幂函数的图像
dtnl拼音教学教案-圆形拼图
2023年2月22日发(作者：BPSK).
.
幂函数
分数指数幂
正分数指数幂的意义是：
m
n
m
naa（
0a
，m、
nN
，且
1n
）
负分数指数幂的意义是：
1m
n
n
m
a
a
（
0a
，m、
nN
，且
1n
）
1、幂函数的图像与性质
幂函数nyx随着n的不同，定义域、值域都会发生变化，可以采取按性质
和图像分类记忆的方法．熟练掌握nyx，当
11
2,1,,,3
23
n
的图像和性质，
列表如下．
从中可以归纳出以下结论：
①它们都过点1,1，除原点外，任何幂函数图像与坐标轴都不相交，任何幂函
数图像都不过第四象限．
②
11
,,1,2,3
32
a
时，幂函数图像过原点且在0,上是增函数．
③
1
,1,2
2
a
时，幂函数图像不过原点且在0,上是减函数．
④任何两个幂函数最多有三个公共点．
nyx
奇函数偶函数非奇非偶函数
1n
01n
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
.
.
x
O
y
0n
幂函数基本性质
（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且
图象都过点（1，1）；
（2）α＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在
[0，+∞]上，是增函数
（3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上
是减函数.
规律总结
1．在研究幂函数的性质时，通常将分式指数
幂化为根式形式，负整指数幂化为分式形式再去进
行讨论；
2．对于幂函数y＝x，我们首先应该分析函
数的定义域、值域和奇偶性，由此确定图象的位置，即所在象限，其次确定曲
线的类型，即
＜0，0＜
＜1和
＞1三种情况下曲线的基本形状，还要注意
＝0，±1三个曲线的形状；对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口
诀来记忆：“正抛负双，大竖小横”，即
＞0（
≠1）时图象是抛物线型；
＜
0时图象是双曲线型；
＞1时图象是竖直抛物线型；0＜
＜1时图象是横卧抛
物线型．
2、幂函数的应用
例1、幂函数
n
myx
（m、
nN
，且m、n互质）的图象在第一，二象限，且
不经过原点，则有（）
()Am、n为奇数且
1
m
n
()Bm为偶数，n为奇数，且
1
m
n
()Cm为偶数，n为奇数，且1
m
n
()Dm奇数，n为偶数，且1
m
n
例2、右图为幂函数yx在第一象限的图像，则
,,,abcd的大小关系是（）
O
x
y
O
x
y
O
x
y
x
O
y
ayx
byx
cyx
.
.
()Aabcd()Bbadc
()Cabdc()Dadcb
解：取
1
2
x
，
由图像可知：
1111
2222
cdba
，
abdc，应选
()C
．
例3、比较下列各组数的大小：
（1）
1
31.5
，
1
31.7
，1；（2）3
72
，3
73
，3
75
；
（3）
2
32
2
，
2
310
7
，4
31.1
．
解：（1）底数不同，指数相同的数比大小，
可以转化为同一幂函数，不同函数值的大小问题．
∵
1
3yx在0,上单调递增，且
1.71.51
，
∴
11
331.71.51
．
（2）底数均为负数，可以将其转化为33
7722
，
33
7733
，33
7755
．
∵
3
7yx在0,上单调递增，且532，
∴333
777532
，即333
777532
，
∴333
777532
．
（3）先将指数统一，底数化成正数．
22
3322
22
，
22
331010
77
，42
331.11.21
．
∵
2
3yx
在0,上单调递减，且
72
1.21
102
，
∴
2
2
3
2
3
3
72
1.21
102
，
.
.
即：
2
2
3
4
3
3
72
1.1
102
．
点评：比较幂形式的两个数的大小，一般的思路是：
（1）若能化为同指数，则用幂函数的单调性；
（2）若能化为同底数，则用指数函数的单调性；
（3）若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数作
为桥梁来比较大小．
例4、若11
33132aa
，求实数a的取值范围．
分析：若
11
33xy，
则有三种情况
0xy
，
0yx
或
0yx
．
解：根据幂函数的性质，
有三种可能：
10
320
a
a
或
10
320
132
a
a
aa
或
10
320
132
a
a
aa
，
解得：
23
,1,
32
a
．
例3．已知幂函数223mmyx（mZ）的图象与x轴、y轴都无交点，且关于
原点对称，求m的值．
解：∵幂函数223mmyx（mZ）的图象与x轴、y轴都无交点，
∴2230mm，∴13m；
∵
mZ
，∴2(23)mmZ，又函数图象关于原点对称，
∴223mm是奇数，∴0m或2m．
例4、设函数f（x）＝x3，
（1）求它的反函数；
（2）分别求出f－1（x）＝f（x），f－1（x）＞f（x），f－1（x）＜f（x）的
实数x的范围．
解析：（1）由y＝x3两边同时开三次方得x＝3y，∴f－1（x）＝x3
1
．
（2）∵函数f（x）＝x3和f－1（x）＝x3
1
的图象都经过点（0，0）和（1，1）．
∴f－1（x）＝f（x）时，x＝±1及0；
在同一个坐标系中画出两个函数图象，由图可知
f－1（x）＞f（x）时，x＜－1或0＜x＜1；
.
