lg函数图像

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高中函数图像大全

YUKIwascompiledonthemorningofDecember16,2020

指数函数

概念：一般地，函数y=a^x（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x

是自变量，函数的定义域是R。

注意：⒈指数函数对外形要求严格，前系数要为1，否则不能为指

数函数。

⒉指数函数的定义仅是形式定义。

指数函数的图像与性质：

规律：1.当两个指数函数中的a互为倒数时，两个函数关于y轴对

称，但这两个函数都不具有奇偶性。

2.当a＞1时，底数越大，图像上升的越快，在y轴的右侧，图像

越靠近y轴；

当0＜a＜1时，底数越小，图像下降的越快，在y轴的左侧，图

像越靠近y轴。

在y轴右边“底大图高”；在y轴左边“底大图低”。

3.四字口诀：“大增小减”。即：当a＞1时，图像在R上是增函

数；当0＜a＜1时，图像在R上是减函数。

4.指数函数既不是奇函数也不是偶函数。

比较幂式大小的方法：

1.当底数相同时，则利用指数函数的单调性进行比较；

2.当底数中含有字母时要注意分类讨论；

3.当底数不同，指数也不同时，则需要引入中间量进行比

较；

4.对多个数进行比较，可用0或1作为中间量进行比较

底数的平移：

在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像

会向右平移。

在f(X)后加上一个数，图像会向上平移；减去一个数，图像

会向下平移。

对数函数

1.对数函数的概念

由于指数函数y=ax在定义域(-∞，+∞)上是单调函数，所以它存

在反函数，

我们把指数函数y=ax(a＞0，a≠1)的反函数称为对数函数，并记为

y=log

a

x(a＞0，a≠1).

因为指数函数y=ax的定义域为(-∞，+∞)，值域为(0，+∞)，所以

对数函数y=log

a

x的定义域为(0，+∞)，值域为(-∞，+∞).

2.对数函数的图像与性质

对数函数与指数函数互为反函数，因此它们的图像对称于直线

y=x.据此即可以画出对数函数的图像，并推知它的性质.

为了研究对数函数y=log

a

x(a＞0，a≠1)的性质，我们在同一直角

坐标系中作出函数

y=log

2

x，y=log

10

x，y=log

10

x,y=log

2

1

x,y=log

10

1

x的草图

由草图，再结合指数函数的图像和性质，可以归纳、分析出对数

函数y=log

a

x(a＞0，a≠1)的图像的特征和性质.见下表.

图

象

a＞1a＜1

性

质

(1)x＞0

(2)当x=1时，y=0

(3)当x＞1时，y＞0

0＜x＜1时，y＜0

(3)当x＞1时，y＜0

0＜x＜1时，y＞0

(4)在(0，+∞)上是增函数(4)在(0，+∞)上是减函数

补

充

性

质

设y

1

=log

a

xy

2

=log

b

x其中a＞1，b＞1(或0＜a＜10＜b＜1)

当x＞1时“底大图低”即若a＞b则y

1

＞y

2

当0＜x＜1时“底大图高”即若a＞b，则y

1

＞y

2

比较对数大小的常用方法有：

(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断.

(2)若底数为同一字母，则按对数函数的单调性对底数进行分类

讨论.

(3)若底数不同、真数相同，则可用换底公式化为同底再进行比

较.

(4)若底数、真数都不相同，则常借助1、0、-1等中间量进行比

较.

3.指数函数与对数函数对比

名称指数函数对数函数

一般形

式

y=ax(a＞0，a≠1)y=log

a

x(a＞0，a≠1)

定义域(-∞，+∞)(0，+∞)

值域(0，+∞)(-∞，+∞)

函

数

值

变

化

情

况

当a＞1时，

















)0(1

)0(1

)0(1

x

x

x

ax

当0＜a＜1时，

















)0(1

)0(1

)0(1

x

x

x

ax

当a＞1时

















)1(0

)1(0

)1(0

log

x

x

x

x

a

当0＜a＜1时，

















)1(0

)1(0

)1(0

log

x

x

x

x

a

单调性当a＞1时，ax是增函

数；

当0＜a＜1时，ax是减函数.

