三角函数图

三角函数图

越秀山-迪士尼卡通人物

2023年2月23日发(作者：苗笔顺)

幂函数的图形

指数函数的图形

对数函数的图形

三角函数的图形

各三角函数值在各象限的符号

sinα·cscαcosα·secαtanα·cotα

三角函数的性质

函数

y=sinxy=cosxy=tanxy=cotx

定义域

RR

｛x｜x∈R且

x≠kπ+

2



,k∈Z｝

｛x｜x∈R且

x≠kπ,k∈Z｝

值域

［-1，1］x=2kπ+

2



时

ymax=1

x=2kπ-

2



时ymin=-1

［-1,1］

x=2kπ时ymax=1

x=2kπ+π时ymin=-1

R

无最大值

无最小值

R

无最大值

无最小值

周期性周期为2π周期为2π周期为π周期为π

奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数

单调性

在［2kπ-

2



,2kπ+

2



］上

都是增函数；在

［2kπ+

2



,2kπ+

3

2

π］上

都是减函数(k∈Z)

在［2kπ-π，2kπ］上都是

增函数；在［2kπ，2kπ+π］

上都是减函数(k∈Z)

在(kπ-

2



，kπ+

2



)内都

是增函数(k∈Z)

在(kπ，kπ+π)内都

是减函数(k∈Z)

反三角函数的图形

反三角函数的性质

名称反正弦函数反余弦函数反正切函数反余切函数

定义

y=sinx(x∈〔-

2



,

2



〕

的反函数，叫做反正弦

函数，记作x=arsiny

y=cosx(x∈〔0,π〕)

的反函数，叫做反

余弦函数，记作

x=arccosy

y=tanx(x∈(-

2



,

2



)的反函数，叫做反

正切函数，记作

x=arctany

y=cotx(x∈(0,π))的

反函数，叫做反余切

函数，记作

x=arccoty

理解

arcsinx表示属于

［-

2



,

2



］

且正弦值等于x的角

arccosx表示属于

［0，π］，且余弦值

等于x的角

arctanx表示属于

(-

2



,

2



)，且正切值等

于x的角

arccotx表示属于(0，

π)且余切值等于x

的角

性

质

定义域［-1，1］［-1，1］(-∞，+∞)(-∞，+∞)

值域

［-

2



，

2



］

［0，π］

(-

2



，

2



)

(0，π)

单调性

在〔-1，1〕上是增函数在［-1，1］上是减

函数

在(-∞，+∞)上是增数在(-∞，+∞)上是减函

数

奇偶性

arcsin(-x)=-arcsinxarccos(-x)=π-arcco

sx

arctan(-x)=-arctanxarccot(-x)=π-arccot

x

周期性都不是同期函数

恒等式

sin(arcsinx)=x(x∈［-1，

1］)arcsin(sinx)=x(x∈

［-

2



,

2



］)

cos(arccosx)=x(x∈

［-1,1］)

arccos(cosx)=x(x∈

［0,π］)

tan(arctanx)=x(x∈

R)arctan(tanx)=x（x∈

(-

2



,

2



)）

cot(arccotx)=x(x∈

R)

arccot(cotx)=x(x∈

(0,π))

互余恒等式

arcsinx+arccosx=

2



(x∈［-1,1］)arctanx+arccotx=

2



(X∈R)

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4

4

三角函数公式

两角和公式

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB

sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB

cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

tan(A+B)=

tanAtanB-1

tanBtanA

tan(A-B)=

tanAtanB1

tanBtanA





cot(A+B)=

cotAcotB

1-cotAcotB



cot(A-B)=

cotAcotB

1cotAcotB





倍角公式

tan2A=

Atan1

2tanA

2

Sin2A=2SinA•CosA

Cos2A=Cos2A-Sin2A=2Cos2A-1=1-2sin2A

三倍角公式

sin3A=3sinA-4(sinA)3

cos3A=4(cosA)3-3cosA

tan3a=tana·tan(

3



+a)·tan(

3



-a)

半角公式

sin(

2

A

)=

2

cos1A

cos(

2

A

)=

2

cos1A

tan(

2

A

)=

A

A

cos1

cos1





cot(

2

A

)=

A

A

cos1

cos1





tan(

2

A

)=

A

A

sin

cos1

=

A

A

cos1

sin



和差化积

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5

5

sina+sinb=2sin

2

ba

cos

2

ba

sina-sinb=2cos

2

ba

sin

2

ba

cosa+cosb=2cos

2

ba

cos

2

ba

cosa-cosb=-2sin

2

ba

sin

2

ba

tana+tanb=

ba

ba

coscos

)sin(

积化和差

sinasinb=-

2

1

[cos(a+b)-cos(a-b)]

cosacosb=

2

1

[cos(a+b)+cos(a-b)]

sinacosb=

2

1

[sin(a+b)+sin(a-b)]

cosasinb=

2

1

[sin(a+b)-sin(a-b)]

诱导公式

sin(-a)=-sina

cos(-a)=cosa

sin(

2



-a)=cosa

cos(

2



-a)=sina

sin(

2



+a)=cosa

cos(

2



+a)=-sina

sin(π-a)=sina

cos(π-a)=-cosa

sin(π+a)=-sina

cos(π+a)=-cosa

tgA=tanA=

a

a

cos

sin

万能公式

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6

6

sina=

2)

2

(tan1

2

tan2

a

a



cosa=

2

2

)

2

(tan1

)

2

(tan1

a

a





tana=

2)

2

(tan1

2

tan2

a

a



其它公式

a•sina+b•cosa=

)b(a22

×sin(a+c)

[其中tanc=

a

b

]

a•sin(a)-b•cos(a)=

)b(a22

×cos(a-c)

