探索勾股定理
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2023年2月22日发(作者：天宇手机)第一章勾股定理
１．探索勾股定理（二）
一、学生起点分析
学生的知识技能基础：学生在七年级已经学习了整式的加、减、乘、除运算和等式的基
本性质，并能进行简单的恒等变形；上节课又已经通过测量和数格子的方法，对具体的直角
三角形探索并发现了勾股定理，但没有对一般的直角三角形进行验证.
学生活动经验基础：学生在以前数学学习中已经经历了很多独立探究和合作学习的过
程，具有了一定的自主探究经验和合作学习的经验，具备了一定的探究能力和合作与交流的
能力；学生在七年级《七巧板》及《图案设计》的学习中已经具备了一定的拼图活动经验.
二、教学任务分析
本节课是八（上）勾股定理第1节第2课时，是在上节课已探索得到勾股定理之后的内
容，具体学习任务：通过拼图验证勾股定理并体会其中数形结合的思想；应用勾股定理解决
一些实际问题，体会勾股定理的应用价值并逐步培养学生应用数学解决实际问题意识和能
力，为后面的学习打下基础.
三、教学目标
1．教学目标
●知识与技能目标
掌握勾股定理及其验证，并能应用勾股定理解决一些实际问题.
●过程与方法目标
在上节课对具体的直角三角形探索发现了勾股定理的基础上，经历勾股定理的验证过
程，体会数形结合的思想和从特殊到一般的思想.
●情感与态度目标
在勾股定理的验证活动中，培养探究能力和合作精神；通过对勾股定理历史的了解，感
受数学文化，增强爱国情感，并通过应用勾股定理解决实际问题，培养应用数学的意识.
2．教学重点
用面积法验证勾股定理，应用勾股定理解决简单的实际问题.
3．教学难点
验证勾股定理.
四、教法学法
1.教学方法：引导——探究——应用.
2.课前准备：
教具：教材，课件，电脑.
学具：教材，铅笔，直尺，练习本.
五、教学过程
本节课设计了七个教学环节：（一）复习设疑，激趣引入；（二）小组活动，拼图验证；
（三）追溯历史，激发情感；（四）例题讲解，初步应用；（五）拓展练习，能力提升；
（六）回顾反思，提炼升华；（七）布置作业，课堂延伸.
第一环节：复习设疑，激趣引入
内容：教师提出问题：
（1）勾股定理的内容是什么？（请一名学生回答）
（2）上节课我们仅仅是通过测量和数格子，对具体的直角三角形探索发现了勾股定理，
对一般的直角三角形，勾股定理是否成立呢？这需要进一步验证，如何验证勾股定理呢？事
实上，现在已经有几百种勾股定理的验证方法，这节课我们也将去验证勾股定理.
意图：（1）复习勾股定理内容；（2）回顾上节课探索过程，强调仍需对一般的直角三
角形进行验证，培养学生严谨的科学态度；（3）介绍世界上有数百种验证方法，激发学生兴
趣.
效果：通过这一环节，学生明确了：仅仅探索得到勾股定理还不够，还需进行验证.
当学生听到有数百种验证方法时，马上就有了去寻求属于自己的方法的渴望.
第二环节：小组活动，拼图验证.
内容：活动1：教师导入，小组拼图.
教师：今天我们将研究利用拼图的方法验证勾股定理，请你利用自己准备的四个全等
的直角三角形，拼出一个以斜边为边长的正方形.（请每位同学用2分钟时间独立拼图，然
后再4人小组讨论.）
活动2：层层设问，完成验证一.
学生通过自主探究，小组讨论得到两个图形：
图2
在此基础上教师提问：
（1）如图1你能表示大正方形的面积吗？能用两种方法吗？（学生先独立思考，再4
人小组交流）；
（2）你能由此得到勾股定理吗？为什么？（在学生回答的基础上板书(a+b)2=4×
2
1
ab+c2.并得到222cba）
从而利用图1验证了勾股定理.
活动3：自主探究，完成验证二.
教师小结：我们利用拼图的方法，将形的问题与数的问题结合起来，联系整式运算的
有关知识，从理论上验证了勾股定理，你还能利用图2验证勾股定理吗？
（学生先独立探究，再小组交流，最后请一个小组同学上台讲解验证方法二）
意图：设计活动1的目的是为了让学生在活动中体会图形的构成，既为勾股定理的
验证作铺垫，同时也培养学生的动手、创新能力.在活动2中，学生在教师的层层设问引导
下完成对勾股定理的验证，完成本节课的一个重点内容.设计活动3，让学生利用另一个拼
图独立验证勾股定理的目的是让学生再次体会数形结合的思想并体会成功的快乐.