.
f－1（x）＜f（x）时，x＞1或－1＜x＜0．
点评：本题在确定x的范围时，采用了数形结合的方法，若采用解不等式或
方程则较为麻烦．
例5、求函数y＝5
2
x＋2x5
1
＋4（x≥－32）值域．
解析：设t＝x5
1
，∵x≥－32，∴t≥－2，则y＝t2＋2t＋4＝（t＋1）2＋3．
当t＝－1时，y
min
＝3．
∴函数y＝5
2
x＋2x5
1
＋4（x≥－32）的值域为［3，＋）．
点评：这是复合函数求值域的问题，应用换元法．
【同步练习】
1.下列函数中不是幂函数的是（）
Ａ．
yx
Ｂ．3yx
Ｃ．
2yx
Ｄ．1yx
答案：Ｃ
2.下列函数在,0上为减函数的是（）
Ａ．
1
3yx
Ｂ．2yx
Ｃ．3yx
Ｄ．2yx
答案：Ｂ
3.下列幂函数中定义域为0xx的是（）
Ａ．
2
3yx
Ｂ．
3
2yx
Ｃ．
2
3yx
Ｄ．
3
2yx
答案：Ｄ
4．函数y＝（x2－2x）2
1
－
的定义域是（）
A．{x|x≠0或x≠2}B．（－∞，0）（2，＋∞）C．（－∞，0）］［2，
＋∞］D．（0，2）
解析：函数可化为根式形式，即可得定义域．
答案：B
5．函数y＝（1－x2）2
1
的值域是（）
A．［0，＋∞］B．（0，1）C．（0，1）D．［0，1］
解析：这是复合函数求值域问题，利用换元法，令t＝1－x2，则y＝t．
∵－1≤x≤1，∴0≤t≤1，∴0≤y≤1．
答案：D
6．函数y＝5
2
x的单调递减区间为（）
A．（－∞，1）B．（－∞，0）C．［0，＋∞］D．（－
∞，＋∞）
解析：函数y＝5
2
x是偶函数，且在［0，＋∞）上单调递增，由对称性可知选
.
.
B．
答案：B
7．若a2
1
＜a2
1
－，则a的取值范围是（）
A．a≥1B．a＞0C．1＞a＞0D．1≥a≥0
解析：运用指数函数的性质，选C．
答案：C
8．函数y＝32)215(xx－＋
的定义域是。
解析：由（15＋2x－x2）3≥0．∴15＋2x－x＜20．∴－3≤x≤5．
答案：A
9．函数y＝
22
1
mmx－－
在第二象限内单调递增，则m的最大负整数是________．
解析：m的取值应该使函数为偶函数．故m＝－1．
答案：m＝－1
10、讨论函数y＝5
2
x的定义域、值域、奇偶性、单调性，并画出图象的示意图．
思路：函数y＝5
2
x是幂函数．
（1）要使y＝5
2
x＝5
2x有意义，x可以取任意实数，故函数定义域为R．
（2）∵xR，∴x2≥0．∴y≥0．
（3）f（－x）＝5
2)(x－＝5
2x＝f（x），
∴函数y＝5
2
x是偶函数；
（4）∵n＝
5
2
＞0，
∴幂函数y＝5
2
x在［0，＋］上单调递增．
由于幂函数y＝5
2
x是偶函数，
∴幂函数y＝5
2
x在（－，0）上单调递减．
（5）其图象如下图所示．
12．已知函数y＝4
2215xx－－．
（1）求函数的定义域、值域；
（2）判断函数的奇偶性；
（3）求函数的单调区间．
解析：这是复合函数问题，利用换元法令t＝15－2x－x2，则y＝4t，
.
.
（1）由15－2x－x2≥0得函数的定义域为［－5，3］，
∴t＝16－（x－1）2［0，16］．∴函数的值域为［0，2］．
（2）∵函数的定义域为［－5，3］且关于原点不对称，∴函数既不是奇函
数也不是偶函数．
（3）∵函数的定义域为［－5，3］，对称轴为x＝1，
∴x［－5，1］时，t随x的增大而增大；x（1，3）时，t随x的增大
而减小．
又∵函数y＝4t在t［0，16］时，y随t的增大而增大，
∴函数y＝4
2215xx－－的单调增区间为［－5，1］，单调减区间为（1，3］．
答案：（1）定义域为［－5，3］，值域为［0，2］；
（2）函数即不是奇函数，也不是偶函数；
（3）（1，3］．