高等代数习题集

发布时间：2023-06-07 作者：admin 来源：文学

高等代数习题集

氩氦刀-学校管理制度汇编

2023年2月22日发(作者：委托经营管理协议)

习题5.1

1．判断全体n阶实对称矩阵按矩阵的加法与数乘是否构成实数域上的线性空间．

答是．

因为是通常意义的矩阵加法与数乘,所以只需检验集合对加法与数乘运算的封闭性.

由n阶实对称矩阵的性质知，n阶实对称矩阵加n阶实对称矩阵仍然是n阶实对称矩阵，

数乘n阶实对称矩阵仍然是n阶实对称矩阵,所以集合对矩阵加法与数乘运算封闭,构成

实数域上的线性空间.

2．全体正实数R+,其加法与数乘定义为

abab

kaa

abRkR







其中

判断R+按上面定义的加法与数乘是否构成实数域上的线性空间.

答是.设,R.

因为,abRababR,

,RaRaaRo,

所以R对定义的加法与数乘运算封闭.

下面一一验证八条线性运算规律

(1)

ababbaba

;

(2)()()()()()abcabcabcabcabcabc;

(3)

R中存在零元素1,

aR,有

11aaa

;

(4)对

R中任一元素a，存在负元素1naR,使111aaaa;

(5)

1aaao;(6)aaaaa















oooo;

(7)aaaaaaaa









ooo;

所以R+对定义的加法与数乘构成实数域上的线性空间.

3.全体实n阶矩阵，其加法定义为

按上述加法与通常矩阵的数乘是否构成实数域上的线性空间.

答否.

ABBA与不一定相等.

故定义的加法不满足加法的交换律即运算规则（１）,全体实n阶矩阵按定义的加法

与数乘不构成实数域上的线性空间.

4．在22P中，2222/0,,WAAAPWP判断是否是的子空间.

答否.

121123

123345







例如和的行列式都为零，但的行列式不为零,也就是说集合对加法不封闭.

习题5.2

1．讨论22P中

的线性相关性.

解设

11223344

xAxAxAxAO,

即

1234

axxxx

xaxxx

xxaxx

xxxax





















.由系数行列式3

111

(3)(1)

111



知,31,,aa且时方程组只有零解这组向量线性无关；

2．在4R中，求向量

1234

在基,,,下的坐标.其中

解设

11223344

xxxx

由

1234

100

110

010

111



















10001

01000

00101

00010















初等行变换

得

.故向量

1234

在基,,,下的坐标为(1,0,-1,0).

解设

11223344

xxxx

则有

1234

004

0007

xxxx





















由

1011210007























初等行变换

得

1234

7112130.故向量

1234

在基,,,下的坐标为（-7，11，-21，30）.

4．已知3R的两组基

（Ⅰ）：

123









=，=0，=0

-11

（Ⅱ）：

123









=，=3，=4

（1）求由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵；

（2）已知向量

123123

,,,,,







在基下的坐标为0求在基下的坐标

-1

；

（3）已知向量

123123

,,,,,







在基下的坐标为-1求在基下的坐标

;

（4）求在两组基下坐标互为相反数的向量



解（1）设C是由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵,由

321321

,,,,

即

123111

234100

143111













知基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵为

1111123234

100234010

111143101













（2）首先计算得1

010

C















于是



在基

321

,,下的坐标为1

C























（3）在基

321

,,下的坐标为













(4)设在基

321

,,下的坐标为







,据题意有

234

010

101

































解此方程组可得















，为任意常数.

430,

kkkk













为任意常数.

5．已知P[x]

的两组基

（Ⅰ）：232

1234

()1()()1()1fxxxxfxxxfxxfx，，，

（Ⅱ）：232332

1234

()()1()1()1gxxxxxxxxxxxxx，g，g，g

（1）求由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵；

（2）求在两组基下有相同坐标的多项式f(x).

解(1)设C是由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵,由

12341234

,,,,,,ggggffffC

有2323

01111011

10111110

(1,,,)(1,,)

11011100

11101000

xxxxxxC















，.

1110

0011

0112

1113





















（2）设多项式f(x)在基（Ⅰ）下的坐标为

1234

(,,,)Txxxx.

据题意有

111

222

333

444

()

xxx

CCE

xxx











0（*）

因为

0110

110110

0111

1110011

0102

102102

1112











所以方程组（*）只有零解，则f(x)在基（Ⅰ）下的坐标为(0,0,0,0)T，所以f(x)=0

习题5.3

证明线性方程组

的解空间与实系数多项式空间

[]Rx同构.

