平面的基本性质
论语集释-维和药业
2023年2月22日发(作者：快手热门歌曲)备课本
（2013—2014学年第二学期）
学校：互助县职业技术学校
科目：数学
授课教师：温海英
授课班级：12学前教育2、3、4班
单元章节备课表
教学内容
第9单元立体几何
教学目标
（1）掌握直线和直线、直线和平面、平面和平面所成的角、距
离的概念（对于异面直线的距离，只要求会利用给出的公垂线计
算距离）；掌握直线和平面垂直的性质定理；掌握两个平面平行
的判定定理和性质定理；掌握两个平面垂直的判定定理和性质定
理
（2）了解多面体的概念，了解凸多面体的概念。
（3）了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图。
（4）了解棱锥的慨念，掌握正棱锥的性质，会画正棱锥的直观
图。
（5）了解正多面体的概念，了解多面体的欧拉公式。
（6）了解球的概念，掌握球的性质，掌握球的表面积、体积公
式。
教学重点
空间中的直线与直线，直线与平面。平面与平面的平行和垂直的
性质和判定
教学难点
建立空间概念，培养学生的空间想象，空间识图能力
教学反思
1、突出用空间向量解决立体几何问题的基本思想。根据问题
的特点，以适当的方式把问题中涉及的点、线、面等元素用空间
向量表示出来，建立起空间图形与空间向量的联系；然后通过空
间向量的运算，研究相应元素之间的关系（距离和夹角等问题），
从而解决立体图形的问题。
2、用“分割，求和，逼近”法对球的两个公式进行推导，
突出相应的数学思想教材在处理球面积、球体积公式推导时，
（1）先讲球体积公式，后讲球的表面积公式，讲后者时利用前
者，而且推导它们的基本思想方法同出一辙。（2）以求几何度
量公式时具有一般性的数学思想为指导，用“分割，求近似和，
化为精确和”的方法推导公式同时注意适合高中生的水平，既
要使学生理解公式推导的基本思想方法，又要有别于正规地使
用极限、微积分等有关概念及公式法则的严格推导具体处理方
法是：求球体积公式时，将半球切片，用多个圆柱体的和逼近
球；求球表面积公式时，将球分为多个以球心为顶点的小锥体，
用它们的和逼近球，通过比较体积得出表面积公式。
课时备课表
教学
内容
9.1平面的基本性质与确定
教学
目标
1.能够从日常生活实例中抽象出数学中所说的“平面”.
2.理解平面的无限延展性.
3.正确地用图形和符号表示点、直线、平面以及它们之间的关系.
4.初步掌握文字语言、图形语言与符号语言三种语言之间的转化.
教学
重点
1．理解平面的无限延展性;
2．集合概念的符号语言的正确使用.
教学
难点
掌握点-直线-平面间的相互关系，并会用文字-图形-符号语言正确表
示.，理解平面的无限延展性.
教学过程
复习
导入
问题情境
情境：广阔的草原、平静的湖面、长方体的底面、侧面都给我们以
平面的形象。
问题：在数学世界中，平面到底是什么样的一个概念呢？
新授
一．平面的概念
1、平面的概念
平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最基本的属性。常见
的桌面，黑板面，平静的水面等都是平面的局部形象。(对比直线的无
限延伸和无粗细)
思考：一条直线把平面分成两部分，一个平面把空间分成几部分？
两个呢？三个呢？
2、平面的画法及其表示方法
1）在立体几何中，常用水平放置的正方形的直观图作为平面的直
观图，即横边成邻边两倍的平行四边形表示水平放置的平面。
注：当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，被遮部分线段画成
A
D
B
C
A
1
D
1
B
1
C
1
M
P
A
B
l
P
虚线。
2）一般用一个希腊字母、、„来表示，如平面，还可用
平行四边形的对角顶点的字母来表示，如平面
AC
等。
(3)图形语言、符号语言、文字语言的相互转化
文字语言(位置关系)符号表示
点
P
在直线
AB
上
PAB
点
C
不在直线
AB
上
Ca
点
M
在平面
AC
内
M
平面
AC
点
1
A
不在平面
AC
内
1
A
平面
AC
直线
AB
、
BC
交于
B
点
ABBCB
直线AB在平面
AC
内
AB
平面
AC
直线
1
AA
不在平面
AC
内1
AA
平面
AC
二．平面的基本性质
1、性质
公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有
点都在这个平面内。
推理模式：
A
AB
B
．如图所示：
应用：
○
1判定直线在平面内；
○
2判定点在平面内。模式：
a
A
Aa
．
公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些
公共点的集合是经过这个公共点的一条直线。
说明：如果两个平面有一条公共直线，则称这两个平面相交，这条公共
直线叫做这两个平面的交线。
推理模式：
P
l
P
且
Pl
。如图所示：
应用：
○
1确定两相交平面的交线位置；
○
2判定点在直线上。
C
B
A
l
B
A
c
P
a
b
公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。如图示：
说明：过不共线三点
,,ABC
的平面通常记作“平面
ABC
”。
推理模式：
,,
,,
,,
ABC
ABC
ABC
不共线
与重合。
应用：
○
1确定平面；
○
2证明两个平面重合。
注：“确定”包含两层意思，“存在”且“唯一”。
思考：过三点确定一个平面对吗？
思考下列问题（用幻灯显示）：
问题1：经过空间一个已知点A可能有几个平面？
问题2：经过空间两个已知点A、B可能有几个平面？
问题3：经过空间三个已知点A、B、C可能有几个平面？
2．推论
推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．（图略）
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．（证明作为思考
题）
课堂
练习
1：将下列文字语言转化为符号语言，图形语言：
(1)点A在平面内，但不在平面内；
(2)直线a经过平面外一点M；
(3)直线l在平面内，又在平面内。（即平面和相交于直线l．）
2：将下列符号语言转化为图形语言：
(1)A，B，Al，Bl；
(2)a，b，//ac，bcP，c。
说明：画图的顺序：先画大件（平面），再画小件（点、线）。
(1)(2)
A
1
D
1
B
1
C
1
A
D
B
C
O
O
1
3：在正方体
1
AC中，判断下列说法是否正确，并说明理由。
(1)直线
1
AC在平面
11
CCBB内；(错误)
(2)设正方形ABCD与
1111
ABCD的中心
分别为
1
,OO，则平面
11
AACC与平面
11
BBDD的交线为
1
OO；(正确)
(3)由点,,AOC可以确定一个平面。(错误)
板书
小结
9.1平面的性质与确定
一、平面的概念
1、定义2、表示
二、平面的性质
1、性质：公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线
上的所有点都在这个平面内。
公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共
点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线。
公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。
2．推论
作业
1．复习课本有关内容
2．课本习题（略）．
3．思考题：（1）三个平面把空间可能分成几部分？（2）如何证
明推论3？