随机变量及其分布

随机变量及其分布

权益法-好特会

2023年2月23日发(作者：声明书)

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正态分布

知识点

一、正态曲线

函数f(x)＝

1

2πσ

2

2

()

2e

x







，x∈R的图象如图所示

x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ，σ(σ>0)为参数，我们称φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．

(2)正态曲线的性质

①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；

②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；

③曲线在x＝μ处达到峰值

1

σ2π

；

④曲线与x轴之间的面积为1；

⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图甲所示；

⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”，总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦

高”，总体的分布越集中，如图乙所示：

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二、正态分布

一般地，如果对于任何实数a，b(a





a

bφ

μ，σ

(x)dx，则称随机变量X服从正

态分布．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作N(μ，σ2)，如果随机变量X服从正态分布，

则记为X～N(μ，σ2)．

三、3σ原则

1．正态总体在三个特殊区间内取值的概率值

(1)P(μ－σ

(2)P(μ－2σ

(3)P(μ－3σ

2．通常服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值．

题型一正态曲线的图象的应用

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【例1】如图所示是一个正态分布的图象，试根据该图象写出正态分布密度函数的解析式，求出随机变量总

体的均值和方差．

【过关练习】

1.某次我市高三教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的直方图如图所示(由于人数众多，成绩分布的

直方图可视为正态分布)，则由如图曲线可得下列说法中正确的一项是()

A．甲科总体的标准差最小

B．丙科总体的平均数最小

C．乙科总体的标准差及平均数都居中

D．甲、乙、丙的总体的平均数不相同

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2.若一个正态分布密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为

1

42π

，求该正态分布的概率密度函数的解

析式．

题型二利用正态分布求概率

【例1】设X～N(1,22)，试求：

(1)P(－1

【过关练习】

1.已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，则P(0<ξ<2)等于()

A．0.6B．0.4C．0.3D．0.2

2.(1)已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，则P(0<ξ<2)＝()

A．0.6B．0.4

C．0.3D．0.2

(2)在某项测量中，测量结果服从正态分布N(1,4)，求正态总体X在(－1,1)内取值的概率.

3.设随机变量X～N(2,9)，若P(X>c＋1)＝P(X

(1)求c的值；(2)求P(－4

题型三正态分布的应用

【例1】有一种精密零件，其尺寸X(单位：mm)服从正态分布N(20,4)．若这批零件共有5000个，试求：

(1)这批零件中尺寸在18～22mm间的零件所占的百分比；

(2)若规定尺寸在24～26mm间的零件不合格，则这批零件中不合格的零件大约有多少个？

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【过关练习】

在某次考试中，某班同学的成绩服从正态分布N(80,52)，现已知该班同学成绩在80～85分的有17人，该班

同学成绩在90分以上的有多少人？

课后练习

【补救练习】

1.设两个正态分布N(μ

1

，σ2

1

)(σ

1

>0)和N(μ

2

，σ2

2

)(σ

2

>0)的密度函数图象如图2­4­2所示，则有()

图2­4­2

A．μ

1

<μ

2

，σ

1

<σ

2

B．μ

1

<μ

2

，σ

1

>σ

2

C．μ

1

>μ

2

，σ

1

<σ

2

D．μ

1

>μ

2

，σ

1

>σ

2

2

．若随机变量

X

的密度函数为

f(x)

＝，

X

在区间

(

－

2

，－

1)

和

(1,2)

内取值的概率分

别为

p

1，

p

2，则

p

1，

p

2的关系为

()

A．p

1

>p

2

B．p

1

2

C．p

1

＝p

2

D．不确定

3．若随机变量X～N(μ，σ2)，则P(X≤μ)＝________.

4．在某项测量中，测量结果X服从正态分布N(1，σ2)(σ＞0)，若X在(0,1]内取值的概率为0.4，

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则X在(0,2]内取值的概率为________．

5.如图2­4­3所示是一个正态曲线，试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，

求出总体随机变量的期望和方差．

图2­4­3

【巩固练习】

1．已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ＜4)＝0.8，则P(0＜ξ＜2)＝()

【导学号：95032208】

A．0.6B．0.4

C．0.3D．0.2

2．设X～N













－2，

1

4

，则X落在(－3.5，－0.5]内的概率是()

A．95.44%B．99.73%

C．4.56%D．0.26%

3．已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0,32)，从中随机取一件，其长度误

差落在区间(3,6)内的概率为()

(附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝68.27%，P(μ－2σ<ξ<μ＋

2σ)＝95.45%.)

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A．4.56%B．13.59%

C．27.18%D．31.74%

4．工人制造的零件尺寸在正常情况下服从正态分布N(μ，σ2)，在一次正常的试验中，取1000

个零件，不属于(μ－3σ，μ＋3σ)这个尺寸范围的零件可能有

__________________________________________________________个．

5．在某次数学考试中，考生的成绩X服从一个正态分布，即X～N(90,100)．

(1)试求考试成绩X位于区间(70,110)上的概率是多少？

(2)若这次考试共有2000名学生，试估计考试成绩在(70,110)间的考生大约有多少人？

【拔高练习】

1.在如图2­4­4所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0,1)

的密度曲线)的点的个数的估计值为()

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图2­4­4

A．2387B．2718

C．3414D．4777

附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ

P(μ－2σ

2．已知一次考试共有60名同学参加，考生的成绩X～N(110,25)．据此估计，大约应有57人

的分数在区间()

A．(90,110]内B．(95,125]内

C．(100,120]内D．(105,115]内

3．设随机变量X～N(μ，σ2)，且P(X＜1)＝

1

2

，P(X＞2)＝p，则P(0＜X＜1)＝________.

4．已知正态总体的数据落在区间(－3，－1)里的概率和落在区间(3,5)里的概率相等，那么这个

正态总体的数学期望为________．

5．从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得

如下频率分布直方图：

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图2­4­5

(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x

－

和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间

的中点值作代表)；

(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为

样本平均数x

－

，σ2近似为样本方差s2.

①利用该正态分布，求P(187.8

②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区

间(187.8,212.2)的产品件数，利用①的结果，求E(X)．

附：150≈12.2.

若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