百辆）的函数关
系式；
（
2
）分段求得函数Lx
的最大值，比较大小可得答案
.
【详解】（
1
）由题意知利润Lx
收入
-
总成本，
所以利润
2104002000,040
()51002000()
10000
2500,40
xxx
LxxCx
xx
x
,
故
2022
年的利润Lx
（万元）关于年产量
x
（百辆）的函数关系式为
2104002000,040
()
10000
2500,40
xxx
Lx
xx
x
.
（
2
）当040x时，22()1(20)2000Lxxxx
，
故当
20x
时，
max
()2000Lx
；
当40x时，
1000010000
()25Lxxx
xx
,
当且仅当
10000
x
x
，即
100x
时取得等号；
综上所述，当产量为100（百辆）时，取得最大利润，最大利润为2300万元．
22
．对于函数,yfxxI
，若存在0
xI，使得
00
fxx
，则称
0
x为函数yfx
的
“
不动点
”;
若存在0
xI，使得
00
ffxx
，则称
0
x为函数yfx
的
“
稳定点
”.
记函数
()yfx
的
“
不动点
”
和
“
稳定点
”
的集合分别为
A
和
B
，即(),Axfxx(()).Bxffxx
(1)
设函数
()21fxx
，求
A
和
B
；
(2)请探究集合A和B的关系，并证明你的结论；
(3)
若21R,Rfxaxax
，且
AB
，求实数
a
的取值范围
.
【答案】
(1)
{1}A
，
{1}B
；
(2)
AB
，证明见解析；
(3)
31
44
a
.
【分析】（
1
）根据不动点、稳定点定义，令
()fxx
、
(())ffxx
求解，即可得结果；
（
2
）问题化为()fx与
yx
有交点，根据交点横纵坐标的关系知(())()ffxfxx，即可证
AB
.
（
3
）问题化为210axx
有实根、222(1)(1)0axaxxaxa
中2210axaxa
无实根，
或与210axx
有相同的实根，求参数
a
范围
.
【详解】（
1
）令
()21fxxx
，可得
=1x
，故
{1}A
；
令
(21)2(21)1fxxx
，可得
=1x
，故
{1}B
.
（
2
）
AB
，证明如下：
由题意，不动点为()fx与
yx
的交点横坐标，稳定点为
(())ffx
与
yx
的交点横坐标，
若()fx与
yx
有交点，则横纵坐标相等，则(())()ffxfxx，
所以
AB
.
（
3
）由
AB
，则：
令2()1fxaxx
，即210axx
有实根，
当
0a
时，
1x
，符合题设；
当
0a
时，
140a
，可得
1
4
a
.
令22(())(1)1ffxaaxx
，即3422210axaxxa
有实根，
所以222(1)(1)0axaxxaxa
，
因为AB，则2210axaxa
无实根，或有与210axx
相同的实根，
当2210axaxa
无实根，有224(1)0aaa
且20a
，可得
3
4
a
且
0a
；
当2210axaxa
有实根，此时21axx
，即22axaxa
，
所以
210ax
，则
1
2
x
a
，代入210axx
得：
1
2
1
10
4aa
，可得
3
4
a
.
综上，
31
44
a
.
【点睛】关键点点睛：第二问，将问题化为()fx、
(())ffx
与
yx
的交点理解，注意交点横纵坐标
性质；第三问，化为210axx
有实根、222(1)(1)0axaxxaxa
中2210axaxa
无实
根或与210axx
的实根相同
.