弧长积分公式
一级开发-帮助的英语
2023年2月23日发(作者：开发潜力)-188-
第11章曲线积分与曲面积分
第1节对弧长的曲线积分
1.1对弧长的曲线积分的概念与性质
背景例子。
【例1.1】设有一平面物质曲线L，其线密度为(,)fxy，求L的质量M.
解我们象以前处理类似问题一样采取下
面四个步骤计算。
(1)分割：在L上插入分点
01
,,,
in
AMMMMB(如图1.1)。
(2)近似：记
1i
i
MM的弧长为
i
s，质量
为
i
M（
i
M是无法算得的）。在
1ii
MM上
任取一点(,)
ii
，把
1ii
MM上的线密度近似看作常数(,)
ii
f，则
(,)
iiii
Mfs，(1,2,)in；
(3)求和：L的质量
11
(,)
nn
iiii
ii
MMfs
；
(4)取极限：记
1
max{}
i
in
s。当0时，每段0
i
s，误差趋于0。
因此，
0
1
lim(,)
n
iii
i
Mfs
．
0
AM
1
M
1i
M
2
M
i
M
n
BM
图1.1
y
x
O
第11章曲线积分与曲面积分
-189-
用这样方法计算的例子还有千千万万。为了一次性讲完千千万万个这样的
例子，我们给出下面的定义。
定义1.1设LAB为xOy平面上的曲线，(,)fxy为在L上有定义的有界
函数。
(1)分割：在L上插入分点
01
,,,
in
AMMMMB。
(2)“近似”：记
1i
i
MM的弧长为
i
s。在
1ii
MM上任取一点(,)
ii
，计算
(,)
iii
fs，(1,2,)in；
(3)求和：
1
(,)
n
iii
i
fs
；
(4)取极限：记
1
max{}
i
in
s（当0时，每段0
i
s）。
0
1
(,)
lim(,)
(,),
n
iii
i
fxyL
fs
AAfxyL
不可
弧的
不存在，在上弧；
存在，在上曲分
则说对长
则称记为
积
对长线积为
0
1
(,)dlim(,)
n
iii
L
i
fxysfs
其中(,)fxy称为被积函数，(,)dfxys称为积分表达式，,xy称为积分变量，ds
称为弧长元素（或弧长微分），L称为积分曲线。
积分变量总在积分曲线L上变化。
对弧长的曲线积分也称为第一类曲线积分。
这样，例1.1中的质量(,)d
L
Mfxys，其中(,)fxy是线密度函数．当
(,)fxy有各种各样实际意义的时候，(,)d
L
fxys也相应地有各种各样的实际意
义。一次性讲完了千千万万个例子。
(,)d
L
fxys简单地表示L是闭曲线。
对弧长的曲线积分的几何意义：设L是xOy平面上的曲线。在空间中有一
个以L为底，母线平行于z轴，高度函数为(,)fxy的曲顶梯形柱面。如果
(,)0fxy，则(,)d
L
fxys就是此曲顶梯形柱面的面积；如果(,)0fxy，则
(,)d
L
fxys
就是此曲顶梯形柱面的负面积；如果(,)fxy有时正有时负，则
(,)d
L
fxys是正、负面积的代数和。
高等数学
-190-
关于积分的存在性，有如下结论：
若(,)fxy在光滑曲线L上连续，则积分(,)d
L
fxys存在．
类似地，可定义3R中对弧长的曲线积分如下。
定义1.1'设LAB为空间中曲线，(,,)fxyz为在L上有定义的有界函数。
(1)分割：在L上插入分点
01
,,,
in
AMMMMB。
(2)“近似”：记
1i
i
MM的弧长为
i
s。在
1ii
MM上任取一点(,,)
iii
，
计算(,,)
iiii
fs，(1,2,)in；
(3)求和：
1
(,,)
n
iiii
i
fs
；
(4)取极限：记
1
max{}
i
in
s（当0时，每段0
i
s）。
0
1
(,,)
lim(,,)
(,,),
n
iiii
i
fxyzL
fs
AAfxyzL
不存在，在上弧；
存
不可
弧的在，在分上曲
则说对长
则称记为对长线积为
积
0
1
(,,)dlim(,,)
n
iiii
L
i
fxyzsfs
容易得到1,00
LLL
dsdssds。其中s是积分曲线L的弧长．
与定积分类似，对弧长的曲线积分有如下性质（以平面的为例，下面出现的
积分都假设存在）：
(1)线性性：若,为常数，则
