数列的递推公式

数列的递推公式

廉洁风险点及防控措施-秋天的怀念说课稿

2023年2月21日发(作者：溶液的配制实验报告)

数列递推公式的九种方

法

-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-CompanyOne1

2

求递推数列的通项公式的九种方法

利用递推数列求通项公式，在理论上和实践中均有较高的价值.自从二十世纪八十年代以来，这一直是全国高考

和高中数学联赛的热点之一.

一、作差求和法例1在数列{

n

a}中，3

1

a,

)1(

1

1



nn

aa

nn

，求通项公式

n

a.

解：原递推式可化为：

1

11

1



nn

aa

nn

则

,

2

1

1

1

12

aa

3

1

2

1

23

aa

4

1

3

1

34

aa

，……，

nn

aa

nn

1

1

1

1









逐项相加得：

n

aa

n

1

1

1



.故

n

a

n

1

4

.

二、作商求和法

例2设数列{

n

a}是首项为1的正项数列，且0)1(

1

22

1



nnnn

aanaan（n=1,2,3…），则它的通

项公式是

n

a=▁▁▁（2000年高考15题）

解：原递推式可化为：

)]()1[(

11nnnn

aanaan



=0∵

nn

aa

1

＞0，

1

1





n

n

a

a

n

n

则

,

4

3

,

3

2

,

2

1

3

4

2

3

1

2

a

a

a

a

a

a

……，

n

n

a

a

n

n

1

1







逐项相乘得：

na

a

n

1

1



，即

n

a=

n

1

.

三、换元法

例3已知数列{

n

a}，其中

9

13

,

3

4

21

aa

，且当n≥3时，

)(

3

1

211



nnnn

aaaa

，求通项公式

n

a

（1986年高考文科第八题改编）.

解：设

11



nnn

aab，原递推式可化为：

}{,

3

1

21nnn

bbb





是一个等比数列，

9

1

3

4

9

13

121

aab

，公比为

3

1

.故

nnn

n

bb)

3

1

()

3

1

(

9

1

)

3

1

(22

11





.故n

nn

aa)

3

1

(

1





.由逐差法可得：n

n

a)

3

1

(

2

1

2

3



.

例4已知数列{

n

a}，其中2,1

21

aa，且当n≥3时，12

21



nnn

aaa，求通项公式

n

a。解由

12

21



nnn

aaa得：1)()(

211



nnnn

aaaa，令

11



nnn

aab，则上式为1

21



nn

bb，因

此}{

n

b是一个等差数列，1

121

aab，公差为1.故nb

n

.。

由于1

12312121



nnnn

aaaaaaabbb

又

2

)1(

121







nn

bbb

n



所以

)1(

2

1

1nna

n

，即

)2(

2

1

2nna

n

四、积差相消法

3

例5设正数列

0

a，

1

a

，

n

a…，

n

a，…满足

2nn

aa

21



nn

aa=

1

2

n

a)2(n

且1

10

aa，求}{

n

a

的通项公式.

解将递推式两边同除以

21nn

aa整理得：12

2

1

1







n

n

n

n

a

a

a

a

设

n

b=

1n

n

a

a

，则

0

1

1a

a

b=1，12

1



nn

bb，故有

12

12

bb⑴12

23

bb⑵

…………

12

1



nn

bb(1n)

由⑴22n+⑵32n+…+(1n)02得122221n

n

b=12n，即

1n

n

a

a

=12n.

逐项相乘得：

n

a=2)12(222)12()12(n，考虑到1

0

a，

故











2222)12()12()12(

1

n

n

a

)1(

)0(





n

n

.

五、取倒数法

例6已知数列{

n

a}中，其中,1

1

a，且当n≥2时，

12

1

1









n

n

na

a

a

，求通项公式

n

a。

解将

12

1

1









n

n

na

a

a

两边取倒数得：2

11

1



nn

aa

，这说明}

1

{

n

a

是一个等差数列，首项是1

1

1



a

，公

差为2，所以122)1(1

1

nn

a

n

，即

12

1





n

a

n

.

六、取对数法

例7若数列{

n

a}中，

1

a

=3且2

1nn

aa



（n是正整数），则它的通项公式是

n

a=▁▁▁（2002年上

海高考题）.

解由题意知

n

a＞0，将2

1nn

aa



两边取对数得

nn

aalg2lg

1





，即

2

lg

lg

1

n

n

a

a

，所以数列}{lg

n

a是

以

1

lga=3lg为首项，公比为2的等比数列，121

1

3lg2lglgnn

n

aa，即123n

n

a.

4

七、平方（开方）法

例8若数列{

n

a}中，

1

a=2且2

1

3





nn

aa（n2），求它的通项公式是

n

a.

解将2

1

3





nn

aa两边平方整理得32

1

2

nn

aa。数列{2

n

a}是以2

1

a=4为首项，3为公差的等差数

列。133)1(2

1

2nnaa

n

。因为

n

a＞0，所以13na

n

。

八、待定系数法

待定系数法解题的关键是从策略上规范一个递推式可变成为何种等比数列，可以少走弯路.其变换

的基本形式如下：

1、BAaa

nn



1

（A、B为常数）型，可化为



1n

a=A（



n

a）的形式.

例9若数列{

n

a}中，

1

a=1，

n

S是数列{

n

a}的前n项之和，且

n

n

nS

S

S

431





（n1），求数列{

n

a}的

通项公式是

n

a.

