定积分性质
静的词语-学习的名言警句
2023年2月21日发(作者：情感词语)定积分的概念和性质公
式
-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-CompanyOne1
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1.曲边梯形的面积
设在区间上，则由直线、、及曲线
所围成的图形称为曲边梯形，下面求这个曲边梯形的面积
分割求近似：在区间中任意插入若干个分点将分成n个小区间
，小区间的长度
在每个小区间上任取一点作乘积，
求和取极限：则面积取极限
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其中，即小区间长度最大者趋于零。
2.变速直线运动的路程
设某物体作变速直线运动，速度是上的连续函数，且
，求在这段时间内物体所经过的路程。
分割求近似：在内插入若干分点将其分
成
n个小区间，小区间长度，。任取
，
做
求和取极限：则路程取极限
定义设函数在上有界，在中任意插入若干个分点
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将分成n个小区间，其长度为，在每个小区间
上任取一点，作乘积，并求和
，记，如果不论对怎样分法，也不论小
区间上的点怎样取法，只要当时，和总趋于确定
的极限，则称这个极限
为函数在区间上的定积分，记作，即
，（*）
其中叫被积函数，叫被积表达式，叫积分变量，叫积分
下限，叫积分上限，叫积分区间。叫积分和式。
说明：
1.如果（*）式右边极限存在，称在区间可积，下面两类函数在
区间可积，（1）在区间上连续，则在可积。（2）
在区间上有界且只有有限个间断点，则在上可积。
2.由定义可知，定积分的值只与被积函数和积分区间有关，而与积分变量
无关，所以
3.规定
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时,
在上时,表示曲线、两条直线、
与轴所围成的曲边梯形的面积；
在上时,表示曲线、两条直线、
与轴所围成的曲边梯形的面积（此时，曲边梯形在轴的下方）；
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例1利用定积分的几何意义写出下列积分值
（1）（三角形面积）（2）（半圆面积）
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设可积
性质1
性质2
性质3（定积分对区间的可加性）对任何三个不同的数，有
性质4
性质5如果在区间上，，则
推论
性质6（定积分的估值）设M及m分别是函数在区间上的最
大值及最小值，则
性质7（定积分中值定理）
如果函数在区间上连续，则在上至少有一点，
使成立
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例2比较下面两个积分的大小
与
解设，
在（0，1）内，单调增
当时，有，即
由性质5，
例3估计积分的值
解只需求出在区间上的最大值、最小值即可。设，
，令，得，
所以，在区间上
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由性质6，
设在区间上连续，，则定积分一定存在，
当在上变动时，它构成了一个的函数，称为的变上限积分
函数，
记作即
定理如果函数在区间上连续，则积分上限的函数
在上具有导数，且导数是，即
说明：
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1.由原函数的定义知,是连续函数的一个原函数，因此，此
公式揭示了定积分与原函数之间的联系。
2.当积分上限的函数是复合函数时，有
更一般的有
例1（1），则：=
（2），则：
（4），则：
（5）设，求:
此题中为函数的自变量，为定积分的积分变量，因而是两个函数乘积
的形式
由求导法则
=
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=+
（6）=0（因定积分的结果为一常数，故导数为零）
（7）设是方程所确定的函数，求
解利用隐函数求导法则和变限积分求导法则有
则=
例2设，求。
例3设为连续函数，（1）若，则______,
___。（2）
例4求
解这是型不定式，用罗必塔法则
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定理（牛顿——莱公式）如果函数是连续函数在区间
上的一个原函数，则
此公式表明：一个连续函数在区间上的定积分等于它的任一个原函数
在该区间上的增量，此公式也称为微积分基本公式。
例5
解原式
例6
解原式
例7求
解利用定积分的可加性分段积分，
=+=2
例8
解被积函数是分段函数，分段点在积分区间内，
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=+=1/4
例9
解原式
注意：是分段函数