球冠体积计算公式
机械性损伤-差倍问题的公式
2023年2月22日发(作者：英语过去完成时)各形状物体体积计算公
式
内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128）
常用体积及表面积计算公式
名称简图
计算公式
表面积S、
侧表面积M
体积V
正
立
方
体
长
立
方
体
圆
柱
空
心
圆
柱
（
管
）
斜
底
截
圆
柱
正
六
角
柱
正
方
角
锥
台
球
圆
锥
截
头
圆
锥
一些数学的体积和表面积计算公式3
立方图形
名称符号面积S和体积V
正方体a－边长S＝6a2V＝a3
长方体a－长b－宽c－高S＝2(ab+ac+bc)
V＝abc
棱柱S－底面积h－高V＝Sh
棱锥S－底面积h－高V＝Sh/3
棱台S
1
和S
2
－上、下底面积
h－高V＝h[S
1
+S
2
+(S
1
S
2
)1/2]/3
正棱台
拟柱体S
1
－上底面积S
2
－下底面积S
0
－
中截面积h－高
V＝h(S
1
+S
2
+4S
0
)/6
圆柱r－底半径h－高C—底面周长S
底
—底面积S
侧
—侧面积S
表
—表面积C＝2
πr
S
底
＝πr2S
侧
＝ChS
表
＝Ch+2S
底
V＝S
底
h＝πr2h
空心圆柱R－外圆半径r－内圆半径h－
高
V＝πh(R2-r2)
直圆锥r－底半径h－高
V＝πr2h/3
圆台r－上底半径R－下底半径h－高
V＝πh(R2＋Rr＋r2)/3
球r－半径d－直径
V＝4/3πr3＝πd2/6
球缺h－球缺高r－球半径a－球缺底半
径
V＝πh(3a2+h2)/6＝πh2(3r-h)/3
a2＝h(2r-h)
球台r
1
和r
2
－球台上、下底半径h－高
V＝πh[3(r
1
2＋r
2
2)+h2]/6
圆环体R－环体半径D－环体直径r－环
体截面半径d－环体截面直径
V＝2π2Rr2＝π2Dd2/4
桶状体D－桶腹直径d－桶底直径h－桶
高
V＝πh(2D2＋d2)/12(母线是圆弧形,圆心
是桶的中心)
V＝πh(2D2＋Dd＋3d2/4)/15(母线是抛物
我用拟柱体公式来解决一下，至于公式本身
证明需要用到积分知识（需要同时推广牛顿
－莱布尼茨公式），不详谈：
任何立体的体积均可以归纳成：
V＝1/6×h×(S1+S2+4S)
S1指上表面
S2指下表面
S指高线垂直平分面
柱体：
V＝1/6×h×(S1+S2+4S)
V＝1/6×h×(S1+S1+4S1)
V＝1/6×h×6S
V＝Sh
锥体：
V＝1/6×h×(S1+S2+4S)
V＝1/6×h×(S2/4×4+S2)
V＝1/6×h×2S2
V＝1/3×S2h
球体：
V＝1/6×h×(S1+S2+4S)
V＝1/6×2r×(4S)
V＝4/3×Sr
V＝4/3兀r^3
棱台：
V＝1/6×h×(S1+S2+4S)
V＝1/6×h×
(2S1+2S2+2sqrt(S1S2))………………………
（S的计算公式）
V＝1/3×h×(S1+S2+sqrt(S1S2))
圆台、球冠、球缺甚至球台都可以套用这个
公式，计算并不复杂，建议各位都要牢牢记
住。（当然，这个公式推导过程是相当繁琐
的，有机会我将专门证明这个公式。）
、、
长方形的周长=（长+宽）×2
正方形的周长=边长×4
长方形的面积=长×宽
正方形的面积=边长×边长
三角形的面积=底×高÷2
平行四边形的面积=底×高
梯形的面积=（上底+下底）×高÷2
直径=半径×2半径=直径÷2
圆的周长=圆周率×直径=
圆周率×半径×2
圆的面积=圆周率×半径×半径
长方体的表面积=
（长×宽+长×高＋宽×高）×2
长方体的体积=长×宽×高
正方体的表面积=棱长×棱长×6
正方体的体积=棱长×棱长×棱长
圆柱的侧面积=底面圆的周长×高
圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积
圆柱的体积=底面积×高
圆锥的体积=底面积×高÷3
长方体（正方体、圆柱体）
的体积=底面积×高
平面图形
名称符号周长C和面积S
正方形a—边长C＝4a
S＝a2
