函数的对应法则
镍渣-支付结算办法
2023年2月22日发(作者：压力表精度等级)1
函数的基本概念
章节结构图
二、复习指导
函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，函数的数学思想方法贯穿于高中数学课程的始终，函数又
是初等数学和高等数学衔接内容，因此在历届高考中都占有很大的比例，成为数学高考的重点和热点，考察的
内容涉及函数的概念，定义域、值域，函数的奇偶性、单调性和周期性，图象的变换和函数知识的综合运用等，
考察的数学思想或方法有函数与方程、分类讨论、等价转化、数形结合、待定系数法和换元法等．做好函数的
复习将有利于整个高中数学的复习．
复习将有利于整个高中数学的复习．
按照新课标的要求，复习中要始终强化函数的对应、运动变化等本质特征，重视对函数概念的理解；以简
单的函数为载体，全面复习函数的性质，再利用函数的性质研究较复杂的函数，在复习中应注意数形结合的训
练，关注函数与其他知识的联系．
练，关注函数与其他知识的联系．
函数的基本概念
（一
)
函数的定义
2
1、传统定义
:
设在某一变化过程中有两个变量
x
和
y,
如果对于某一范围内
x
的每一个值
,y
都
有唯一的值和它对应
,
那么就说
y
是
x
的函数
,x
叫做自变量
,y
叫做因变量
(
函数
).
2、现代定义
:
设
A
、
B
是两个非空数集
,
如果按照某个确定的对应关系
f,
使对于集合
A
中的任
意一个数
x ,
在集合
在集合
B
中都有唯一确定的数
f(x)
和它对应
,
那么就称
那么就称
f
：
A→B
为从集合
A
到集合
B
的一个函数
,
记作
y=f(x),x
∈
A.
A.其中其中
,x
叫做自变量
,x
的取值范围
A
叫做函数的定义域
;
与
x
的值相对
应的
y
的值叫做函数值
,
函数值的集合｛
f(x)|x
∈A｝叫做函数的值域
.
3、认知
:
①注意到现代定义中
“A
、
B
是非空数集
”,
因此
,
今后若求得函数定义域或值域为
φ,
则此函数不
存在
.
②函数对应关系、定义域和值域是函数的三要素
,
缺一不可
.
在函数的三要素中
,
对应关系是核
心
,
定义域是基础
,
当函数的定义域和对应法则确定之后
,
其值域也随之确定
.
(二
).
映射的概念
将函数定义中的两个集合从非空数集扩展到任意元素的集合
,
便得到映射概念
.
1
、定义
1
：设
A
、
B
是两个集合
,
如果按照某种对应法则
f,
对于集合
A
中任何一个元素
,
在集
合
B
中都有唯一的元素和它对应
,
那么这样的对应
(
包括集合
A
、
B
及集合
A
到集合
B
的对应法则
f)
叫做集合
A
到集合
B
的映射
,
记作
记作
f
：
A→B
2
、定义
2
：给定一个集合
A
到集合
B
的映射
的映射
f
：
A→B,
且
a
∈
A,b
A,b∈∈
B,
B,如果在此映射之下元素如果在此映射之下元素
a
和元素
b
对应
,
则将元素
b
叫做元素
a
的象
,
元素
a
叫做元素
b
的原象
.
即如果在给定映射下有
即如果在给定映射下有
f
：
a→b,
则
b
叫做
a
的象
,a
叫做
b
的原象
.
3、认知
:
映射定义的精髓在于
“
任一
(
元素
)
对应唯一
(
元素
)”,
即
A
中任一元素在
B
中都有唯一的象
.
在这
里
,A
中元素不可剩
,
允许
B
中有剩余；不可
“
一对多
”,
允许
“
多对一
”.
因此
,
根据
B
中元素有无剩余的
情况
,
映射又可分为
“
满射
”
和
“
非满射
”
两类
.
集合
A
到集合
B
的映射
的映射
f
：
A→B
是一个整体
,
具有方向性；
具有方向性；
f
：
A→B
与
f
：
B→A
一般情
况下是不同的映射
.