[(,)(,)]d(,)d(,)d
LLL
fxygxysfxysgxys．
0时(,)d(,)d
LL
fxysfxys，常数因子可提出来。
(2)积分区域可加性：若分段光滑曲线L由两段曲线
12
,LL拼成，则
12
(,)d(,)d(,)d
LLL
fxysfxysfxys
(3)单调性：若在L上(,)(,)fxygxy，则
(,)d(,)d
LL
fxysgxys
(4)绝对可积性：若(,)fxy可积，则
(,)fxy
可积，且有
(,)d(,)d
LL
fxysfxys
(5)积分中值定理：若(,)fxy在L上连续，则存在(,)L，使得
第11章曲线积分与曲面积分
-191-
(,)d(,)
L
fxysfs(这里s为L的弧长)
高等数学
-192-
1.2对弧长的曲线积分的计算法
对弧长的曲线积分可化为定积分计算，方法如下面定理。
定理1.1设xOy平面上的曲线ABL的参数方程为
(),
:[,]
(),
xxt
Lt
yyt
，(1.1)
其中
()xt
,
()yt
在[,]上连续且22()()0xtyt
，(,)fxy在L上连续，则
(,)d
L
fxys存在且有
22(,)d((),())()()d
L
fxysfxtytxtytt
．(1.2)
证不妨设(),(),(),()xyAxyB。对,作任一分割：
01n
ttt，记(),()(0,1,,)
iii
Mxtytin，L上有分割：
01
,,,
n
AMMMB。由积分中值定理，
1ii
MM的弧长
1
22(())(())di
i
t
i
t
sxtytt22
1
())(()),[,]
iiiiii
xyttt(．
（1.2）左右两边都可积，计算时可特殊分割和特殊取点。在每段弧
1ii
MM上取点
(,)(),()
iiii
xy。记max0,1,,,max0,1,,
ii
sintin
，
由于连续性，
00
。则
0
1
(,)dlim(,)
n
iii
L
i
fxysfs
22
0
1
lim((),())(())(())
n
iiiii
i
fxyxyt
22((),())(())(())dfxtytxtytt
．
记住：把(),()xxtyyt和平面弧长微分22()()ddsxtytt代入，
且上下限分别为曲线两端点的参数值,（下限上限）。
小技巧：如果:()()Lyfxaxb，则
:()
()
xx
Laxb
yfx
用x作参
数。（如果:()()Lxfycyb呢？）
第11章曲线积分与曲面积分
-193-
定理1.1'设空间曲线L的参数方程为
()
()([,])
()
xxt
yytt
zzt
，(1.1')
其中
()xt
,
()yt
,
()zt
在[,]上连续且222()()()0xtytzt，(,,)fxyz在
L上连续，则(,,)d
L
fxyzs存在且有
222(,,)d((),(),())()()()d
L
fxyzsfxtytztxtytztt
(1.2')
证与定理1.1的证明类似。
记住：把(),(),()xxtyytzzt和空间弧长微分
222()()()ddsxtytztt代入，且上下限分别为曲线两端点的参数值,
（下限上限）。
小技巧：如果
()
:()
()
yx
Laxb
zx
，则
:()()
()
xx
Lyxaxb
zx
用x作参
数。（如果
()
:()
()
xy
Layb
zy
或
()
:()
()
xz
Lazb
yz
呢？）
注意：我们只用曲线的参数方程计算曲线积分。
思考一下：平面（第一类曲线积分）是空间（第一类曲线积分）的特例。
（测）【例1.2】设曲线L为
cos,
0
sin,
xR
yR
，求2d
L
Iyxs．
解22sin,cos,xRyRdsxydRd。
22222
0
sin(cos)(sin)cosdIRRRR
42
0
cossindR43
0
1
cos
3
R4
2
3
R
．
高等数学
-194-
【例1.3】求222()dIxyzs，其中是螺旋线cosxat,
sin,yatzbt，02,,
解22222sin,cos,,xatyatzbdsxyzdtabdt。
2
22222222
0
