向量坐标
分数的初步认识教学反思-茉莉的养殖方法和注意事项
2023年2月21日发(作者：操vb)平⾯向量的坐标表⽰
第7章平⾯向量的坐标表⽰
1.理解向量的有关概念
（1）向量的概念：既有⽅向⼜有⼤⼩的量，注意向量和数量的区别；
（2）零向量：长度为零的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的⽅向是任意⽅向；
（3）单位向量：给定⼀个⾮零向量→a，与→a同向且长度为1的向量叫→a的单位向量,→
a的单位向量是
aa
→
→
；
（4）相等向量：⽅向与长度都相等的向量，相等向量有传递性；（5）平⾏向量（也叫共线向量）：如果向量的基线互相平
⾏或重合则称这些向量共线或平⾏，记作：
a∥
b，规定零向量和任何向量平⾏；
（6）相反向量：长度相等⽅向相反的向量叫做相反向量，a的相反向量是长度相等⽅向相反的向量a→
-.2.向量的表⽰⽅法
（1）⼏何表⽰法：⽤带箭头的有向线段表⽰，如AB，注意起点在前，终点在后；（2）符号表⽰法：⽤⼀个⼩写的英⽂字母
来表⽰，如→
a，→
b，→
c等；
（3）坐标表⽰法：在平⾯内建⽴直⾓坐标系，以与x轴、y轴⽅向相同的两个单位向量→i，→
j为基底，则平⾯内的任⼀向量→a可表⽰为→→→+=jyixa，称(),xy为向量→a的坐标，),(yxa=→叫做向量→
a的坐标表⽰，如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同.3．实数与向量的积：
实数λ与向量→
a的积是⼀个向量，记作aλ，它的长度和⽅向规定如下：
（因为有0)；ABAC、
共线；
【提醒】
）若0ab?>则ab为锐⾓或者0⾓若0ab?<则ab为钝⾓或者|ab?|＝ab可以⽤来证明ab.
）⾮零向量a，b夹⾓θ的计算公式：→
→?baθcos（1）aaλλ=；
（2）当0λ>时，aλ的⽅向与→a的⽅向相同；当0λ<时，aλ的⽅向与→
a的⽅向相反；当0λ=时，零向量，注意：0aλ≠.
4．平⾯向量的数量积：
（1）两个向量的夹⾓：已知两个⾮零向量a和b，过O点作OAa=，OBb=，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的
夹⾓．当θ＝0°时，a与b同向；当θ＝180°时，a与b反向；如果a与b的夹⾓是90°，我们说a与b垂直，记作ab→→
⊥．
（2）两个向量的数量积的定义：已知两个⾮零向量a与b，它们的夹⾓为θ，则数量cosabθ→→
叫做a与
b的数量积（或内积），记作ab→→?，即ab→→?＝cosabθ→→
．规定零向量与任⼀向量的数量积为0．若
1122(,),(,)axybxy==，则ab→→
＝1212xxyy+．
（3）向量的数量积的⼏何意义：
cosbθ→
叫做向量b在a⽅向上的投影(θ是向量a与b的夹⾓)．
ab→→
的⼏何意义是，数量ab→→
等于模a→
与b→在a→
上的投影的积．
（4）向量数量积的性质：设a与b都是⾮零向量，e是单位向量，θ是a与b的夹⾓．当→a与→b同向时，ab→→?＝ab
→→；当→a与→b反向时，ab→→?＝-ab→→
,
θcos＝
ab
ab
→→
→→
;⑸|→→?ba|≤ab→→
．
（5）向量数量积的运算律：
⑴ab→→?＝abc→
→
→??+
；⑵abλ→→??????＝abλ→→??????＝abλ→
→??????⑶abc→→→??+????
＝acbc→→→→?+?5.平⾯向量的基本定理：如果→1e和→2e是同⼀平⾯内的两个不共线向量，那么对该平⾯内的任⼀向量
→
a，有且只有⼀对实数1λ、2λ，使→
a=1122eeλλ+，1e、2e称为⼀组基底.