（三）、函数的表示法
表示函数的方法
,
常用的有解析法、列表法、图象法和口头描述法
.
1
、解析法
:
把两个变量的函数关系
,
用一个等式来表示
,
这个等式叫做函数的解析表达式
,
简称
解析式
.
2
、列表法
:
列出表格表示两个变量的函数关系的方法
.
运用列表法表示的
,
多是理论或实际生活
中偏于实用的函数
.
3
、图象法
:
用函数图象表示两个变量之间函数关系的方法
.
图象法直现形象地表示出函数的变化情况
,
是数形结合的典范
.
只是它不能精确表示自变量与
函数值之间的对应关系
.
认知
:函数符号的意义
在函数的概念中
,
我们用符号
“y=f(x)”
表示
“y
是
x
的函数
”
这句话
.
其中
,
对于运用解析法给出的函数
y=f(x),
其对应法则
“f”
表示解析式蕴含的对自变量
x
施加的
“
一套运算的法则
”,
即一套运算的框架
.
具体地
,
对于函数
f(x)=5-2x+3(x>1)
①
对应法则
“f”
表示这样一套运算的框架
:5()
－
2
（）＋
3
，（
，（
）＞１．
）＞１．
3
即
f: 5()-2()+3,()>1.
据此
,
我们可分别对函数值与函数表达式作以诠释和辩析
:
f(a):
对自变量
x
的取值
a
实施上述运算后的结果
,
故有
f(a)=5-2a+3 (a>1);
f(x):
对自变量
x
实施上述运算后的结果
,
故有
f(x)=5-2x+3 (x>1);
f(g(x)):
对函数
g(x)
实施上述运算后的结果
,
于是有
于是有
f(g(x))=5(x)-2g(x)+3 ( g(x)>1 )
②
感悟
:
函数符号意义之下的产物或推论有比较才能有鉴别
,
有品味才能有感悟
.
我们仔细地比较
和品味①、②
和品味①、②,,不难从中悟出这样的代换规律
:
f(x)
的解析式
f[g(x)]
的表达式
的表达式
我们将上述替换形象地称之为
“
同位替换
”.
显然
,
同位替换是在函数符号的意义下产生的函数特有的替换
,
它源于
“
等量替换
”
，又高于
“
等
量替换
”
，对于同位替换
,
在两式不可能相等的条件下仍可操作实施
,
这是
“
等量替换
”
所不能比拟的
.
由
f(x)
的解析式导出
f(x+1)
的解析式
,
便是辩析两种替换的一个很好的范例
.
三、典型例题
例
1
．设A
={
x
:0
≤
x
≤
2}
，
B
={
y
:
－
2
≤
y
≤
2}
则从
A
到
B
能构成映射的一个是
( )
(A)x
yxf
1
:
=®(B)
2
:
xyxf
=®
(C)xyxf
±=®
：(D)xxf
4
1
®
：
例
2
．
试判断以下各组函数是否表示同一函数．
试判断以下各组函数是否表示同一函数．
xxgxxf
2log)(,)()1(
2
2
==
(2)
f
(
x
)=lg
x2，
g(
x)=2lg
x
2)(
2
4
)()3(
2
-=
+
-
=
xxg
x
x
xf
(4)
f(
x
)=
x3，
g(
t)=
t3
例
3
．已知f
：
A
→
B
，其中
A
=
B
＝
R
，对应法则
f
:
x
→
y
=
－
x2+2
x
(
Ⅰ
)
对于实数
k
∈
B
，在集合
A
中存在不同的两个原象，求
k
的取值范围．
的取值范围．
(
Ⅱ
)
若对于实数
p
∈
B
，在
A
中不存在原象，求
p
的取值范围．
的取值范围．
例
4
．从集合
{
a，
b
，
c
}
到集合
{
m
，
n
，
p
}
可构成多少个映射，其中一一映射有多少个
?