长方形a和b－边长C＝2(a+b)
S＝ab
三角形a,b,c－三边长
h－a边上的高
s－周长的一半
A,B,C－内角
其中s＝(a+b+c)/2S＝ah/2
＝ab/2·sinC
＝[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2
＝a2sinBsinC/(2sinA)
四边形d,D－对角线长
α－对角线夹角S＝dD/2·sinα
平行四边形a,b－边长
h－a边的高
α－两边夹角S＝ah
＝absinα
菱形a－边长
α－夹角
D－长对角线长
d－短对角线长S＝Dd/2
＝a2sinα
梯形a和b－上、下底长
h－高
m－中位线长S＝(a+b)h/2
＝mh
圆r－半径
d－直径C＝πd＝2πr
S＝πr2
＝πd2/4
扇形r—扇形半径
a—圆心角度数
C＝2r＋2πr×(a/360)
S＝πr2×(a/360)
弓形l－弧长
b－弦长
h－矢高
r－半径
α－圆心角的度数S＝r2/2·(πα/180-sinα)
＝r2arccos[(r-h)/r]-(r-h)(2rh-h2)1/2
＝παr2/360-b/2·[r2-(b/2)2]1/2
＝r(l-b)/2+bh/2
≈2bh/3
圆环R－外圆半径
r－内圆半径
D－外圆直径
d－内圆直径S＝π(R2-r2)
＝π(D2-d2)/4
椭圆D－长轴
d－短轴S＝πDd/4
立方图形
名称符号面积S和体积V
正方体a－边长S＝6a2
V＝a3
长方体a－长
b－宽
c－高S＝2(ab+ac+bc)
V＝abc
棱柱S－底面积
h－高V＝Sh
棱锥S－底面积
h－高V＝Sh/3
棱台S1和S2－上、下底面积
h－高V＝h[S1+S2+(S1S1)1/2]/3
拟柱体S1－上底面积
S2－下底面积
S0－中截面积
h－高V＝h(S1+S2+4S0)/6
圆柱r－底半径
h－高
C—底面周长
S底—底面积
S侧—侧面积
S表—表面积C＝2πr
S底＝πr2
S侧＝Ch
S表＝Ch+2S底
V＝S底h
＝πr2h
空心圆柱R－外圆半径
r－内圆半径
h－高V＝πh(R2-r2)
直圆锥r－底半径
h－高V＝πr2h/3
圆台r－上底半径
R－下底半径
h－高V＝πh(R2＋Rr＋r2)/3
球r－半径
d－直径V＝4/3πr3＝πd2/6
球缺h－球缺高
r－球半径
a－球缺底半径V＝πh(3a2+h2)/6
＝πh2(3r-h)/3
a2＝h(2r-h)
球台r1和r2－球台上、下底半径
h－高V＝πh[3(r12＋r22)+h2]/6
圆环体R－环体半径
D－环体直径
r－环体截面半径
d－环体截面直径V＝2π2Rr2
＝π2Dd2/4
桶状体D－桶腹直径
d－桶底直径
h－桶高V＝πh(2D2＋d2)/12
(母线是圆弧形,圆心是桶的中心)
V＝πh(2D2＋Dd＋3d2/4)/15
(母线是抛物线形)
棱台体体积计算公式：
V=（1/3）H（S上＋S下＋√[S上×S下]）
H是高，S上和S下分别是上下底面的面积。
棱台体积V=（上底面积+下底面积+4×中截面面积）÷6×高
V＝(上口边长(上口边宽杯深
＝（下口边长＋）(下口边宽+杯深
V=(h/3)(a2+ab+b2)﹝其中a，b，h分别为正四棱台的上、下底边及高的大小）
棱台体积：V=〔S1＋S2＋开根号（S1*S2）〕／3*h
注：V：体积；S1：上表面积；S2：下表面积；h：高。
关于不等边长的四梭台的与手工计算偏差的原因
关于不等边长的四梭台的与手工计算偏差的原因
鲁班算量2006在计算独立基础时，发现所有的正四棱台计算正确，而计算有
长边与短边的四棱台时，就不对了，量都偏大的原因：
独立基础体积正确的计算公式为：
四棱台计算公式为(s1+s2+sqr(s1*s2))*h/3,sqr(x)对x求根
或
A*B*H+h/6*(AB+ab+(A+a)(B+b))其中A、B、H分别为独立基础下部长方体的
长、宽、高；a、b、h分别为四棱台的长、宽、高，当然，A与a、B与b相对
应。
用A*B*H+h/6*(AB+ab+(A+a)(B+b))是偏小
实际工作中，这两种公式都有人用，结果有时是不一样.