当a＞1时，log

a

x是增函

数；

当0＜a＜1时，log

a

x是减

函数.

图像y=ax的图像与y=log

a

x的图像关于直线y=x对称.

幂函数

幂函数的图像与性质

幂函数nyx随着n的不同，定义域、值域都会发生变化，可以

采取按性质和图像分类记忆的方法．熟练掌握nyx，当

11

2,1,,,3

23

n的图像和性质，列表如下．

从中可以归纳出以下结论：

①它们都过点1,1，除原点外，任何幂函数图像与坐标轴都不相

交，任何幂函数图像都不过第四象限．

②

11

,,1,2,3

32

a时，幂函数图像过原点且在0,上是增函数．

③

1

,1,2

2

a时，幂函数图像不过原点且在0,上是减函数．

④任何两个幂函数最多有三个公共点．

nyx奇函数偶函数非奇非偶函数

1n

01n

0n

O

x

y

O

x

y

O

x

y

O

x

y

O

x

y

O

x

y

O

x

y

O

x

y

O

x

y

yx2yx3yx1

2yx1yx

定义域RRR

|0xx|0xx

奇偶性奇奇奇

非奇非

偶

奇

在第Ⅰ象限的

增减性

在第Ⅰ

象限单

调递增

在第Ⅰ

象限单

调递增

在第Ⅰ

象限单

调递增

在第Ⅰ

象限单

调递增

在第Ⅰ

象限单

调递减

幂函数

yx

（xR，

是常数）的

图像在第一象限的分布规律是：

①所有幂函数

yx

（xR，

是常

数）的图像都过点

)1,1(

；

②当2

1

,3,2,1

时函数

yx

的图像

都过原点

)0,0(

；

③当

1

时，

yx

的的图像在第一象限是第一象限的平分线（如

2

c

）；

④当

3,2

时，

yx

的的图像在第一象限是“凹型”曲线（如1

c

）

⑤当2

1



时，

yx

的的图像在第一象限是“凸型”曲线（如3

c

）

⑥当

1

时，

yx

的的图像不过原点

)0,0(

，且在第一象限是“下

滑”曲线（如4

c

）

当

0

时，幂函数

yx

有下列性质：

（1）图象都通过点

)1,1(),0,0(

；

（2）在第一象限内都是增函数；

（3）在第一象限内，

1

时，图象是向下凸的；

10

时，图象

是向上凸的；

（4）在第一象限内，过点

)1,1(

后，图象向右上方无限伸展。

当

0

时，幂函数

yx

有下列性质：

（1）图象都通过点

)1,1(

；

（2）在第一象限内都是减函数，图象是向下凸的；

（3）在第一象限内，图象向上与

y

轴无限地接近；向右无限地与x

轴无限地接近；

（4）在第一象限内，过点

)1,1(

后，



越大，图象下落的速度越快。

无论



取任何实数，幂函数

yx

的图象必然经过第一象限，并

且一定不经过第四象限。

对号函数

函数

x

b

axy

（a>0,b>0）叫做对号函数，因其在（0，+∞）

的图象似符号“√”而得名，利用对号函数的图象及均值不等式，当

x>0时，

a

b

x

b

ax2（当且仅当

x

b

ax即

a

b

x时取等号），由此可

得函数

x

b

axy（a>0,b>0,x∈R+）的性质:

当

a

b

x时，函数

x

b

axy（a>0,b>0,x∈R+）有最小值

a

b

2，特别地，当a=b=1时函数有最小值2。函数

x

b

axy

（a>0,b>0）在区间（0，

a

b

）上是减函数，在区间（

a

b

，+∞）上

是增函数。

因为函数

x

b

axy（a>0,b>0）是奇函数，所以可得函数

x

b

axy（a>0,b>0,x∈R-）的性质：

当

a

b

x时，函数

x

b

axy（a>0,b>0,x∈R-）有最大值-

a

b

2，特别地，当a=b=1时函数有最大值-2。函数

x

b

axy

（a>0,b>0）在区间（-∞，-

a

b

）上是增函数，在区间（-

a

b

，0）上

是减函