例
5
．函数y
=
f
(
x
)
的图象与直线
x
=
a
(
a
∈
R
)
的交点个数为
( )
(A)0 (B)1 (C)0
或
1 (D)
可多于
1
4
例题解析
例
1
解：对于选项
A
，x
=0
时
x
1
没有意义，即
A
中的元素
0
在
B
中没有对应元素．
中没有对应元素．
选项
B
中，
2
∈
A
，但
22
Ï
B
，即
A
中的元素
2
在
B
中没有对应元素．
中没有对应元素．
选项
C
中，虽然通过xy
±=
在
N
中都有对应元素，但不能保证对应元素的唯一性．
中都有对应元素，但不能保证对应元素的唯一性．
而对于选项
D
，当
x
∈
[0
，
2]
时，
Bxy
ÍÎ=
]
2
1
,0[
4
1
，保证了
A
中的每一个元素在
B
中都有对应元素，同时
通过
xy
4
1
=
，对应元素又是唯一的，故选
D
．
例
2
解：
(1)
由于
xxxx==
2log|,|
2
2，显然两个函数的对应法则不同，它们不是同一个函数．
，显然两个函数的对应法则不同，它们不是同一个函数．
(2)
两个函数的定义域分别为
{
x
ÎR
｜
x
≠0}
，
{
x
∈
R
｜
x
＞
0}
显然不同，所以它们不是同一个函数．
显然不同，所以它们不是同一个函数．
(3))2(2
2
42
-=
/
-=
+
-
=
xx
x
x
y
与
y
=
x
－
2
的定义域不同，所以它们也不是同一个函数．
的定义域不同，所以它们也不是同一个函数．
(4)
y
=
x3
3与
S
=
t3
3不仅定义域相同，而且对应法则也相同，所以它们是同一个函数．
不仅定义域相同，而且对应法则也相同，所以它们是同一个函数．
小结：函数的定义主要包括定义域和定义域到值域的对应法则，因此只有当两个函数的定义域和对应法则
完全一致时，它们才是相同的函数．
完全一致时，它们才是相同的函数．
例
3
解：
(
Ⅰ
)
令y
=
k
得
x2－
2
x
＋
k
=0
，此方程有两个不同的解，需
Δ
=(
－
2)2－
4
k
＞
0
，解之得
k
＜
1
．
(
Ⅱ
)
解法一：由
y
=
－
x2＋
2
x=
－
(
x
－
1)2＋
1
≥
1
可知，映射
f
：
x
→
－
x2＋
2
x
的象的集合为
(
－
∞
，
1]
，对于实数
p
∈
B
，在
A
中不存在原象，
p
Ï
(
－
∞
，
1]
，所以
p
的取值范围为
p
＞
1
．
解法二：令
y
=
p
，得
x2－
2
x
＋
p
=0
，此方程没有实数解
Û
Δ
=(
－
2)2－
4
p
＜
0
，解得
p
＞
1
．
例
4
解：按照映射的定义，
{
a，
b
，
c
}
中的每一个元素，在
{
m
，
n
，
p
}
中都有唯一确定的对应元素，而
{
a
，
b
，
c
}
的每一个元素在
{
m
，
n
，
p
}
中都有
3
种对应方式，所以从集合
{
a
，
b
，
c
}
到集合
{
m
，
n
，
p
}
可构成
33=27
个
映射．
映射．
对于一一映射，要求
{
a
，
b
，
c
}
中的每一个元素，在
{
m
，
n
，
p
}
中都有唯一确定的对应元素，并且
{
m
，
n
，
p
}
中的每一个元素在
{
a
，
b
，
c
}
都有唯一确定的原象，所以从集合
{
a
，
b
，
c
}
到集合
{
m
，
n
，
p
}
可构成3
3
A＝
6
个
一一映射．
一一映射．
例
5
解：首先y
=
f
(
x
)
的图像与直线
x
=
a
未必有交点，如
y
=lg
x
的图象与直线
x
=
－
1
就没有交点；如果
y
=
f
(
x
)
的图像与直线
x
=
a
有交点，则交点的纵坐标为
f
(
a
)
，按照函数的定义，当
x
=
a
时，若
f
(
a
)
存在，则一定是唯一的．故
选
C
．