而使用鲁班算量计算结果偏大，计算不等边长的四梭台与计算公式算出结果不
一样是因为我们预算中的四梭台计算公式是近似的计算方法，而鲁班用的是微积
分算法，结果相差很小
另外鲁班的带马牙槎的构造柱计算结果也与实际算法有差别，其实我们算构造
柱时是按如果有两边有马牙槎的为边长上加6cm计算，鲁班算量考虑了层高的不
同与马牙槎的高度位也考虑了（马牙槎在板底时正好为退时鲁班的计算结果就会
小，但其实鲁班算的是实际的量）。
公式分类
公式分类公式表达式？
乘法与因式分解a2-b2=(a+b)(a-b)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3-b3=(a-b)(a2
+ab+b2)
三角不等式|a+b|≤|a|+|b||a-b|≤|a|+|b||a|≤b-b≤a
≤b
|a-b|≥|a|-|b|-|a|≤a≤|a|
一元二次方程的解-b+√(b2-4ac)/2a-b-b+√(b2-4ac)/2a
根与系数的关系X1+X2=-b/aX1*X2=c/a注：韦达定理
判别式b2-4a=0注：方程有相等的两实根
b2-4ac>0注：方程有一个实根
b2-4ac<0注：方程有共轭复数根
三角函数公式
两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-sinBc
osA
cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+ta
nAtanB)
ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA)ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctg
B-ctgA)
倍角公式tan2A=2tanA/(1-tan2A)ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga
cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a
半角公式sin(A/2)=√((1-cosA)/2)sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)
cos(A/2)=√((1+cosA)/2)cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)
tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA))tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+co
sA))
ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA))ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-co
sA))
和差化积2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A
-B)
2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B)-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)
sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2cosA+cosB=2cos((A+B)/2)si
n((A-B)/2)
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosBtanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB
ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB-ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB
某些数列前n项和1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/21+3+5+7+9+11
+13+15+…+(2n-1)=n2
2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)12+22+32+42+52+62+72+82+…+n
2=n(n+1)(2n+1)/6
