内部收益率法

年值法(NAV)法必须事先设定一个基准折现率，而基准收益率的确定较为困难的。目前

国家虽已编制和确定了一些行业的基准收益率可以参照使用，但还有大量的行业和部门

至今未制定出可以参照的基准收益率。与净现值法和净年值法等都需要事先设定一个基

准折现率才能进行计算和比较来说，内部收益率(IRR)法操作起来困难小，容易决策。

一、内部收益率的概念

内部收益率，就是资金流入现值总额与资

金流出现值总额相等、净现值等于零时的折现

率。如果不使用电子计算机，内部收益率要用

若干个折现率进行试算，直至找到净现值等于

零或接近于零的那个折现率。内部收益率，是

一项投资可望达到的报酬率，是能使投资项目

净现值等于零时的折现率。

内部收益率又称财务内部收益率(FIRR)，

是资金流入现值总额与资金流出现值总额相

等、净现值等于零时的折现率。它是一项投资

可望达到的报酬率，该指标越大越好。一般情

况下，内部收益率大于等于基准收益率时，该

项目是可行的。投资项目各年现金流量的折现值之和为项目的净现值，净现值为零时的

折现率就是项目的内部收益率。

二、内部收益率的应用范围

当下，股票、基金、黄金、房产、基建、期货等投资方式已为众多理财者所熟悉和

运用。但投资的成效如何，许多人的理解仅仅限于收益的绝对量上，缺乏科学的判断依

据。对于他们来说，内部收益率(IRR)指标是个不可或缺的工具。

三、内部收益率法的计算公式

1.计算年金现值系数(p／A，FIRR，n)=K／R；

2.查年金现值系数表，找到与上述年金现值系数相邻的两个系数(p／A，i1，n)和

(p／A，i2，n)以及对应的i12，满足(p／A，il，n)>K／R>(p／A，i2，n)；

3.用插值法计算FIRR：

（FIRR-I）/（i1—i2）=[K／R-(p/A，i1，n)]/[(p／A，i2，n)—(p／A，il，n)]

