三角函数的图像和性质
校园风云人物-三国成语故事
2023年2月22日发(作者：大航海时代外传)三角函数的图像与性质
一、正弦函数、余弦函数的图像与性质
二、正切函数的图象与性质
函数y＝sinxy＝cosx
图
象
定义域RR
值域[－1,1][－1,1]
单调性
递增区间：
2,2()
22
kkkZ
递减区间：
3
2,2()
22
kkkZ
递增区间：[2kπ－π，2kπ]
(k∈Z)
递减区间：[2kπ，2kπ＋π]
(k∈Z)
最值
x＝2kπ＋
π
2
(k∈Z)时，ymax＝1；
x＝2kπ－
π
2
(k∈Z)时，ymin＝－1
x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；
x＝2kπ＋π(k∈Z)时，ymin＝－1
奇偶性奇函数偶函数
对称性
对称中心：(kπ，0)(k∈Z)（含原点）
对称轴：x＝kπ＋
π
2
，k∈Z
对称中心：(kπ＋
π
2
，0)(k∈Z)
对称轴：x＝kπ，k∈Z（含y轴）
最小正周期2π2π
定义域{|,}
2
xxkkZ
值域R
单调性
递增区间
(,)()
22
kkkZ
奇偶性奇函数
对称性
对称中心：
(,0)()
2
k
kZ
（含原点）
最小正周期π
三、三角函数图像的平移变换和伸缩变换
1.由
xysin
的图象得到
)sin(xAy
(
0,0A
)的图象
xysin
方法一：先平移后伸缩方法二：先伸缩后平移
操作向左平移φ个单位
横坐标变为原来的
1
倍
结果
)sin(xyxysin
操作
横坐标变为原来的
1
倍
向左平移
个单位
结果
)sin(xy
操作纵坐标变为原来的A倍
结果
)sin(xAy
注意：平移变换或伸缩变换都是针对自变量x而言的，因此在用这样的变换法作图象时一
定要注意平移与伸缩的先后顺序，否则会出现错误。
2.
)sin(xAy
(
0,0A
)的性质
（1）定义域、值域、单调性、最值、对称性：
将
x
看作一个整体，与相应的简单三角函数比较得出；
（2）奇偶性：只有当
取特殊值时，这些复合函数才具备奇偶性：
)sin(xAy
，当
k
时为奇函数，当
2
k
时为偶函数；
（3）最小正周期：
2
T
3.y＝Asin(ωx＋φ),x∈[0,+∞)(
0,0A
)中各量的物理意义
(1)A称为振幅；(2)
2
T
称为周期；(3)
1
f
T
称为频率；
(4)
x
称为相位；(5)
称为初相(6)
称为圆频率.