13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/41*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…
+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3
正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R注：其中R表示三角形的外
接圆半径
余弦定理b2=a2+c2-2accosB注：角B是边a和边c的夹角
圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2注：（a,b）是圆心坐标
圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0注：D2+E2-4F>0
抛物线标准方程y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2py
直棱柱侧面积S=c*h斜棱柱侧面积S=c'*h
正棱锥侧面积S=1/2c*h'正棱台侧面积S=1/2(c+c')h
'
圆台侧面积S=1/2(c+c')l=π(R+r)l球的表面积S=4π*r
2
圆柱侧面积S=c*h=2π*h圆锥侧面积S=1/2*c*l=π*r*
l
弧长公式l=a*ra是圆心角的弧度数r>0扇形面积公式
s=1/2*l*r
锥体体积公式V=1/3*S*H圆锥体体积公式V=1/3*π*r2h
斜棱柱体积V=S'L注：其中,S'是直截面面积，L是侧棱长
柱体体积公式V=s*h圆柱体V=π*r2h
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自
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数列问题
1．关键提示：
一般而言，公务员考试中的数列问题仅限于数列的简单求和及其变化形式，一般
难度不大。考生只要很好的掌握基本公式，尤其是要学会运用等差中项的相关知
识解题。
2．核心公式：
（1）等差数列通项公式＝＝
（2）等差数列求和公式＝＋＝
（3）等差数列中项公式，
当n为奇数时，等差中项为1项即，＝；
当n为偶数时，等差中项为2项即和，而＋＝；
（4）等比数列通项公式＝＝
例题1：一张考试卷共有10道题，后面的每-道题的分值都比其前面一道题多2
分。如果这张考卷的满分为100分，那么第八道题的分值应为多少()
A．9B．14C．15D．16
解析：显然可将此题转化为一个等差数列的问题。每道题的分值组成了一个公差d
=2的等差数列，显然=100，可利用等差数列的求和公式=＋求出，显然代入
后可求=1，然后根据等差数列的通项公式=求出=15。
注：此题亦可通过求等差中项的方法解，即等差数列，当n=10时其等差中项的
和为＋=100÷5=20，公差d=2，所以=9，=11，所以=15。
例题2：一种挥发性药水，原来有一整瓶，第二天挥发后变为原来的1／2；第三
天变为第二天的2／3；第四天变为第三天的3／4，请问第几天时药水还剩下1／3
0瓶()
A．5天B．12天C．30天D．100天
解析：依据题意，显然可将此题变为一个有规律的数列，即第1天剩下1，第2天
剩下1/2，第3天剩下1/3，依此下去，第30天就剩下1/30。
所以，答案为C。
例题3：2004年江苏A类真题
如果某一年的7月份有5个星期四，它们的日期之和为80，那么这个月的3日是
星期几
A．一B．三
C．五D．日
解析：设这5天分别为，，，，，显然这是一个公差为7的等差数列。等差
中项＝＝16。所以，则＝2即第一个星期四为2号，则3号为星期五。
所以，答案为C。
平面图形
名称符号周长C和面积S
正方形a—边长C＝4a
S＝a2
长方形a和b－边长C＝2(a+b)
S＝ab
三角形a,b,c－三边长
h－a边上的高
s－周长的一半
A,B,C－内角
其中s＝(a+b+c)/2S＝ah/2
＝ab/2•sinC
＝[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2
＝a2sinBsinC/(2sinA)
四边形d,D－对角线长
α－对角线夹角S＝dD/2•sinα
平行四边形a,b－边长
h－a边的高
α－两边夹角S＝ah
＝absinα
菱形a－边长
α－夹角
D－长对角线长
d－短对角线长S＝Dd/2
＝a2sinα
梯形a和b－上、下底长
h－高
m－中位线长S＝(a+b)h/2
＝mh
圆r－半径
d－直径C＝πd＝2πr
S＝πr2
＝πd2/4
扇形r—扇形半径
a—圆心角度数C＝2r＋2πr×(a/360)
S＝πr2×(a/360)