若建设项目现金流量为一般常规现金流量，则财务内部收益率的计算过程为：

（1）首先根据经验确定一个初始折现率ic。

（2）根据投资方案的现金流量计算财务净现值FNpV(i0)。

（3）若FNpV(io)=0，则FIRR=io；

若FNpV(io)>0，则继续增大io；

若FNpV(io)<0，则继续减小io。

4.重复步骤3，直到找到这样两个折现率i1和i2，满足FNpV(i1)>0，FNpV(i2)<0，

其中i2-il一般不超过2％-5％。

5.利用线性插值公式近似计算财务内部收益率FIRR。其计算公式为：

（FIRR-i1）/（i2-i1）=NpVl/│NpV1│+│NpV2│

注：│NpV1│+│NpV2│是指两个绝对值相加。

四、内部收益率法的计算步骤

1.在计算净现值的基础上，如果净现值是正值，就要采用这个净现值计算中更高的

折现率来测算，直到测算的净现值正值近于零。

2.再继续提高折现率，直到测算出一个净现值为负值。如果负值过大，就降低折现

率后再测算到接近于零的负值。

3.根据接近于零的相邻正负两个净现值的折现率，用线性插值法求得内部收益率。

五、内部收益率法的优缺点

内部收益率法的优点是能够把项目寿命期内的收益与其投资总额联系起来，指出这

个项目的收益率，便于将它同行业基准投资收益率对比，确定这个项目是否值得建设。

使用借款进行建设，在借款条件（主要是利率）还不很明确时，内部收益率法可以避开

借款条件，先求得内部收益率，作为可以接受借款利率的高限。

但内部收益率表现的是比率，不是绝对值，一个内部收益率较低的方案，可能由于

其规模较大而有较大的净现值，因而更值得建设。所以在各个方案选比时，必须将内部

收益率与净现值结合起来考虑。

六、内部收益率的指标比较

内部收益率是进行盈利能力分析时采用的主要方法一。从经济意义上，内部收益率

IRR的取值范围应是：—1＜IRR＜∞，大多数情况下的取值范围是0＜IRR＜∞。求得的

内部收益率IRR要与项目的设定基准收益率i0相比较。当IRR≥i0时，则表明项目的

收益率已达到或超过设定折现率水平，项目可行，可以考虑接受。内部收益率可通过方

程求得,但该式是一个高次方程，通常采用“试算内插法”求IRR的近似解。

内部收益率被普遍认为是项目投资的盈利率，反映了投资的使用效率，概念清晰明

确。比起净现值与净年值来，各行各业的实际经济工作者更喜欢采用内部收益率。内部

收益率指标的突出优点就是在计算时不需事先给定基准折现率，避开了这一既困难又易

引起争论的问题。内部收益率不是事先外生给定的，是内生决定的，即由项目现金流计

算出来的，当基准折现率入不易确定其准确取值，而只知其大致的取值区间时，则使用

内部收益率指标就较容易判断项目的取舍，IRR优越性是显而易见的。

但是，内部收益率也有诸多缺陷和问题，如多解和无解问题、与净现值指标的冲突

问题等，给我们带来了诸多不便和困惑。

净现值ＮＰＶ（Netpresentvalue）是一个价值型指标，其经济涵义是投资项目

在整个寿命期内获得的超过最低期望收益水平的超额净收益现值总和。净现值的含义较

为明确，也易于理解，净现值ＮＰＶ是基准折现率i0的函数，并且随着i0的增大而减

小。内部收益率ＩＲＲ是一个效率型指标，其经济涵义的表述方式较多，常见的表述是

投资项目寿命期内尚未收回投资余额的盈利率，反映了投资额的回收能力，内部收益率

与基准折现率i0的大小无关。但是采用两个指标对投资方案进行评价时，它们的评价

结论均受基准折现率i0大小的影响，其中内部收益率ＩＲＲ方法是以基准折现率i0为

判别标准的。净现值和内部收益率指标都隐含了投资项目的各年净现金流量全部用于再

投资的假说。但净现值指标假设投资项目各年（各期）净现金流量（投资净收益）均按

基准折现率i0再投资。而内部收益率则假设投资项目各年（各期）净现金流量（投资

净收益）均按内部收益率再投资，将ＩＲＲ的定义式进行简单的变换即可。明显，一般

情况下投资项目各年投资净收益是很难再按该项目的内部收益率再投资的，故内部收益

率的再投资假设是不合理的，而前者净现值指标的按投资者期望达到的最低贴现率水平

i0再投资的假设要更为合理。

一般情况下，净现值和内部收益率指标对投资方案的采纳与否的结论是一致的，即

当方案的ＮＰＶ≥０时，ＩＲＲ≥i0。但是，当对互斥方案组进行评价排序时，净现值

和内部收益率指标可能产生不一致的结论（产生冲突）。究其原因，正是两种方法再投

资假设的不同所致。

近年来，有不少学者对于净现值和内部收益率的冲突问题及解决方法进行了深入研

究，并就IRR指标的改进和修正方法等问题发表了诸多文章。但影响技术方案评价决策