证明设线性方程组为AX=0,对系数矩阵施以初等行变换.

()2()3RARAQ线性方程组的解空间的维数是5-.

实系数多项式空间

[]Rx的维数也是3,所以此线性方程组的解空间与实系数多项式空

间

[]Rx同构.

习题5.4

1．求向量1,1,2,3的长度.

解22221(1)2315.

2．求向量1,1,0,12,0,1,3与向量之间的距离.

解(,)d2222(12)(10)(01)(13)7.

3．求下列向量之间的夹角

（1）10431211,,,，,,,

（2）12233151,,,，,,,

（3）1,1,1,2311,0，，，

解（1）,1(1)02413(1)0,,



Q

（2）,1321253118Q,

,arccos

618



.

（3）,13111(1)203Q,

11147,911011,

,arccos

.

3．设，,

为n维欧氏空间中的向量，证明:

(,)(,)(,)ddd

证明因为22(,)

所以2

2()

,从而

(,)(,)(,)ddd

习题5.5

1．在4R中，求一个单位向量使它与向量组

1,1,1,11,1,1,11,1,1,1

321

，，正交.

解设向量

1234123

(,,,)xxxx与向量,,正交,

则有

11234

21234

31234

(,0

(,)00

xxxx



















,)0

)0即（*）.

齐次线性方程组(*)的一个解为

1234

1xxxx.

取*

1111

(1,1,1,1),,,,

2222

将向量单位化所得向量=()即为所求

2．将3R

的一组基

123

110

1,2,1

111













化为标准正交基.

解(1)正交化,取













,12

221

(,)

1112112

(,)1111113













































(2)将

123

,,单位化

则*

,*

为R3的一组基标准正交基.

3．求齐次线性方程组

的解空间的一组标准正交基.

分析因齐次线性方程组的一个基础解系就是其解空间的一组基，所以只需求出一个基础解

系再将其标准正交化即可.

解对齐次线性方程组的系数矩阵施行初等行变换化为行最简阶梯形矩阵

可得齐次线性方程组的一个基础解系

123

111

100

010

004

001















由施密特正交化方法,取

112213312

11/21/3

111

011/3

223

004

001



















将

123

,,

单位化得单位正交向量组

因为齐次线性方程组的解向量的线性组合仍然是齐次线性方程组的解，所以*

,*



是解空间的一组标准正交基.

3．设

,

,…,

是n维实列向量空间nR

中的一组标准正交基,A是n阶正交矩阵,

证明:

A

,…,

A

也是nR

中的一组标准正交基．

证明因为

,,,

是n维实列向量空间nR中的一组标准正交基,所以













iji1

),((,1,2,,)ijnL.

又因为A是n阶正交矩阵,所以TAAE.

则

故

AAA,,,

也是nR中的一组标准正交基.

5．设

123

,,是3维欧氏空间V的一组标准正交基,证明

也是V的一组标准正交基.

证明由题知

123

,,所以是单位正交向量组,构成V的一组标准正交基.

习题五

(A)

一、填空题

1．当k满足时，3

121

1,2,1,2,3,,3,,3kkR为的一组基.

解三个三维向量为3R的一组基的充要条件是

123

,,0,即26kk且.

2．由向量1,2,3所生成的子空间的维数为.

解向量1,2,3所生成的子空间的维数为向量组的秩,故答案为1.

3．3

123

,,1,3,5,6,3,2,3,1,0R中的向量371在基下的坐标为.

解根据定义,求解方程组就可得答案.

设所求坐标为

123

(,,)xxx,据题意有

112233

xxx.

为了便于计算,取下列增广矩阵进行运算

321

3613100154

,,133701082

025100133













初等行变换，

所以

123

(,,)xxx=(33,-82,154).

4.3

123123

,,2,1,3,1,0,1,2,5,1R中的基到基的过渡矩阵为.

解因为

123123

212

(,,)(,,)105

311

















,所以过渡矩阵为

212

105

311















5.正交矩阵A的行列式为.

解21TAAEAA

1

6．已知5元线性方程组AX=0的系数矩阵的秩为3,则该方程组的解空间的维数为.

解5元线性方程组AX=0的解集合的极大无关组（基础解系）含5–3=2个向量,

故解空间的维数为2.

4

1234

2,1,1,1,2,1,,,3,2,1,,4,3,2,11,aaaRa7.已知不是的基且a则满

足.

解四个四维向量不是4R的一组基的充要条件是

1234

,,,0,则

a

或1.