(cossin)dIatatbtabt
2
22222
0
(()ababtdt22223
2
(34)
3
abab
．
【例1.4】求2d
L
Ixys，L以(0,0)O,(1,0)A,(1,1)B为顶点的三角形
边界．
解由于积分曲线有表示式不一样的三段，如图1.2，
积分分成三段积。
OA的方程为
0
xx
y
，01x，x作参数；
AB
的方程为
1x
yy
，01y，y作参数；
BO
的方程为
xx
yx
，01x，x作参数。
故
222ddd
OAABBO
Ixysxysxys
11
22
00
01d11dyyxxx
12
34
．
方法总结：曲线表示式不一致时，分段积。
【例1.5】求22dIxys，其中
221,
:
1
xy
xyz
．
解是一个椭圆，先写出的参数方程
cos
:sin,02
1cossin
x
y
z
222d(sin)cos(sincos)ds22sincosd
故
y
图1.2
O
x
(1,1)B
(1,0)A
第11章曲线积分与曲面积分
-195-
2
0
22sincos22sincosdI
2
0
(22sincos)d4．
【例1.6】求dIxs，其中
2222
2
,
:
,
xyza
zx
．
解因(,)fxyx为奇函数，关于yOz面对称，在对称点处被积函数x反
号，对称点处的弧微分都d0s，所以对称点处
dxs
相互抵消，故0I．
思考题：
1.当(,,)fxyz关于y(或z)为奇函数，满足什么条件时(,,)0fxyzds?
为什么?（关于xOz（或xOy）平面对称。）
高等数学
-196-
习题11－1
A类
1．用对弧长曲线积分的定义证明性质3（单调性）．
2．计算下列对弧长的曲线积分：
(1)2d:2
L
ysLyx，
由点
(0,0)
到点
(2,2)
的弧段；
(2)
()d
L
xys，L：顶点为
(0,0),(1,0),(0,1)
的三角形边界；
(3)22()dn
L
xys
，L：222(0);xyaa
(4)22()d
L
xys
，L：21yx
；
(5)22()dxyzs，：圆锥螺线
cos,sin,,(02)xttyttztt
，相应于t
从0变到1的一段弧；
(6)2d,xs为圆周2222,0xyzRxyz．
(7)2dxyzs,其中为折线ABCD，,,,ABCD坐标依次为
(0,0,0)
,
(0,0,2)
,
(1,0,2)
,
(1,3,2)
．
解（6）关于,,xyz轮换对称，所以
2222222
2223
11
ddddd
33
1112
d2
3333
xsyszsxyzsRs
RsRsRRR
3．计算d
L
xs和d
L
xs，222:,
解
cos
:,0
sin
xa
L
ya
，22sin,cos,xayadsxydad。
0
dcos0
L
xsaad
222
2
00
2
dcoscoscos2
L
xsaadadada
4．试导出用极坐标方程()()表示的曲线L的曲线积分计算公式：
22(,)d(()cos,()sin)()()d
L
fxysf
．
解
()cos
:,
()sin
x
L
y
。2222()()dsxydd。故
22(,)d(()cos,()sin)()()d
L
fxysf
．
第11章曲线积分与曲面积分
-197-
5．求曲线2
1
,,,(01,0)
2
xayatzatta的质量，其线密度为
2z
a
．
B类
1．计算
d
L
xs
，L为对数螺线
e(0)kak
在圆a内的部分．
*2．证明积分中值定理：若函数f光滑曲线
:(),(),[,]Lxxtyytt
上连续，则存在
点
(,)L
，使得
(,)d(,)
L
fxysfs
，其中s为L的弧长．
证22(,)d((),())()()
L
fxysfxtytxtytdt
。
22()()()gtxtyt在
[,]
上不变号。所遇到的函数都连续。根据两个函数的定积分
中值定理，存在
[,]
使得
2222((),())()()((),())()()((),())fxtytxtytdtfxyxtytdtfxys
取
(,)((),())xy
，则
(,)L
并且
(,)d(,)
L
fxysfs