问题的因素繁多，单靠一个指标的能力和作用是有限的，需要诸多指标相互配合综合分

析。问题的关键是让决策者充分了解各个评价指标的经济涵义并能认识到它们固有的缺

陷，以恰当运用和防止决策失误。如果一味地对ＩＲＲ指标进行修正完善，反而会给原

指标的经济涵义带来混乱，计算也越来越烦琐而不实用，更给决策者带来困惑，因而不

易提倡。且有些修正方法与已有指标如外部收益率ERR等基本趋同，缺乏新意。

因此应将研究的重点放在技术方案之间相互关系和评价指标体系优化的问题上来，

实践中应强调各个指标（如净现值、净现值率、内部收益率、差额净现值、差额内部收

益率、投资回收期等）的灵活选用，取长补短、相互补充、综合评价、科学决策。

七、内部收益率解的问题

由内部收益率的定义式知，它对应于一个一元高次多项式（IRR的定义式）的根。

该一元高次多项式的根的问题，也就是内部收益率的多解或无解问题，是内部收益率指

标一个突出的缺陷。利用笛斯卡尔（Desdartes）判别准则可以判断一元高次多项式实

根的个数。对于内部收益率的多解或无解问题，目前学术界说法不一，但其中有些说法

是欠妥的，诸如“内部收益率的不存在是由于项目再投资造成的”，“当一元高次多项

式多解，但存在唯一正根时，这一正根就是项目的内部收益率”等等。

这里就一元高次多项式出现

多根问题后，内部收益率的存在

性及判断问题进行重点讨论。容

易证明，常规投资项目必定存在

内部收益率，而非常规投资项目

无论一元高次多项式的解有多

少，其内部收益率则有可能不存

在。究其原因，显然是与项目的

投资结构和全部现金流量紧密相

关，是由于项目投资的不连续（出

现了追加投资）而造成的。

如前所述，根据内部收益率的定义，可以得出它的经济涵义和再投资假设。进一步

地，通过验证其投资回收过程也不难发现如下结论：内部收益率ＩＲＲ经济涵义的进一

步解释——“即按内部收益率ＩＲＲ换算，投资项目在整个寿命期内始终处于投资回收

状态，寿命期内各年始终存在未回收的投资”，由于各年始终存在未回收的投资，所以

根本就不需要考虑项目收益的再投资问题。这样也进一步验证了再投资假说。内部收益

率解的判别等问题必须基于这一结论。

如前面所述，大多数项目都是在建设期集中投资，直到投产初期可能还出现入不付

出，净现金流量为负值，但进入正常生产或达产后就能收入大于支出，净现金流量为正

值。因而，在整个计算期内净现金流量序列的符号从负值到正值只改变一次，我们把在

计算期内，净现金流量序列的符号只变化一次的项目称为常规项目。对于常规项目，若

累计净现金流量大于零，一般会有一个正实数根，则其应当是该项目的内部收益率。

在计算期内，如果项目的净现金流量序列的符号正负变化多次时，则称此类项目为

非常规项目。一般地讲，如果在生产期大量追加投资，或在某些年份集中偿还债务，或

经营费用支出过多等，都有可能导致净现金流量序列的符号正负多次变化，构成非常规

项目。非常规投资项目内部收益率方程的解显然不止一个。这些解中是否有真正的内部

收益率呢?这需要按照内部收益率的经济涵义进行检验：即以这些根作为盈利率，看在

项目寿命期内是否始终存在未被回收的投资。

首先看一元高次多项式是否有正实数根，如果有多个正实数根，则须经过检验，符

合内部收益率经济涵义的根才是项目的内部收益率；如果只有一个正实数根，则可能是

该项目的内部收益率，也可能不是，同样需要检验。如果无正实数根，或所有实数根都

不能满足内部收益率的经济涵义的要求，则该项目无解。对这类投资项目，一般地讲，

内部收益率法已失效，不能用它来进行项目的评价和选择。

目前，对于非常规投资项目内部收益率方程多根时，这些根中是否有真正的内部收

益率解的问题，即解的存在性问题，还没有一个判别定理。下面，就此问题深入讨论。

对于非常规投资项目（或技术方案），若在其整个寿命期内除初始投资之外，还存

在多次追加投资或净现金流量为负（设有Ｋ次，Ｋ≥１）,则一元高次多项式会产生多

个实根。为了表述方便，这里引入两个概念：①追加投资维持期。所谓追加投资维持期

是指从该次（第k次，k=1,2,3,„„,K）追加投资发生时点起直至整个投资项目寿命期

末的时间。特别地，k=K时，指最后一次追加投资维持期；k=０时，指整个投资项目寿

命期；②追加投资净现值。是指在第k次追加投资维持期内全部现金流量的贴现之和（贴

现至第k次追加投资发生初时点），且记为：ＮＰＶk（i）。

【IRR存在性判别定理】：当一元高次多项式（IRR定义式）多根(设有M个正实根，

分别是IRR1、IRR2、IRR3、„„IRRM)，其中，若有某一正实根ＩＲＲm(m=1,2,3,„„,M)