效果：学生通过先拼图从形上感知，再分析面积验证，比较容易地掌握了本节课的
重点内容之一，并突破了本节课的难点.
图1
第三环节：追溯历史激发情感
活动内容：由学生利用所搜集的与勾股定理相关的资料进行介绍.
国内调查组报告：用图2验证勾股定理的方法，据载最早是三国时期数学家赵爽在
为《周髀算经》作注时给出的，我国历史上将图2弦上的正方形称为弦图.2002年的数学家
大会（ICM-2002）在北京召开，这届大会会标的中央图案正是经过艺术处理的弦图，这既
标志着中国古代的数学成就，又像一只转动的风车，欢迎来自世界各地的数学家们！
国际调查组报告：勾股定理与第一次数学危机.
约公元前500年，毕达哥拉斯学派的弟子希帕索斯(Hippasus)发现了一个惊人的事实，
一个正方形的对角线的长度是不可公度的.按照毕达哥拉斯定理(勾股定理)，若正方形边长
是1，则对角线的长不是一个有理数，它不能表示成两个整数之比，这一事实不但与毕氏学
派的哲学信念大相径庭，而且建立在任何两个线段都可以公度基础上的几何学面临被推翻的
威胁，第一次数学危机由此爆发.据说，毕达哥拉斯学派对希帕索斯的发现十分惶恐、恼怒，
为了保守秘密，最后将希帕索斯投入大海.
不能表示成两个整数之比的数，15世纪意大利著名画家达.芬奇称之为“无理的数”，
无理数的英文“irrational”原义就是“不可比”.第一次数学危机一直持续到19世纪实
数的基础建立以后才圆满解决.我们将在下一章学习有关实数的知识.
趣闻调查组报告：勾股定理的总统证法.
在1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏
黄昏的美景……他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈
论着什么，时而大声争论，时而小声探讨．由于好奇心驱使他循声向两个小孩走去，想搞清
楚两个小孩到底在干什么．只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角
形……
于是这位中年人不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下
的难题.他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给
a
a
b
b
c
c
出了简洁的证明方法.
1876年4月1日，他在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾
股定理的这一证法.
1881年，这位中年人—伽菲尔德就任美国第二十任总统.后来，人们为了纪念他对勾股
定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统”证法.
说明：这个环节完全由学生来组织开展，教师可在两天前布置任务，让部分同学收
集勾股定理的资料，并在上课前拷贝到教师用的课件中便于展示，内容可灵活安排.
意图：（1）介绍与勾股定理有关的历史，激发学生的爱国热情；（2）学生加强了对
数学史的了解，培养学习数学的兴趣；（3）通过让部分学生搜集材料，展示材料，既让学生
得到充分的锻炼，同时也活跃了课堂气氛.
效果：学生热情高涨，对勾股定理的历史充满了浓厚的兴趣，同时也为中国古代数
学的成就感到自豪.也有同学提出：当代中国数学成就不够强，还应发奋努力.有同学能意识
这一点，这让我喜出望外.
第四环节：例题讲解初步应用
内容：例题：飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶上方4000米
处，过了20秒，飞机距离这个男孩子头顶5000米，飞机每小时飞行多少千米？
意图：（1）初步运用勾股定理解决实际问题，培养学生应用数学的意识和能力；（2）
体会勾股定理的应用价值.
效果：学生对这样的实际问题很感兴趣，基本能把实际问题转化为数学问题并顺利解
决.
第五环节：拓展练习能力提升
内容：一组生活中勾股定理的应用练习，共3道题
（1）教材P10练习题.
（2）一个25m长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO上，这时的AO距离为24m，如
果梯子的顶端A沿墙下滑4m，那么梯子底端B也外移4m吗？
（3）受台风麦莎影响，一棵高18m的大树断裂，树的顶部落在离树根底部6米处，这
棵树折断后有多高？
说明：这一环节设计了3道题，设计时注意了题目的梯度，由浅入深，第一题为书上
练习题，学生容易解决，第二道题虽然计算难度不大，但考查学生的实际应用能力，第三道
题是应用勾股定理建立方程求解，有一定难度.