6．向量的运算：
（1）⼏何运算：
①向量加法：利⽤“平⾏四边形法则”进⾏，但“平⾏四边形法则”只适⽤于不共线的向量，除此之外，
向量加法还可利⽤“三⾓形法则”：设,ABa
BCb==，
那么向量AC叫做→a与→
b的和，即abABBCAC+=+=；
②向量的减法：⽤“三⾓形法则”：设,ABaACb==，那么abABACCB-=-=由减向量的终点指向被减向量的终点.
容易得出：ababab-≤-≤+．（2）坐标运算：
设1122(,),(,)axybxy==，则：
①向量的加减法运算：ab±=()1212,xxyy±±；②实数与向量的积：()()1111,,axyxyλλλλ==；
③若1122(,),(,)AxyBxy，则()2121,ABxxyy=--，即⼀个向量的坐标等于表⽰这个向量的有向
线段的终点坐标减去起点坐标；
④平⾯向量数量积：ab→→
=1212xxyy+；⑤向量的模：2
22222||,||axyaaxy=+==+；
7．向量的运算律：
（1）交换律：→→→→+=+abba，→→=aa)()(λµµλ，ab→→?=→→?ab；(2)结合律：→→→→→→++=++cbacba)()(，)
(→
→
→→→→+-=--cbacba；
（3）分配律：→→→+=+aaaµλµλ)(，→→→→+=+babaλλλ)(，→
→→→→→→?+?=?+cbcacba)(.8.向量平⾏(共线)的充要条件：
(1)向量→b与⾮零向量a共线的充要条件是baλ→→
=；实数λ是唯⼀存在的，当→a与→
b同向时，0λ>；当a与b异向时，0λ<；
(2)若()11,axy→
=,()22,bxy→
=，则//ab?1212xyyx=?2
2
)()(→
→→→=?baba．
提醒：平⾏四边形法则要求参与加法的两个向量的起点相同，三⾓形法则要求参与加法的两个向量的⾸尾相接.可推⼴到
122311...nnnAAAAAAAA-+++=（据此，可根据需要在⼀个向量的两个端点之间任意插点）
向量中⼀些常⽤的结论：
（1）⼀个封闭图形⾸尾连接⽽成的向量和为零向量，要注意运⽤；
（2）ababab
→→→→→→
-≤±≤+，特别地，
当ab
、同向或有0?abababab
→→→→→→→→
+=+≥-=-；
当ab
、反向或有0?abababab
→→→→→→→→
-=+≥-=+；
当ab
、不共线?ababab
→→→→→→
-<±<+(这些和实数⽐较类似).
（3）在ABC
中，①若()()()
112233
,,,,,
Axy
Bxy
Cxy，则其重⼼的坐标为
123123
,
33
xxxyyy
G
++++
.
②()
1
3
PGPAPBPCG
=++?为ABC
的重⼼，
特别地0
PAPBPCP
→
++=?为ABC
的重⼼；
③PAPBPBPCPCPAP
==为ABC
的垂⼼；
④向量()0
ABAC
ABAC
λλ
+≠
所在直线过ABC
的内⼼(是BAC
∠的⾓平分线所在直线)；
⑤OAOBOCO
==?是ABC
的外⼼；
（4）向量PAPBPC
、、中三终点ABC
、、共线?存在实数αβ
、使得PAPBPC
αβ
=+且1
αβ
+=.
9．向量垂直的充要条件：0
abab
→→
⊥??=
→
→
+
b
a=
→
→
-b
a
1212
xxyy
+=．
7.1向量的坐标表⽰及其运算
例题精讲
【例1】已知
12
,
GG分别是△ABC和△ACD的重⼼，G是
12
GG的中点，若A,B,C,D的坐标分别是()
0,0()()()
2,5,5,7,10,2
--，求点G的坐标．
【例2】已知点O（0，0），A（1，2），B（4，5）及=+t，
求：（1）t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在第⼆象限?
