将军饮马问题16大模型
成本管理的意义-励志学
2023年2月22日发(作者：卤料)第6页共10页
将军饮马的六种常见模型
将军饮马问题——线段和最短
一．六大模型
1.如图，直线l和l的异侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小。
2.如图，直线l和l的同侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小。
3.如图，点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON上作点A，B。使△PAB的周长最小
4.如图，点P，Q为∠MON内的两点，分别在OM，ON上作点A，B。使四边形PAQB的周长最小。
5.如图，点A是∠MON外的一点，在射线ON上作点P，使PA与点P到射线OM的距离之和最小
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6..如图，点A是∠MON内的一点，在射线ON上作点P，使PA与点P到射线OM的距离之和最小
二、常见题目
Part1、三角形
1．如图，在等边△ABC中，AB=6，AD⊥BC，E是AC上的一点，M是AD上的一点，AE=2，求EM+EC
的最小值
解：∵点C关于直线AD的对称点是点B，
∴连接BE，交AD于点M，则ME+MD最小，
过点B作BH⊥AC于点H，
则EH=AH–AE=3–2=1，
BH=
22BCCH
=
2263
=
33
在直角△BHE中，BE=
22BHEH
=22(33)1=
27
2．如图，在锐角△ABC中，AB=
42
，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是
AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是____．
解：作点B关于AD的对称点B'，过点B'作B'E⊥AB于点E，交AD于点F，则线段B'E长就是BM
＋ＭＮ的最小值在等腰Rt△AEB'中，根据勾股定理得到，B'E=4
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3．如图，△ABC中，AB=2，∠BAC=30°，若在AC、AB上各取一点M、N，使BM+MN的值最小，则
这个最小值
解：作AB关于AC的对称线段AB'，过点B'作B'N⊥AB，垂足为N，交AC于点M，则B'N=MB'+MN
=MB+MN.B'N的长就是MB+MN的最小值，则∠B'AN=2∠BAC=60°，AB'=AB=2，∠ANB'=
90°，∠B'=30°。
∴AN=1，在直角△AB'N中，根据勾股定理B'N=
3
Part2、正方形
1．如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一动点，DN＋MN的最小
值为_________。
即在直线AC上求一点N，使DN+MN最小。
解：故作点D关于AC的对称点B，连接BM，交AC于点N。则DN＋MN＝BN＋MN＝BM。线段BM的
长就是DN＋MN的最小值。在直角△BCM中，CM＝6，BC＝8，则BM＝10。故DN＋ＭＮ的最小值是
10
2．如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线
AC上有一点P，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为（）
A．
23
B．
26
C．3D．
6