[其中tan(c)=

b

a

]

1+sin(a)=(sin

2

a

+cos

2

a

)2

1-sin(a)=(sin

2

a

-cos

2

a

)2

其他非重点三角函数

csc(a)=

asin

1

sec(a)=

acos

1

双曲函数

sinh(a)=

2

e-e-aa

cosh(a)=

2

ee-aa

tgh(a)=

)cosh(

)sinh(

a

a

公式一

设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：

sin（2kπ＋α）=sinα

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7

7

cos（2kπ＋α）=cosα

tan（2kπ＋α）=tanα

cot（2kπ＋α）=cotα

公式二

设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：

sin（π＋α）=-sinα

cos（π＋α）=-cosα

tan（π＋α）=tanα

cot（π＋α）=cotα

公式三

任意角α与-α的三角函数值之间的关系：

sin（-α）=-sinα

cos（-α）=cosα

tan（-α）=-tanα

cot（-α）=-cotα

公式四

利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：

sin（π-α）=sinα

cos（π-α）=-cosα

tan（π-α）=-tanα

cot（π-α）=-cotα

公式五

利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：

sin（2π-α）=-sinα

cos（2π-α）=cosα

tan（2π-α）=-tanα

cot（2π-α）=-cotα

公式六

2



±α及

2

3

±α与α的三角函数值之间的关系：

sin（

2



+α）=cosα

cos（

2



+α）=-sinα

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8

8

tan（

2



+α）=-cotα

cot（

2



+α）=-tanα

sin（

2



-α）=cosα

cos（

2



-α）=sinα

tan（

2



-α）=cotα

cot（

2



-α）=tanα

sin（

2

3

+α）=-cosα

cos（

2

3

+α）=sinα

tan（

2

3

+α）=-cotα

cot（

2

3

+α）=-tanα

sin（

2

3

-α）=-cosα

cos（

2

3

-α）=-sinα

tan（

2

3

-α）=cotα

cot（

2

3

-α）=tanα

(以上k∈Z)

这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用

A•sin(ωt+θ)+B•sin(ωt+φ)=

)cos(222ABBA

×sin

)cos(2

)Bsininarcsin[(Ast

22







ABBA

三角函数公式证明（全部）

公式表达式

乘法与因式分解

a2-b2=(a+b)(a-b)

a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)

a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)

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三角不等式

|a+b|≤|a|+|b|

|a-b|≤|a|+|b|

|a|≤b-b≤a≤b

|a-b|≥|a|-|b|

-|a|≤a≤|a|

一元二次方程的解

-b+√(b2-4ac)/2a-b-b+√(b2-4ac)/2a

根与系数的关系

X1+X2=-b/a

X1*X2=c/a

注：韦达定理

判别式b2-4a=0注：方程有相等的两实根

b2-4ac>0注：方程有一个实根

b2-4ac<0注：方程有共轭复数根

三角函数公式

两角和公式

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)

ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA)ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)

倍角公式

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10

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tan2A=2tanA/(1-tan2A)ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga

cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a

半角公式

sin(A/2)=√((1-cosA)/2)sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)

cos(A/2)=√((1+cosA)/2)cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)

tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA))tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))

ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA))ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))

和差化积

2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)

2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B)-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)

sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)

tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosBtanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB

ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB-ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB

某些数列前n项和

1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2

1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2

2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)

12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6

13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4

1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3

正弦定理

a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R

注：其中R表示三角形的外接圆半径

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余弦定理

b2=a2+c2-2accosB

注：角B是边a和边c的夹角

正切定理

[(a+b)/(a-b)]={[Tan(a+b)/2]/[Tan(a-b)/2]}

圆的标准方程

(x-a)2+(y-b)2=r2注：（a,b）是圆心坐标

圆的一般方程

x2+y2+Dx+Ey+F=0注：D2+E2-4F>0

抛物线标准方程

y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2py

直棱柱侧面积

S=c*h

斜棱柱侧面积

S=c'*h

正棱锥侧面积

S=1/2c*h'

正棱台侧面积

S=1/2(c+c')h'

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圆台侧面积

S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l

球的表面积

S=4pi*r2

圆柱侧面积

S=c*h=2pi*h

圆锥侧面积

S=1/2*c*l=pi*r*l

弧长公式

l=a*r

a是圆心角的弧度数r>0

扇形面积公式

s=1/2*l*r

锥体体积公式

V=1/3*S*H

圆锥体体积公式

V=1/3*pi*r2h

斜棱柱体积

V=S'L

注：其中,S'是直截面面积，L是侧棱长

柱体体积公式

V=s*h

圆柱体

V=pi*r2h

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三角函数积化和差和差化积公式

记不住就自己推，用两角和差的正余弦：

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB

cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

这两式相加或相减，可以得到2组积化和差:

相加：cosAcosB=[cos(A+B)+cos(A-B)]/2

相减：sinAsinB=-[cos(A+B)-cos(A-B)]/2

sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA

sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA

这两式相加或相减，可以得到2组积化和差:

相加：sinAcosB=[sin(A+B)+sin(A-B)]/2

相减：sinBcosA=[sin(A+B)-sin(A-B)]/2

这样一共4组积化和差，然后倒过来就是和差化积了

正加正正在前

正减正余在前

余加余都是余

余减余没有余还负

正余正加余正正减

余余余加正正余减还负

3.三角形中的一些结论：(不要求记忆)

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(1)tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC

(2)sinA+tsinB+sinC=4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)

(3)cosA+cosB+cosC=4sin(A/2)·sin(B/2)·sin(C/2)+1

(4)sin2A+sin2B+sin2C=4sinA·sinB·sinC

(5)cos2A+cos2B+cos2C=-4cosAcosBcosC-1