解递推式

n

n

nS

S

S

431





可变形为4

1

3

1

1



nn

SS

（1）

设（1）式可化为)

1

(3

1

1



nn

SS

（2）

比较（1）式与（2）式的系数可得2，则有)2

1

(32

1

1



nn

SS

。故数列{2

1



n

S

}是以

32

1

1



S

为首项，3为公比的等比数列。2

1



n

S

=nn3331。所以

13

1





n

n

S

。

当n2，

12383

32

23

1

23

1

21

1

















nn

n

nn

nnn

SSa。

数列{

n

a}的通项公式是

















12383

32

1

2nn

n

n

a

)2(

)1(





n

n

。

2、BAaa

nn



1

nC（A、B、C为常数，下同）型，可化为1

1





n

n

Ca

=n

n

CaA(）的形式.

例10在数列{

n

a}中，,342,11

11





n

nn

aaa求通项公式

n

a。

解：原递推式可化为：

)3(231

1





n

n

n

n

aa

①

比较系数得=-4，①式即是：)34(2341

1





n

n

n

n

aa.

5

则数列}34{1n

n

a是一个等比数列，其首项53411

1

a，公比是2.

∴112534nn

n

a即112534nn

n

a.

3、

nnn

aBaAa

12

型，可化为)()(

112nnnn

aaAaa



的形式。

例11在数列{

n

a}中，2,1

21

aa，当

Nn

，

nnn

aaa65

12





①求通项公式

n

a.

解：①式可化为：

))(5(

112nnnn

aaaa



比较系数得=-3或=-2，不妨取=-2.①式可化为：

)2(32

112nnnn

aaaa



则}2{

1nn

aa



是一个等比数列，首项

12

2aa=2-2（-1）=4，公比为3.

∴1

1

342



n

nn

aa.利用上题结果有：

112534nn

n

a.

4、CBnAaa

nn



1

型，可化为])1([

21211





naAna

nn

的形式。

例12在数列{

n

a}中，

2

3

1

a

，

1

2





nn

aa=63n①求通项公式

n

a.

解①式可化为：

21121

)1()(2



nana

nn

②比较系数可得：

1

=-6，9

2

，②式为

1

2





nn

bb

}{

n

b是一个等比数列，首项

2

9

96

11

nab

，公比为

2

1

.∴1)

2

1

(

2

9

n

n

b

即n

n

na)

2

1

(996

故

96)

2

1

(9nan

n

.

九、猜想法

运用猜想法解题的一般步骤是：首先利用所给的递推式求出

123

,,,aaa……，然后猜想出满足递推

式的一个通项公式

n

a，最后用数学归纳法证明猜想是正确的。

例13在各项均为正数的数列{}

n

a中，

n

S为数列{}

n

a的前n项和，

n

S=

1

(

2n

a

+

1

)

n

a

，求其通项公

式。

6

求递推数列通项的特征根法与不动点法

一、形如

21

(,

nnn

apaqapq



是常数）的数列

形如

112221

,,(,

nnn

amamapaqapq



是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项

n

a，其特

征方程为2xpxq…①

若①有二异根

,，则可令

1212

(,nn

n

acccc是待定常数）

若①有二重根

，则可令

1212

()(,n

n

acnccc是待定常数）

再利用

1122

,,amam可求得

12

,cc，进而求得

n

a．

例1．已知数列{}

n

a满足*

1221

2,3,32()

nnn

aaaaanN



，求数列{}

n

a的通项

n

a．

解：其特征方程为232xx，解得

12

1,2xx，令

12

12nn

n

acc，

由112

212

22

43

acc

acc











，得

1

2

1

1

2

c

c















，112n

n

a．

例2．已知数列{}

n

a满足*

1221

1,2,44()

nnn

aaaaanN



，求数列{}

n

a的通项

n

a．

解：其特征方程为2441xx，解得

12

1

2

xx

，令

12

1

2

n

n

acnc









，

由

112

212

1

()1

2

1

(2)2

4

acc

acc



















，得1

2

4

6

c

c











，

1

32

2n

n

n

a







．

二、形如

2

n

n

n

AaB

a

CaD







的数列

对于数列

2

n

n

n

AaB

a

CaD







，*

1

,(,,,amnNABCD是常数且

0,0CADBC

）

其特征方程为

AxB

x

CxD







，变形为2()0CxDAxB…②

若②有二异根

,，则可令1

1

nn

nn

aa

c

aa















（其中

c

是待定常数），代入

12

,aa的值可求得

c

值．

7

这样数列n

n

a

a















是首项为1

1

a

a









，公比为

c

的等比数列，于是这样可求得

n

a．

若②有二重根

，则可令

1

11

nn

c

aa







（其中

c

是待定常数），代入

12

,aa的值可求得

c

值．

这样数列

1

n

a









是首项为

1

n

a

，公差为

c

的等差数列，于是这样可求得

n

a．

此方法又称不动点法．

例3．已知数列{}

n

a满足1

1

1

2

2,(2)

21

n

n

n

a

aan

a











，求数列{}

n

a的通项

n

a．

解：其特征方程为

2

21

x

x

x







，化简得2220x，解得

12

1,1xx，令1

1

11

11

nn

nn

aa

c

aa











由

1

2,a得

2

4

5

a

，可得

1

3

c

，

数列

1

1

n

n

a

a











是以1

1

1

1

13

a

a







为首项，以

1

3



为公比的等比数列，

11

11

133

n

n

n

a

a













，

3(1)

3(1)

nn

n

nn

a







．

例4．已知数列{}

n

a满足*

11

21

2,()

46

n

n

n

a

aanN

a







，求数列{}

n

a的通项

n

a．

解：其特征方程为

21

46

x

x

x







，即24410xx，解得

12

1

2

xx

，令

1

11

11

22nn

c

aa







由

1

2,a得

2

3

14

a

，求得1c，

数列

1

1

2n

a













是以

1

12

1

5

2

a





为首项，以

1

为公差的等差数列，

123

(1)1

1

55

2n

nn

a





，

135

106n

n

a

n







．