高一函数知识点总结

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儿童团歌-林地管理

二、函数的有关概念

1．函数的概念：设A、B是非空的数集，假如根据某个确定的对应关系f，使对于集合A中的随

意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合

B的一个函数．记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；

及x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．

留意：

1．定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。

求函数的定义域时列不等式组的主要根据是：

(1)分式的分母不等于零；

(2)偶次方根的被开方数不小于零；

(3)对数式的真数必需大于零；

(4)指数、对数式的底必需大于零且不等于1.

(5)假如函数是由一些根本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义

的x的值组成的集合.

(6)指数为零底不行以等于零，

(7)实际问题中的函数的定义域还要保证明际问题有意义.

一样函数的推断方法：①表达式一样（及表示自变量和函数值的字母无关）；②定义

域一样(两点必需同时具备)

(见课本21页相关例2)

2．值域:先考虑其定义域

(1)视察法

(2)配方法

(3)代换法

3.函数图象学问归纳

(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x),(x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标

的点P(x，y)的集合C，叫做函数y=f(x),(x∈A)的图象．C上每一点的坐标(x，y)均满意函数

关系y=f(x)，反过来，以满意y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上.

(2)画法

A、描点法：

B、图象变换法

常用变换方法有三种

1)平移变换

2)伸缩变换

3)对称变换

4．区间的概念

（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间

（2）无穷区间

（3）区间的数轴表示．

5．映射

一般地，设A、B是两个非空的集合，假如按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的随意一

个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y及之对应，那么就称对应f：A



B为从集合A到集

合B的一个映射。记作“f（对应关系）：A（原象）



B（象）”

对于映射f：A→B来说，则应满意：

(1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；

(2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；

(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。

6.分段函数

(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。

(2)各部分的自变量的取值状况．

(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集．

补充：复合函数

假如y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则y=f[g(x)]=F(x)(x∈A)称为f、g的复合函数。

二．函数的性质

1.函数的单调性(部分性质)

（1）增函数

设函数y=f(x)的定义域为I，假如对于定义域I内的某个区间D内的随意两个自变量x1，x2，当

x1

间.

假如对于区间D上的随意两个自变量的值x1，x2，当x1

在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.

留意：函数的单调性是函数的部分性质；

（2）图象的特点

假如函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)

单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.

(3).函数单调区间及单调性的断定方法

(A)定义法：

○1任取x1，x2∈D，且x1

○2作差f(x1)－f(x2)；

○3变形（通常是因式分解和配方）；

○4定号（即推断差f(x1)－f(x2)的正负）；

○5下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．

(B)图象法(从图象上看升降)

(C)复合函数的单调性

复合函数f[g(x)]的单调性及构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性亲密相关，其规律：“同增

异减”

留意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性一样的区间和在一起写成其并

集.

8．函数的奇偶性（整体性质）

（1）偶函数

一般地，对于函数f(x)的定义域内的随意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．

（2）．奇函数

一般地，对于函数f(x)的定义域内的随意一个x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．

（3）具有奇偶性的函数的图象的特征

偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．

利用定义推断函数奇偶性的步骤：

○1首先确定函数的定义域，并推断其是否关于原点对称；

○2确定f(－x)及f(x)的关系；

○3作出相应结论：若f(－x)=f(x)或f(－x)－f(x)=0，则f(x)是偶函数；若f(－x)=－

f(x)或f(－x)＋f(x)=0，则f(x)是奇函数．

留意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原

点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义断定;(2)由f(-x)±f(x)=0

或f(x)／f(-x)=±1来断定;(3)利用定理，或借助函数的图象断定.

9、函数的解析表达式

（1）.函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们

之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.