能使所有的追加投资净现值大于等于零，即：

ＮＰＶk（ＩＲＲm）≥0k=0,1,2,3,„„,K

则这一正实根ＩＲＲm就是整个投资项目的内部收益率。

明显，当k=0时,ＮＰＶk（ＩＲＲm）＝0。

定理证明：若ＩＲＲm使某一次（第k次）追加投资净现值ＮＰＶk（ＩＲＲm）＜0

（k不为零时）。则表明第k次追加投资在其维持期内收益过低，按ＩＲＲm贴现计算

的净现值为负值，不能弥补本次追加投资。对于其产生的亏空，必然需要前期投资全部

回收并有盈余来予以弥补。这样若对整个投资回收过程进行验证，就会在此次追加投资

时点之前出现盈余资金，以弥补后期追加投资的亏空。投资项目在整个寿命期内就不会

始终处于投资回收状态，而是出现了局部的盈余，也就不可能始终存在未回收的投资，

则与再投资假说相饽,所以ＩＲＲm就不是投资项目的内部收益率。

若ＩＲＲm能使各个追加投资净现值ＮＰＶk（ＩＲＲm）≥0，就可以保证投资项

目在整个寿命期内就始终处于投资回收状态，始终存在未回收的投资，则与内部收益率

娘经济涵义及再投资假说相符,所以此时的ＩＲＲm就是投资项目的内部收益率。

由此定理，我们可以得到如下结论：

结论一：当一元高次多项式多根时，可用使所有的追加投资净现值ＮＰＶk（ＩＲ

Ｒm）≥0准则来判断整个投资项目内部收益率的存在性。

结论二：投资项目之所以不存在内部收益率是由于项目追加投资在其维持期内的投

资收益过低，不能弥补追加投资而造成的。

结论三：当一元高次多项式多根，但只存在唯一正根时，它不一定就是项目的内部

收益率。需要用结论一来判明。

八、净现值与内部收益率理论的实际应用——以小水电站投资决策举例

净现值法与内部收益率法在资本预算和项目投资评价中得到广泛应用,现就其在小

水电站投资决策中的应用进行分析。

净现值法基本法则为“接受净现值为正的项目符合股东利益。”内部收益率法基本

法则为“当项目首期为现金流出、首期之后均为现金流入时,若内部收益率>贴现率,项

目可行;反之,不可行。当项目首期为现金流入、首期之后均为现金流出时,若内部收益

率<贴现率,项目可行;反之,不可行。”但当有些项目的现金流量多次变号,此时内部收

益率法则失效,只能使用净现值法。对于互斥项目,由于规模和时间序列的不同,高内部

收益率未必对应高净现值。于是,需要引入增量现金流量。为简化计算,建议用投资额较

大项目的现金流量减去投资额较小项目的现金流量,这样就可以使首期的增量现金流量

为负值。

(一)案例

项目A:四川省新康石棉矿吉日波水电站

吉日波水电站,引用流量为12.04m3/s,设计水头189.70m,装机规模为2×10MW,年

发电量为1.318亿KW.h,有效上网电量9751KW.h,属小(Ⅰ)型工程。电站于2005年7

月底前正式并网发电运行,电价0.22—0.28元/度。年发电收入在2500万元左右,正常

生产运行职工总数不多于40人。四川省新康监狱全额控股,总投资12680万元。新康监

狱拟将吉日波电站进行资产处置,转让价定为1.4亿元。

项目B:四川省成都彭州市红石桥水电站

红石桥水电站,电站总装机2×11MW,设计水头19.3米,引用流量125秒立米。电站

净资产1.21亿元人民币。电站建成12年来,年平均发电1.13亿千瓦时,年实际运行小

时达到5136小时,按2003年电价(0.1636元/千瓦时)同口径计算年均税后发电收入为

1849万元,是彭州市效益最好的水电站之一。正因为如此,该站受行政干预对外担保贷款

总额达11200万元,加上自身负债8000万元,现总负债超过1.9亿元,已是资不抵债。彭

州市政府决定近期内将其破产拍卖,成交价估计为0.9亿元。

(二)假设条件

项目A:

1、年均发电量为9571万度。中国小水电站年均发电小时数为3980小时。吉日波

水电站因西部多雨、来水充足,在总装机容量为2万千瓦的前提下、年均发电量9571万

度,即年均发电小时数为4785.5小时,符合实际。

2、2005年计划内上网电量为5000万度,计划外上网电量为4571万度;2006年计划

内上网电量为5500万度,计划外上网电量为4071万度;2007年及以后发电年度计划内上

网电量为7000万度,计划外上网电量为2571万度。

3、计划内上网电价为0.27元/度,计划外上网电价为0.22元/度。

4、增值税税率6%,营业税金及附加为增值税的8%。所得税按17%税率缴纳,并且享

受“免二减三”优惠。

5、自2005年正式发电营业,并且,按相关规定,小水电站生命周期按30年计。所以,

本案例计算周期为2005—2034年。

6、固定资产1.08亿元。折旧期限30年,无残值,直线折旧法,每年折旧费360万元。

运营成本年均668万元。2005年至2034折旧30年。2035年折旧期满,不再计提折旧,

运营成本减少360万元,变为308万元。

7、收购价1.4亿元,折现率8%。

项目B:

1、年均发电量11300万度,年实际运行小时为5136小时,按2003年电价0.1636元

/度(不含税)同口径计算年均税后发电收入为1849万元。

2、增值税税率6%,营业税金及附加为增值税的8%。所得税税率17%。

3、固定资产1.08亿元。折旧期限30年,无残值,直线折旧法,每年折旧费360万元。

运行成本300万元/年。

4、收购价按0.9亿元,折现率8%。

5、只是定向收购负债已经剥离的公司,即只是收购公司的净资产及经营权。

6、红石桥水电站自1991年正式发电营业。如正式收购,则收购完成时间为2004年

底,即从2005年开始水电站正式为收购方产生效益。所以,本案例计算期为2005—2020

年。

(三)案例分析

1、独立项目

项目A:经计算,该项目的净现值为6008万元,内部收益率为12.44%。按前面所述的

净现值分析法基本投资法则判定,该项目净现值为6008万元>0,项目可行;按前面所述的

内部收益率分析法基本投资法则判定,该项目内部收益率为12.44%,大于8%的基本折现

率,项目可行。

项目B:经计算,该项目的净现值为2923万元,内部收益率为12.78%。按前面所述的

净现值分析法基本投资法则判定,该项目净现值为2923万元>0,项目可行;按前面所述的

内部收益率分析法基本投资法则判定,该项目内部收益率为12.78%,大于8%的基本折现

率,项目可行。

由上可知,当项目A、B为独立项目时,项目净现值都>0;同时内部收益率都大于基本

折现率,所以项目A、B均可行。

2、互斥项目

当项目A与项目B为互斥项目时,项目A的净现值为6008万元、大于项目B的净现

值2923万元,但项目A的内部收益率为12.44%、小于项目B的内部收益率12.78%。经

计算,增量现金流量的净现值为3085万元>0,因此选择初始投资大的项目,即项目A优于

项目B;同样,增量现金流量的内部收益率为12.78%>基准收益率8%,因此选择初始投资

大的项目A,同样得出结论:项目A优于项目B。

[1]卢海义，王根杰，陶育恒，内部收益率法在投资决策中的应用，大众科技，2008.

[2]曾繁伟，内部收益率特性研究，经济与管理研究，2010.

[3]潘文亮，沈惟维，内部收益率的数值解法，科学技术与工程，2010.

[4]汤懿芬，罗云峰，内部收益率与修正内部收益率的一致性分析，华中科技大学学报(自然科

学版)，2001.

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