（2）四边形OABP能否构成平⾏四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由．
过关演练
1．已知)2,(xA，)2,5(-yB，若(4,6)AB=，则yx,的值分别为_________．
2．已知向量)7,2(xa=
，)4,6(+=xb，若ba=，则=x_________．
3．已知平⾏四边形ABCD的顶点)2,1(--A、)1,3(-B、)6,5(C，则顶点D的坐标为_________．
4．若向量)2,3(=a
，)1,0(-=b，则向量ab-2的坐标是_________．5．若)3,2(=a
，)1,4(yb+-=，且ba//，则y等于_________．
6．若M为ABC?的重⼼，则下列各向量中与AB共线的是（）
A．A
BB
CAC++B．AMMBBC++C．AMBMCM++
D．AMAMAMAC+++
7．在矩形ABCD中，3AB=，1BC=，则向量()
ABADAC++的长度等于（）
A．2
B．
C．3
D．4
8．在ABC?中，D、E、F分别为边AB、BC、CA的中点，已知D点坐标为)2,1(，E点坐标为)5,3(，
F点坐标为)7,2(，则点A坐标为____________．
9．已知)2,1(=a
，)1,(xb=，当ba2+与ba-2共线时，x的值为____________．
10．当=m______时，向量)1,2(-=ma与)6,2(-=mb共线且⽅向相同；当=m_____时，a与b
共线
且⽅向相反．
11．若三点)1,1(A，)4,2(-B，)9,(xC共线，则=x____________．
12．设)2,1(-=a，)1,1(-=b，)2,3(-=c，⽤a、b作基底有bqapc+=，则=p______，=q________．
13．已知点),(yxM在向量(1,2)OP=所在的直线上，则yx,所满⾜的条件是___________．14.已知12(4,3),(2,6)PP--,
(1)若点P在线段12PP上,且1
22PPPP=则点P的坐标是;(2)若点P在线段12PP的延长线上,且124PPPP=则点P的坐标是;
(3)若点P在线段21PP的延长线上,1
24
5PPPP=则点P的坐标是;(4)若点P在线段21PP的延长线上,1124
5
PPPP=,则点P的坐标是.
15．下列四个命题：①若0ab→→?=，则0a→→=或0b→→=；②若e→为单位向量，则aae→→→=?；③3
aaaa→→→
→??=；
④若a→
与b→
共线，b→
与c→
共线，则a→
与c→
共线．其中错误命题的序号是___________．
16．已知)0,0(O、)2,1(A、)5,4(B，且OPOAtOB=+，则当=t________时，点P落在x轴上．17．已知a→
，b→
是两个⾮零向量，则“a→
，b→
不共线”是“abab→
→
→
→
+<+”的____________．18．下列四个命题中是真命题的有____________个．
①若ba+与ba-是共线向量，则a与b
也是共线向量②若||||||baba-=-，则a与b
是共线向量③若||||||baba+=-，则a与b
是共线向量
④若||||||||baba
+=-，则b与任何向量都共线
19.在ABC?中,设向量,CAaCBb==，则ABC?的⾯积ABCS?=,
ABC?的周长ABCC?=.
20.对n个向量12,,...,naaa→→→
，如果存在不全为零的实数12
,nkkk使得1122...0nnkakaka→→→→
+++=，则称
12,,...,naaa→
→
→
性相关.若已知()11,1a→
=，()23,2a→
=-，()33,7a→
=-是线性相关的，则123::kkk=___________.
21.在四边形ABCD中，()1,1ABDC==，3
BABCBDBA
BC
BD
+
=，则四边形ABCD的⾯积是
___________.
7.2向量的数量积
例题精讲
【例1】设O是直⾓坐标原点，-=+=4,32，在x轴上求⼀点P，使?最⼩，并求此时APB∠的⼤⼩.
【例2】已知1||,2||==
，且,的夹⾓为
4
π
，⼜-=+-=2,3，求||.
注意：有关向量的运算也可以利⽤数形结合的⽅法来求解，本例就可以由作图得解
【例3】
已知锐⾓ABC?中内⾓,,ABC的对边分别为,,abc,向量(2sinmB=2
(2cos
1,cos2)2
B
nB=-,且mn⊥
（1）求B的⼤⼩，
（2）如果2b=，求ABC?的⾯积ABCS?的最⼤值.