弓形l－弧长
b－弦长
h－矢高
r－半径
α－圆心角的度数S＝r2/2•(πα/180-sinα)
＝r2arccos[(r-h)/r]-(r-h)(2rh-h2)1/2
＝παr2/360-b/2•[r2-(b/2)2]1/2
＝r(l-b)/2+bh/2
≈2bh/3
圆环R－外圆半径
r－内圆半径
D－外圆直径
d－内圆直径S＝π(R2-r2)
＝π(D2-d2)/4
椭圆D－长轴
d－短轴S＝πDd/4
立方图形
名称符号面积S和体积V
正方体a－边长S＝6a2
V＝a3
长方体a－长
b－宽
c－高S＝2(ab+ac+bc)
V＝abc
棱柱S－底面积
h－高V＝Sh
棱锥S－底面积
h－高V＝Sh/3
棱台S1和S2－上、下底面积
h－高V＝h[S1+S2+(S1S1)1/2]/3
拟柱体S1－上底面积
S2－下底面积
S0－中截面积
h－高V＝h(S1+S2+4S0)/6
圆柱r－底半径
h－高
C—底面周长
S底—底面积
S侧—侧面积
S表—表面积C＝2πr
S底＝πr2
S侧＝Ch
S表＝Ch+2S底
V＝S底h
＝πr2h
空心圆柱R－外圆半径
r－内圆半径
h－高V＝πh(R2-r2)
直圆锥r－底半径
h－高V＝πr2h/3
圆台r－上底半径
R－下底半径
h－高V＝πh(R2＋Rr＋r2)/3
球r－半径
d－直径V＝4/3πr3＝πd2/6
球缺h－球缺高
r－球半径
a－球缺底半径V＝πh(3a2+h2)/6
＝πh2(3r-h)/3
a2＝h(2r-h)
球台r1和r2－球台上、下底半径
h－高V＝πh[3(r12＋r22)+h2]/6
圆环体R－环体半径
D－环体直径
r－环体截面半径
d－环体截面直径V＝2π2Rr2
＝π2Dd2/4
桶状体D－桶腹直径
d－桶底直径
h－桶高V＝πh(2D2＋d2)/12
(母线是圆弧形,圆心是桶的中心)
V＝πh(2D2＋Dd＋3d2/4)/15
(母线是抛物线形)
计算人体表面积的公式较多，但大多数可写成(1)或(2)的形式。
SA=cHα1Wα2
(1)
这里SA为人体表面积(m2)；H为身高(cm)；W为体重(kg)；c、α1、α2为常数
项。等式两边取自然对数，可将(1)式线性化为：
lnSA=α0+α1lnH+α2lnW
(2)
其中α0=lnc，ln为自然对数符号。
1916年由DuBois等直接测得9名观察者的身高、体重和体表面积，采用最小变异
系数法，建立了第1个公认的人体表面积计算公式(1)，目前仍被广泛应用。1975
年Gehan和George利用Boyd等直接测量的401例身高、体重和体表面积，应用
最小二乘法拟合了(2)式〔1〕。1987年Mosteller按(1)式给出了容易记忆的简单
公式(c=1/60)〔2〕。1973年Stevenson根据10例实测数据，提出了由身高与体
重推算表面积的二元一次线性公式〔3〕，80年代赵松山等〔4，5〕分别报道了中
国成年男女的计算公式。国内大多数教科书介绍的计算公式是：
SA=+(W≤30)
+(W-30)×(W>30)
几何体的表面积体积计算公式
圆柱体:
表面积:2πRr+2πRh体积:πRRh(R为圆柱体上下底圆半径,h为圆柱体高)
圆锥体:
表面积:πRR+πR[(hh+RR)的平方根]体积:πRRh/3(r为圆锥体低圆半径,h
为其高,
平面图形
名称符号周长C和面积S
正方形a—边长C＝4aS＝a2
长方形a和b－边长C＝2(a+b)S＝ab
三角形a,b,c－三边长h－a边上的高s－周长的一半A,B,C－内角其中
s＝(a+b+c)/2S＝ah/2＝ab/2·sinC＝[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2＝
a2sinBsinC/(2sinA)
四边形d,D－对角线长α－对角线夹角S＝dD/2·sinα
平行四边形a,b－边长h－a边的高α－两边夹角S＝ah＝absinα
菱形a－边长α－夹角D－长对角线长d－短对角线长S＝Dd/2＝a2sinα
梯形a和b－上、下底长h－高m－中位线长S＝(a+b)h/2＝mh
圆r－半径d－直径C＝πd＝2πrS＝πr2＝πd2/4
扇形r—扇形半径a—圆心角度数C＝2r＋2πr×(a/360)S＝πr2×(a/360)
弓形l－弧长S＝r2/2·(πα/180-sinα)
b－弦长＝r2arccos[(r-h)/r]-(r-h)(2rh-h2)1/2
h－矢高＝παr2/360-b/2·[r2-(b/2)2]1/2
r－半径＝r(l-b)/2+bh/2
α－圆心角的度数≈2bh/3
圆环R－外圆半径S＝π(R2-r2)
r－内圆半径＝π(D2-d2)/4
D－外圆直径
d－内圆直径
椭圆D－长轴S＝πDd/4
d－短轴