线面角

线面角

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2023年2月22日发(作者：悼文)

1

如何寻找线面角和二面角

二面角的基本找法：

1.筝形：

以BD为轴对折

以AC为轴对折

AB=AD，BC=CD，取BD的中点E，连结AE、CE，则由等腰三角形的

性质得AEBD、CEBD，AEC为二面角A-BDC的平面角。

AB=AD,BC=CD时，作BE棱AC于E，连BD，由ABCADC

得DEAC，BED即为所求二面角B-ACD的平面角

A

B

C

D

A

D

C

B

B

C

D

A

E

E

E

2.图中出现垂面或垂线时用三垂线定理找

（1）能找到垂面或一个平面的垂线。

A

已知一个半平面的垂面，平面ACD垂直平面BCD，

作BF垂直交线CD于F作BE垂直棱AC于E连FE，由

三垂线定理知FE垂直AC，BEF即为二面角B-AC-D

的平面角

平面ABD与平面BCD垂直时，可作出平面BCD的垂面AEC，

再作BMCE于F交CD于M，则BM垂直平面AEC于F，然后作

BM垂直棱AC于N，连结MN即由三垂直线定理得MN垂直AC。

BNM即为二面角B-AC-D的平面角。

F

A

B

D

C

C

B

D

E

M

N

E

F

（1）一等腰（底为棱）一直角构成的图形

2

ABC为等腰三角形，AB=BC，ACD为直角三角形，取棱的中点E连BE，

作FE垂直棱交CD于F，FEB即为所求

A

C

B

D

E

F

典例

1.19．如图，正四棱柱

1111

ABCDABCD中，

1

24AAAB，点

E

在

1

CC上且ECEC3

1

．

（Ⅰ）证明：

1

AC平面

BED

；

（Ⅱ）求二面角

1

ADEB的大小．

2.如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，

60ABC

,E，F分

别是BC,PC的中点.

（Ⅰ）证明：AE⊥PD;

（Ⅱ）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切

值为

6

2

，求二面角E—AF—C的余弦值.

3.如图，在四棱锥

ABCDP

中，底面

ABCD

是矩形.

已知60,22,2,2,3PABPDPAADAB.

（Ⅰ）证明

AD

平面

PAB

；

（Ⅱ）求异面直线

PC

与

AD

所成的角的大小；

（Ⅲ）求二面角

ABDP

的大小.

A

B

C

D

E

A

1B

1

C

1

D

1