过关演练
1．（1）已知2||=a，1||=b，a与b的夹⾓为
120，则=?ba__________．（2）已知4||=a，1||=b，4-=?ba，则向量a与b
的夹⾓为___________．
2．（1）已知4||=a，a与b的夹⾓为
30，则a在b⽅向上的投影为___________．（2）已知3||=a，5||=b，13=?ba，则a在b
上⽅向上的投影为___________．3．已知3||=a
，4||=b，且)()(bkabka-⊥+，则k的值为___________．4．已知5||=a，a与b的夹⾓正弦值为5
3，12=?ba
，则=||b___________．
5．已知2||=a
，5||=b，3-=?ba，则=+||ba__________．
6．已知2||=a，2||=b，a与b的夹⾓为
45，要使ab-λ与a垂直，则=λ______．
7．在平⾏四边形ABCD中，已知4,3ABAD==，
60=∠DAB，则ABDA?=_______．8．P是ABC?所在平⾯上⼀点，若PAPBPBPCPCPA?=?=?，则P是ABC?的
____________．
9．已知向量)
a→
=，b→是不平⾏于x轴的单位向量，且ab→→?=b→
=____________．
10．与向量71(,),22a=17(,)22
b=-的夹解相等，且模为1的向量是____________．
11．在ABC?中，ABa=，BCb=，CAc=，且3a=，2b=，4c=，则abbcca?+?+?的值为___________．
12．在ABC?中，已知2ABAC==，且2ABAC?=，则这个三⾓形的形状是___．
13．下列四个命题：①若0=-ba，则ba=；②若0=?ba，则0=a或0=b；③若R∈λ，且0
=aλ，则0=λ或0=a；④对任意两个单位向量a，b
都有1=?ba．其中正确命题的序号是_______________．
14.若abab→
→
→
→
==-,则b→与ab→→
+的夹⾓为____________．
15．在ABC?中，O为中线AM上⼀个动点，若2AM=，则()OAOBOC?+的最⼩值是.16．已知ABC?满⾜2
ABABACBABCCACB=?+?+?，则ABC?的形状⼀定是________.
17.在△ABC中，0
120ABC∠=，AB＝2，AC＝1，D是边BC上⼀点，DC＝2BD，则ADBC?=________.
18.如果caba?=?，且0
≠a，那么()．
A．cb=
B．cb
λ=C．cb⊥D．cb,在a⽅向上的投影相等19．若a、b
是⾮零向量且ba⊥，则⼀定有（）
A．||||||baba+=+
B．||||||baba
-=+C．||||baba-=+D．||||||baba
+=-
20.已知)2,(λλ=→
a，)2,3(λ=→
b，如果→
a与→
b的夹⾓为锐⾓，则λ的取值范围是__________.21．已知向量a≠e，|e|＝1，对任意t∈R，恒有|a－te|≥|a－e|，则（）
A．a⊥e
B．e⊥(a－e)
C．a⊥(a－e)
D．(a＋e)⊥(a－e)
22．已知两个单位向量1e和2e互相垂直，R∈2121,,,µµλλ，则11122122()()eeeeλµλµ+⊥+的充要条件是（）
A．02121=+µµλλ
B．02121=-µµλλ
C．02211=+µλµλ
D．01221=-µλµλ
23．在ABC?中，有命题
①ABACBC-=；②0ABBCCA++=；③若()()
0ABACABAC+?-=，则ABC?为等腰三⾓形；④若0ABAC?>，则ABC?为锐⾓三⾓形.
上述命题正确的是（）
A．①②
B．①④
C．②③
D．②③④24点O在ABC?所在平⾯内，给出下列关系式：
（1）0OAOBOC++=；
（2）OAOBOBOCOCOA?=?=?；
（3）0ACABBCBAOAOBACABBCBA???????-=?-=??????