意图：在例题的基础上进行拓展，训练学生将实际问题转化为数学问题，再运用勾股
定理解决问题.
效果：小部分学生在完成第二题时，由于欠缺生活常识时，不能准确地理解题意，约
有一半同学对第3道题束手无策，主要是缺乏利用勾股定理建立方程求解的这种思路，经同
学点拨，教师引导，绝大部分同学最后都能解决这个问题，通过3个小题的训练，总体感觉
学生对勾股定理的应用更加熟练，并对勾股定理的应用价值体会更深.
第六环节：回顾反思提炼升华
内容：教师提问：通过这节课的学习，你有什么样的收获？师生共同畅谈收获.
目的：（1）归纳出本节课的知识要点，数形结合的思想方法；（2）教师了解学生对本
节课的感受并进行总结；（3）培养学生的归纳概括能力.
效果：由于这节课自始至终都注意了调动学生学习的积极性，所以学生谈的收获很多，
包括利用拼图验证勾股定理中蕴含的数形结合思想，学生对勾股定理的历史的感悟及对勾股
定理应用的认识等等.
第七环节：布置作业，课堂延伸
内容：教师布置作业
1．习题1．21，2，3
2．上网或查阅有关书籍，搜集至少1种勾股定理的其它证法，至少1个勾股定理的应
用问题，一周后进行展评.
意图：（1）巩固本节课的内容.（2）充分发挥勾股定理的育人价值.
六、教学设计反思
（1）设计理念
在课堂教学中，始终注意了调动学生的积极性.兴趣是最好的老师，所以无论是引入、
拼图，还是历史回顾，我都注意去调动学生，让学生满怀激情地投入到活动中.因此，课堂
效率较高.勾股定理作为“千古第一定理”，其魅力在于其历史价值和应用价值，因此我注意
充分挖掘了其内涵.特别是让学生事先进行调查，再在课堂上进行展示，这极大地调动了学
生，既加深了对勾股定理文化的理解，又培养了他们收集、整理资料的能力.
（2）突出重点、突破难点的策略
勾股定理的验证既是本节课的重点，也是本节课的难点，为了突破这一难点，我设计了
拼图活动，先让学生从形上感知，再层层设问，从面积（数）入手，师生共同探究得到方法
1，最后由学生独立探究得到方法2.这样学生较容易地突破了本节课的难点.
（3）分层教学
根据本班学生及教学情况可在教学过程中选择下述内容进行补充或拓展.
基础训练
1．若△ABC中，∠C=90°，（1）若a=5，b=12，则c=；（2）若a=6，c=10，
则b=；（3）若a∶b=3∶4，c=10，则a=，b=.
2．某农舍的大门是一个木制的矩形栅栏，它的高为2m，宽为1.5m，现需要在相对的
顶点间用一块木棒加固，木板的长为.
3．直角三角形两直角边长分别为5cm，12cm，则斜边上的高为.
4．等腰三角形的腰长为13cm，底边长为10cm，则面积为（）．
A．30cm2B．130cm2C．120cm2D．60cm2
提高训练
5．轮船从海中岛A出发，先向北航行9km，又往西航行9km，由于遇到冰山，只好又
向南航行4km，再向西航行6km，再折向北航行2km，最后又向西航行9km，到达目的地B，
求AB两地间的距离.
6．一棵9m高的树被风折断，树顶落在离树根3m之处，若要查看断痕，要从树底开
始爬多高？
知识拓展
7．折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的F点处，若AB=8cm，BC=10cm，
求EC的长.
E
C
F
B
D
A
意图：进行分层训练，既满足了不同学生的需求，同时也便于老师及时地了解学生的
情况.老师可以根据学生的情况选择上述题目进行练习，也可留作家庭作业.
效果：通过分层练习，充分激发学生的学习热情，教师应留给学生充分的时间思考,
在独立思考的基础上，鼓励学生相互讨论，得出结果:
1．（1）13；（2）8；（3）6，8．2．2.5m．3．
13
60
cm．4．D．5．25km．6．4．7．3cm．
（4）评价方式
在教学活动中教师应关注学生在验证勾股定理过程中表现出来的思维水平，应关注学生
在应用勾股定理解决问题过程中表现出来的应用能力水平.对于学生的回答教师应给予恰当
的评价和鼓励，帮助学生认识自我，建立自信，发挥评价的教育功能.