（2）求函数的解析式的主要方法有：

1)凑配法

2)待定系数法

3)换元法

4)消参法

10．函数最大（小）值（定义见课本p36页）

○1利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值

○2利用图象求函数的最大（小）值

○3利用函数单调性的推断函数的最大（小）值：

假如函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有

最大值f(b)；

假如函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有

最小值f(b)；

例题：

1.求下列函数的定义域：

⑴⑵

2.设函数fx()的定义域为[]01，，则函数

fx()2的定义域为__

3.若函数(1)fx的定义域为[]23，，则函数(21)fx的定义域是

4.函数，若()3fx，则x=

5.求下列函数的值域：

⑴223yxx

()xR⑵223yxx[1,2]x

(3)12yxx(4)245yxx

6.已知函数2(1)4fxxx，求函数()fx，(21)fx的解析式

7.已知函数()fx满意2()()34fxfxx，则()fx=。

8.设()fx是R上的奇函数，且当[0,)x时,3()(1)fxxx,则当(,0)x时()fx=

()fx在R上的解析式为

9.求下列函数的单调区间：

⑴223yxx⑵223yxx⑶

261yxx

10.推断函数13xy的单调性并证明你的结论．

11.设函数推断它的奇偶性并且求证：．

第三章根本初等函数

一、指数函数

（一）指数及指数幂的运算

1．根式的概念：一般地，假如axn，那么

x

叫做

a

的

n

次方根，其中

n

>1，且

n

∈N*．

负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00n。

当

n

是奇数时，aan

n，当

n

是偶数时，















)0(

)0(

||

a

a

a

a

aan

n

2．分数指数幂

正数的分数指数幂的意义，规定：

)1,,,0(*nNnmaaan

m

n

m

，)1,,,0(

11

*nNnma

a

a

a

n

m

n

m

n

m

0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义

3．实数指数幂的运算性质

（1）

ra

·

srraa

),,0(Rsra；

（2）

rssraa)(

),,0(Rsra；

（3）

srraaab)(

),,0(Rsra．

（二）指数函数及其性质

1、指数函数的概念：一般地，函数

)1,0(aaayx且

叫做指数函数，其中x是自变量，函

数的定义域为R．

留意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．

2、指数函数的图象和性质

a>10

0

0

定义域R定义域R

值域y＞0值域y＞0

在R上单调递增在R上单调递减

非奇非偶函数非奇非偶函数

函数图象都过定点（0，1）函数图象都过定点（0，1）

留意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：

（1）在[a，b]上，)1a0a(a)x(fx且值域是)]b(f),a(f[或)]a(f),b(f[；

（2）若0x，则1)x(f；)x(f取遍全部正数当且仅当Rx；

（3）对于指数函数)1a0a(a)x(fx且，总有a)1(f；

二、对数函数

（一）对数

1．对数的概念：一般地，假如Nax

)1,0(aa，那么数

x

叫做以

．

a

为底

．．

N的对数，记作：

Nx

a

log（

a

—底数，N—真数，N

a

log—对数式）

说明：○1留意底数的限制0a，且1a；

○2

xNNa

a

xlog；

○3留意对数的书写格式．

两个重要对数：

○1常用对数：以10为底的对数Nlg；

○2自然对数：以无理数71828.2e为底的对数的对数Nln．

指数式及对数式的互化

幂值真数

ba＝Nlog

a

N＝b

底数

指数对数

（二）对数的运算性质

假如0a，且1a，0M，0N，那么：

○

1M

a

(log·)NM

a

log＋N

a

log；

○

2M

a

log－N

a

log；

○

3n

a

MlognM

a

log)(Rn．

留意：换底公式

（0a，且1a；0c，且1c；0b）．

利用换底公式推导下面的结论

（1）；（2）．

（二）对数函数

1、对数函数的概念：函数

0(logaxy

a

，且)1a叫做对数函数，其中

x

是自变量，函数的

定义域是（0，+∞）．

留意：○1对数函数的定义及指数函数类似，都是形式定义，留意区分。如：xy

2

log2，都

不是对数函数，而只能称其为对数型函数．

○2对数函数对底数的限制：0(a，且)1a．

N

a

log

2、对数函数的性质：

a>10

0

1

1

0

1

1

定义域x＞0定义域x＞0

值域为R值域为R

在R上递增在R上递减

函数图象都过定点（1，0）函数图象都过定点（1，0）

（三）幂函数

1、幂函数定义：一般地，形如xy)(Ra的函数称为幂函数，其中为常数．

2、幂函数性质归纳．

（1）全部的幂函数在（0，+∞）都有定义并且图象都过点（1，1）；

（2）0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[上是增函数．特殊地，当1时，

幂函数的图象下凸；当10时，幂函数的图象上凸；

（3）0时，幂函数的图象在区间),0(上是减函数．在第一象限内，当

x

从右边趋向原点

时，图象在y轴右方无限地靠近y轴正半轴，当

x

趋于



时，图象在

x

轴上方无限地靠近

x

轴

正半轴．

例题：

1.已知a>0，a0，函数y=ax及y=loga(-x)的图象只能是()

2.计算：①;②3log4

22=；

2log227log

55

3

125

=;

③

2

1

3

4

3

101.016])2[()

8

7

(064.075.030

=

3.函数y=log

2

1

(2x2-3x+1)的递减区间为

4.若函数)10(log)(axxf

a

在区间]2,[aa上的最大值是最小值的3倍，则a=

5.已知

1

()log(01)

1a

x

fxaa

x







且

，（1）求()fx的定义域（2）求使

()0fx

的x的取值范围

第三章函数的应用

一、方程的根及函数的零点

1、函数零点的概念：对于函数))((Dxxfy，把使0)(xf成立的实数

x

叫做函数

))((Dxxfy的零点。

2、函数零点的意义：函数)(xfy的零点就是方程0)(xf实数根，亦即函数)(xfy的图

象及

x

轴交点的横坐标。

即：方程0)(xf有实数根函数)(xfy的图象及

x

轴有交点函数)(xfy有零点．

3、函数零点的求法：

○1（代数法）求方程0)(xf的实数根；

○2（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它及函数)(xfy的图象联络起来，并利

用函数的性质找出零点．

4、二次函数的零点：

二次函数)0(2acbxaxy．

（1）△＞０，方程02cbxax有两不等实根，二次函数的图象及

x

轴有两个交点，二次函

数有两个零点．

（2）△＝０，方程02cbxax有两相等实根，二次函数的图象及

x

轴有一个交点，二次函

数有一个二重零点或二阶零点．

（3）△＜０，方程cbxax无实根，二次函数的图象及

x

轴无交点，二次函数无零点．