；（4）()()
0OAOBABOBOCBC+?=+?=．
则点O依次为ABC?的（）
A．内⼼、外⼼、重⼼、垂⼼
B．重⼼、外⼼、内⼼、垂⼼
C．重⼼、垂⼼、内⼼、外⼼
D．外⼼、内⼼、垂⼼、重⼼
7.3平⾯向量的分解定理
例题精讲
【例1】已知D是ABC?的边BC上的点，且:1:2BDDC=，,ABa
ACb==，如图1所⽰．若⽤ab、
表⽰AD，则AD=．
过关演练
1.已知等差数列{}na的前n项和为nS，若1200OBaOAaOC=+，且A、B、C三点共线（该直线不过原点O），则=200S
__________.
2.下列条件中，ABP、、三点不共线的是（）A．13
44
MPMAMB=
+B．2MPMAMB=-
C．33MPMAMB=-
D．31
44
MPMAMB=
+3．下列向量组中能作为它们所在平⾯内所有向量的基底的是（）
A．()()120,0,1,2ee==
B．()()121,2,5,7ee=-=
C．()()123,5,6,10ee==
D．()12132,3,,24ee-??=-=
4．已知向量)2,3(-=a，)1,2(-=b，)4,7(-=c，⽤a和b来表⽰c，则c
为（）
A．ba-2
B．ba+2
C．ba2-
D．ba
2+
5．设M是△ABC的重⼼，则AM=（）
A．
2
ACAB
-B．
2
ACAB
+C．
3
ACAB
-D．
3
ACAB
+6．AD、BE分别为ABC?的边BC、AC上的中线，且ADa=，BEb=，那么BC为（）
A．ba3432+
B．ba3232-
C．ba3432-
D．ba3432+-
7．过ABC?的重⼼作⼀直线分别交AB、AC于点D、E．若,A
DxABA
EyAC==，0≠xy，则
y
x1
1+的值为____________．8.P是ABC?内的⼀点，()
1
3
APABAC=+，则ABC?的⾯积与ABP?的⾯积之⽐为__________.A．2
B．3
C．2
3
D．6
9.001,OB120OCOA30,OC5OAOBOA===与的夹⾓为，与的夹⾓为，请⽤OAO，
表⽰.OC=__________.
10．已知1,3,.0,OAOBOAOB==
=AOC∠30o
=.设(,)OCmOAnOBmnR=+∈，则
m
n
等于
__________.
11．已知四边形ABCD是菱形，点P在对⾓线AC上，（不包括端点A、C），则AP等于（）
A．()A
BADλ+，λ∈(0,1)
B．()ABB
Cλ+，λ∈(0,
22
)C．()ABADλ-，λ∈(0,1)
D．()ABBCλ-，λ∈(0,
2
2)12.如图，在△ABC中，设ABa=，ACb=,ADaλ=,(0<λ<1),AEbλ=,(0<µ<1),试⽤向量a,b表⽰c.
7.4向量的应⽤
例题精讲
【例1】l是过抛物线)0(22
>=ppxy焦点的直线，它与抛物线交于A、B两点，O是坐标原点，则△ABO
是（）
A、锐⾓三⾓形；
B、直⾓三⾓形；
C、钝⾓三⾓形；
D、不确定与P值有关.【例2】已知向量Rxxxx∈==},2sin3,{cos},1,cos2{.设xf?=)(.（1）若31)(-=xf且]3
,3[π
π-
∈x，求x的值；
（2）若函数xy2sin2=的图像按向量)2
|}(|,{π
<=mnmc平移后得到函数)(xfy=的图像，求实数n
m,的值.
过关演练
1.求等腰直⾓三⾓形中两直⾓边上的中线所成的钝⾓的度数.
2.已知点O是，，内的⼀点，0
90BOC150AOB=∠=∠?ABC设,,OAaOBbOCc===且2,1,3abc===，试⽤,ab表⽰c.3.求平⾯内两点),(),,(2211yxByx
A间的距离公式.
4.三⾓形ABC中，A(5，－1)、B(－1，7)、C(1，2)，求：(1)BC边上的中线
AM的长；(2)∠CAB的平分线AD的长；(3)cos∠ABC的值.5.证明:βαβαβαsinsincoscos)cos(+=-.
6.已知ABC?，AD为中线，求证()
2
222221??
-+=BCACABAD.
7.已知向量123,,OPOPOP满⾜条件1230OPOPOP++=，1231OPOPOP===，求证：321PPP?是正三⾓形.
8．设O点在ABC?内部，且有230OAOBOC++=，则ABC?的⾯积与AOC?的⾯积的⽐为____________．
9.证明柯西不等式2
21212
22
22
12
1)()()(yyxxyxyx+≥+?+.
10.求xxxxy2
2cos3cossin2sin++=的最值.