故答案为

a

二、单项选择题

1．下列向量集合按向量的加法与数乘不构成实数域上的线性空间的是().

（A）RxxxxV

,,0,,0,

111



（B）RxxxxxxxV

inn

,0,,,

21212



（C）RxxxxxxxV

inn

,1,,,

21213



(D)

411

,0,,0,0VxxRL

解(C)选项的集合对向量的加法不封闭,

故选（C）.

2.33

PA











在中由生成的子空间的维数为（）.

(A)1(B)2(C)3(D)4

解向量组A=







生成的子空间的维数是向量组A的秩,故选（A）.

解因(B)选项

122331123

101

2,23,3=(,,)220

033













中（）,

又因

123

101

,,220

033









线性无关且可逆，所以

122331

2,23,3线性无关.

故选（B）.

解因

122313

()()()0,所以(C)选项中向量组线性相关,故选（C）.

5．n元齐次线性方程组AX=0的系数矩阵的秩为r,该方程组的解空间的维数为s,则

().

(A)s=r(B)s=n-r(C)s>r(D)s

选（B）

6.已知A,B为同阶正交矩阵,则下列()是正交矩阵.

(A)A+B(B)A-B(C)AB(D)kA（k为数）

解A,B为同阶正交矩阵()TTTTABABABBAAAE故选（C）.

7.线性空间中，两组基之间的过渡矩阵（）.

(A)一定不可逆(B)一定可逆(C)不一定可逆(D)是正交矩阵

选（B）

(B)

1．已知4R的两组基

（Ⅰ）：

1234

,,,

（Ⅱ）：

444

,,,

(1)求由基（Ⅱ）到（Ⅰ）的过渡矩阵；

(2)求在两组基下有相同坐标的向量.

解（１）设C是由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵,已知

12341234

1000

1100

(,,,)(,,,)

1110

1111













所以由基（Ⅱ）到基（Ⅰ）的过渡矩阵为

1000

1100

0110

0011

C





















（2）设在两组基下有相同坐标的向量为



,又设



在基（Ⅰ）和基（Ⅱ）下的坐标均为

),,,(

4321

xxxx,由坐标变换公式可得











,即

()











0（*）

齐次线性方程（*）的一个基础解系为

(0,0,0,1)

,通解为(0,0,0,)()XkkR．

故在基（Ⅰ）和基（Ⅱ）下有相同坐标的全体向量为

12344

000()kkkR.

解(1)由题有

因

001

100

111

222

0，所以

123

,,线性无关.

故

123

,,是3个线性无关向量，构成3R的基.

(2)因为

所以从

123123

,,,,基到基的过渡矩阵为

010

-1-12

100







(3)

123123123

10101

2,,2,,-1-122

11001















（）（）

123

,,-5













（）

所以

123

,,5.













向量在基下的坐标为

解(1)因为

12341234

,,,,由基,到基,的过渡矩阵为C=

2100

1100

0035

0012







,所以

12341234

(,,,)(,,,)

2100-12001000

0012002-50001

002100-130037

C















所以

1234

1300

1000

,,,

0001

0037

















(2)1

2(,,,)(,,,)

C













1234

(,,,)















12341234

2,,,

-7













向量在基下的坐标为.

证明设

112233

()()()0tfxtfxtfx,

则有222

123

(1)(12)(123)0txxtxxtxx

即

123

0111

20*11210

230123

ttt

















（）因为系数行列式

所以方程组（*）只有零解.故

123

(),(),()fxfxfx线性无关,构成

[]Px线性空间的一组基.

设

112233

()()()()fxyfxyfxyfx

则有

1231

1232

1233

292

23143

yyyy



























所以()fx

123

(),(),()fxfxfx在基下的坐标为（1,2,3）.

5．当a、b、c为何值时，矩阵A=

001







是正交阵.

解要使矩阵A为正交阵，应有TAAE





















①



















；②



















；③



















；④



















6．设??

是n维非零列向量,E为n阶单位阵,证明:TTEA）（/2

为正交矩阵.

证明因为??

是n维非零列向量,T所以是非零实数.

又

22T

TTTT

AEEA











所以

TTT

AAAAEE











故A为正交矩阵．

7．设TEA2,其中

,,,T

aaaL（）,若T=1.证明A为正交阵.

证明因为AEEEATTTTTTT2)(2)2(，所以A为对称阵.

又(2)(2)TTTAAEE244()TTTEE,

所以A为正交阵.

证明因为,,ABn均为阶正交矩阵所以0TAA且

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