纳维斯托克斯方程
鱼咬尾的音乐特点-小姨的宠物
2023年2月22日发(作者：岩色)欧拉方程与纳维-斯托克斯方程
一发展历史
以克劳德-路易·纳维(Claude-LouisNavier)和乔治·加布里埃尔·斯托克斯命
名，是一组描述象液体和空气这样的流体物质的方程。这些方程建立了流体的粒
子动量的改变率(加速度)和作用在液体内部的压力的变化和耗散粘滞力(类似于
摩擦力)以及重力之间的关系。这些粘滞力产生于分子的相互作用，能告诉我们
液体有多粘。这样，纳维-斯托克斯方程描述作用于液体任意给定区域的力的动
态平衡。他们是最有用的一组方程之一，因为它们描述了大量对学术和经济有用
的现象的物理过程。它们可以用于模拟天气、洋流、管道中的水流、星系中恒星
的运动、翼型周围的气流；它们也可以用于飞行器和车辆的设计、血液循环的研
究、电站的设计、污染效应的分析等等。
纳维-斯托克斯方程依赖微分方程来描述流体的运动。这些方程，和代数方
程不同，不寻求建立所研究的变量（譬如速度和压力）的关系，而是建立这些量
的变化率或通量之间的关系。用数学术语来讲，这些变化率对应于变量的导数。
这样，最简单情况的0粘滞度的理想流体的纳维-斯托克斯方程表明加速度（速
度的导数，或者说变化率）是和内部压力的导数成正比的。这表示对于给定的物
理问题的纳维-斯托克斯方程的解必须用微积分的帮助才能取得。
实际上，只有最简单的情况才能用上述方法解答，而它们的确切答案是已知
的。这些情况通常涉及稳定态（流场不随时间变化）的非湍流，其中流体的粘滞
系数很大或者其速度很小（小的雷诺数）。对于更复杂的情形，例如厄尔尼诺这
样的全球性气象系统或机翼的升力，纳维-斯托克斯方程的解必须借助计算机。
这本身是一个科学领域，称为计算流体力学。
虽然湍流是日常经验中就可以遇到的，但这类问题极难求解。一个$1,000,000
的大奖由克雷数学学院于2000年5月设立，奖给对于能够帮助理解这一现象的
数学理论作出实质性进展的任何人。
二表达式
1纳维-斯托克斯方程
z
u
y
u
x
u
x
z
u
y
u
x
u
x
p
X
D
Du
z
y
xxxxx
3
1
2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
y
z
u
y
u
x
u
y
p
Y
D
Du
z
y
x
yyyy
3
1
2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
y
z
u
y
u
x
u
z
p
Z
D
Du
z
y
x
yyy
z
3
1
2
2
2
2
2
2
2欧拉方程
欧拉方程就是纳维－斯托克斯方程的0时的特殊形式。
)61(a
x
p
X
D
Du
x
)61(b
y
p
Y
D
Du
y
)61(c
z
p
Z
D
Du
z
三推倒、证明
由应力表示的黏性流体的运动方程
剪应力
)11(a
zyx
X
D
Du
zx
yx
xxx
)11(b
zyx
Y
D
Du
zyyyxyy
)11(c
zyx
Z
D
Du
zz
yz
xzx
)21(
)21(
)21(
c
x
u
z
u
b
z
u
y
u
a
x
u
y
u
z
x
xzzx
y
z
zyyz
y
x
yxxy
法向应力
)31(
3
2
2
)31(
3
2
2
)31(
3
2
2
c
z
u
y
u
x
u
z
u
p
b
z
u
y
u
x
u
y
u
p
a
z
u
y
u
x
u
x
u
p
z
y
x
z
zz
z
y
x
y
yy
z
y
xx
xx
牛顿粘性运动方程
)41(a
zyx
X
D
Du
zx
yx
xxx
)41(b
zyx
Y
D
Du
zyyyxyy
)41(c
zyx
X
D
Du
zz
yz
xzx
将剪应力和法向应力代入牛顿粘性运动方程得纳维－斯托克斯方程
x分量
)51(
3
1
2
2
2
2
2
2
a
z
u
y
u
x
u
x
z
u
y
u
x
u
x
p
X
D
Du
z
y
xxxxx
y分量
)51(
3
1
2
2
2
2
2
2
b
z
u
y
u
x
u
y
z
u
y
u
x
u
y
p
Y
D
Du
z
y
x
yyyy
z分量
)51(
3
1
2
2
2
2
2
2
c
z
u
y
u
x
u
y
z
u
y
u
x
u
z
p
Z
D
Du
z
y
x
yyy
z
以上即是纳维－斯托克斯方程。
欧拉方程
欧拉方程就是纳维－斯托克斯方程的0时的特殊形式。
x分量
)61(a
x
p
X
D
Du
x
y分量
)61(b
y
p
Y
D
Du
y
z分量
)61(c
z
p
Z
D
Du
z
以上即是欧拉方程。