正弦余弦转换公式

正弦余弦转换公式

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正弦和余弦的相互关系公式

教学目标

1．使学生理解正、余弦相互关系的两个公式的推导过程，理解公式成立的条件，并能

利用它们及其变形公式解答一些基本问题；

2．通过公式的推导过程，培养学生从特殊到一般提出猜想和发现问题的能力；

3．培养学生运用知识结构总结问题的能力。

教学重点和难点

公式的推导和应用是重点；而公式的应用又是难点。

教学过程设计

一、从学生原有的认知结构提出问题A

（投影）问：直角三角形有什么性质？（图6-13）

①c＞a，c＞b

答：（1）边的关系：②a+b＞c，…bc

③a2+b2=c2。

（2）角的关系：∠A+∠B=90°。CaB

（3）边角关系：sinA=a/c，cosA=b/c，…图6-13

教师归纳指出：由此可见，在一个直角三角形中，由于三边之间，两个锐角之间和边角

之间都有一定的关系，而正弦和余弦又是表示直角边和斜边的比值，因此自然要问：正弦和

余弦之间有什么样的相互关系？这就是我们今天所要学习的问题。（板书课题）

二、互为余角的正、余弦相互关系公式的教学过程

1．复习特殊角三角函数值。

（边问边按下列格式打出投影片，如图6-14）

sin30°=；cos60°=；

sin60°=；cos30°=；

sin45°=；cos45°=。

问：你能发现什么规律？

答：sin30°=cos60°，sin60°=cos30°，sin45°=cos45°。

2．从特殊到一般提出猜想。

猜想：设A和B互为余角，则：sinA=cosB，30°

cosA=sinB。2

3．证明猜想，形成公式。

（采取学生口述，教师板演，在此基础上归纳出互为余的

正、余弦相互关系的三种表达形式。）145°

互为余角的正、余弦的相互关系：1

（1）若∠A+∠B=90°，则sinA=cosB，或cosA=sinB。

（2）sinα=cos（90°-α），或cosα=sin（90°-α）。图6-141

（3）数学语言叙述：任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于

它的余角的正弦值。

练习1（口答）

sin37°=cos；cos62°=sin；

sin47°-cos43°=；

72sin

18cos

=。

4．应用公式，变式练习。

3

2

例1（1）已知sinA=1/2，且∠B=90°-∠A。求cosB；

（2）已知sin35°=0.5736，求cos55°；

（3）已知cos47°6＇=0.6807,求sin42°54＇。

分析：观察每小题两锐角的关系均为互余两角，都可运用上述关系式。

三、sin2A+cos2A=1的教学过程

1．从学生原有的认知结构讲授“sin2A+cos2A=1”公式

（投影）如图6-15，△ABC中，∠C=90°。

复习：a+b＞c，a2+b2=c2。

引导：

c

ba

>1，,1

2

22





c

ba

,1

c

b

c

a

1

2

2

2

2



c

b

c

a

。

发现：sinA+cosA>1，sin2A+cos2A=1。

由此得到sinA，cosA相互关系的两条性质：（A为锐角）

（1）sinA+cosA>1，（了解）

（2）sin2A+cos2A=1。（重点）

对于（1）要求学生了解；（2）要求学生理解和掌握。所以下面讲公式（2）的变形和应

用。

2．理解公式sin2A+cos2A=1和几种变形。

sin2A+cos2A=1，sin2A=1-cos2A=（1+cosA）（1-cosA），

sinA=A2cos1，cos2A=1-sin2A=（1+sinA）（1-sinA），

cosA=A2sin1。

3．解公式成立的条件。

4．应用举例，变式练习。

练习2（口答）下列等式是否成立？

（1）sin230°+cos245°=1；（2）sin237°+sin253°=1；

（3）cos256°+sin256°=1；（4）sin246°+cos246°=1；

（5）sin2α+sin2（90°-α）=1。

例2已知∠A为锐角，且cosA=

13

12

。求sinA的值。

解：因为sin2A+cos2A=1，且∠A为锐角，所以

sinA=A2cos1=2)

13

12

(1

=

13

5

。

教师指出：解题时，根据sin2A+cos2A=1，当∠A为锐角时，已知cosA可求sinA，同

样已知sinA也可以求cosA，利用上面的公式，还可以将式子化简。

例3化简：sin4A+sin2A·cos2A+cos2A。（∠A为锐角）

分析：由于原式中的指数为2和4，且底数为sinA和cosA，于是从结构上联想到

“sin2A+cos2A=1”这个公式。

解：sin4A+sin2A·cos2A+cos2A

=sin2A（sin2A+cos2A）+cos2A

=sin2A+cos2A

=1

例4已知：△ABC中，∠C=90°，AC=2

5

，BC=4，如图6-16。

求sinA，cosA，sinB，cosB。

解：AB=22BCAC=2

24)52(=6，所以

sinA=

AC

BC

=

3

2

，cosA=

AB

AC

=

3

5

，A

sinB=sin（90°-A）=cosA=

3

5

，2

5

cosB=cos（90°-A）=sina=

3

2

。B4C

这里求cosA，也可用cosA=A2sin1来求。图6-16

四、小结（投影）

先提出以下问题：

（1）这节课学习了哪两个公式？它们是根据什么知识推导出来的？

（2）应用这两个公式时应注意什么问题？

五、作业（投影）

1．把一列各角的正弦（余弦）改写成它的余角的余弦（正弦）：

（1）sin32°；（2）cos75°；（3）sin54°19′；（4）sin41°53′。

2．填空：

（1）已知：sin67°18′=0.9225，则cos22°42′=。

（2）已知：cos4°24′=0。9971，则sin85°36′=。

3．在△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，先根据下列条

件求出∠A的正弦值和余弦值，然后说出∠B的正弦值和余弦值：

（1）a=2，b=1；（2）a=3，c=4；（3）b=2,c=29；（4）a=45，b=8。

4．设∠A为锐角，且sinA=

17

8

，求cosA。

选作：已知：∠A和∠B（∠A>∠B）是一个直角三角形的两个锐角，并且sinA，sinB

是方程4x2-2kx+k-1=0的两个实根。

求：（1）k的值；（2）∠A和∠B的度数。

略解：因为∠A与∠B互余，所以sinB=cosA，由根与系数关系：sinA+cosA=

2

k

，

sinA·cosA=

4

1k

。由sin2A+cos2A=（sinA+cosA）2-2sinA·cosA=1得：k2-2k-2=0，即k=1-

3

（舍），k=1+

3

，由∠A>∠B，所以∠A=60°，∠B=30°。