期中考试时间
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2023年2月18日发(作者：)中华中学2022-2023学年度第一学期期中考试
高一数学
本卷考试时间：120分钟，总分：150分
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.
1.已知函数
()fx
满足
2
(2)logxfx，则
(16)f
（）
A.1B.1C.2D.4
【答案】C
【解析】因为
2
(2)logxfx，4(16)(2)ff
所以4
2
(16)(2)log42ff
故选C
2.已知UR，集合21,1,|9ABxx，则下列关系正确的是（）
D.
UU
CACB
【答案】C
【解析】
因为21,1,|9|33ABxxxx
所以|33ABxxB,A错；
1,1ABA，B错，C对；
|1
U
CAxx，|33
U
CBxxx或，所以
UU
CACB，D错.
故选C
3.我国著名数学家华罗庚先生曾说:”数缺形时少直观，形缺数时难入微”.在数学的学习和研
究过程中，常用函数图像来研究函数的性质，也经常用函数解析式来分析函数的图像特征，
函数2211yxx在2,2上的图像大致是（）
AB
CD
【答案】B
【解析】
因为22()11fxxx，
()()fxfx
，是偶函数，排除CD;
又因为
(0)1f
，故选B
4.一个10位整数a的16次方根为整数b，则b（）
（参考数据：
lg20.30,lg30.48,lg70.85
）
A.2B.3C.4D.7
【答案】C
【解析】
a是一个10位整数，则9101010a
，
由题意得16ba，所以
95
16
1681010ba
，
95
0.5625lg0.625
168
b
由
lg20.30,lg30.48,lg70.85
得，
7
lg7lg2lglg3.50.55
2
，
lg2lg3lg60.78
，
所以
lg3.5lglg6b
，因为
b
为整数，所以
4b
，
故选C
5.解析数论创始人狄利克雷在数学领域成就显著，对函数论，位势论和三角级数论有重要贡
献.以他名字命名的狄利克雷函数
1,
0,
x
Dx
x
为有理数
为无理数
，以下结论错误的是（）
A.21DDB.函数yDx是偶函数
C.1DDxD.函数yDx在,上是单调函数
【答案】D
【解析】
对于A，因为(2)0,(1)1DD，所以21DD
，所以A正确，
对于B，
1,
()
0,
x
DxDx
x
为有理数
为无理数
，Dx是偶函数，所以B正确，
对于C，当x为有理数时，(1)1DDxD，当x为无理数时，(0)1DDxD，所
以1DDx，所以C正确，
对于D，对于任意
12
,Rxx
，且
12
xx
，若
12
,xx
都为有理数或都为无理数，则
12
()()DxDx
，
若
1
x
为有理数，
2
x
为无理数，则
12
()1()0DxDx
，若
1
x
为无理数，
2
x
为有理数，则
12
()0()1DxDx，所以函数yDx在,上不是单调函数，所以D错误，
6.设a为实数，定义在R上的偶函数fx满足：
①fx在0,上为增函数；②21fafa，则实数a的取值范围为（）
A.,1B.
1
,1
3
C.
1
1,
3
D.
1
,1,
3
【答案】B
【解析】
因为fx为定义在R上的偶函数，在
[0,)
上为增函数，
由
(2)(1)fafa
可得21fafa，
所以21aa，解得：
1
1
3
a
所以实数a的取值范围为
1
,1
3
故选B
7.已知4a，
4
33b
，
22
log3log5c
，则下列关系正确的是()
A.
abcB.
acbC
.
cabD.
bca
【答案】C
【解析】
33464a
，34381b
，所以33abab
，
又
22
log30,log50
，2
2
2
22222
111
log3log5log3log5log1544
244
c
，所以
cab
故选C
8.已知
2,1
9
,1
1
xax
fx
xax
x
，若1f是fx的最小值，则实数a的取值范围是（）
A.1,4B.1,4C.1,5D.3,1
【答案】A
【解析】当21,()xfxxa，
当1x时，
999
()112115
111
fxxaxaxaa
xxx
，当且仅当
9
1
1
x
x
，即2x时等号成立.
当1a时，fx为单调递减函数，
因为1f是fx的最小值，所以215aa，且1a
解得14a且1a
所以a的取值范围为1,4
当1a时，2()fxxa的最小值为()(1)faf，故不成立，舍去.
综上a的取值范围为1,4
故选
A
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.下列能成为2x充分条件的是（）
A
.11xB
.10100x
C.24x
D
.
2
3
0
1
x
x
【答案】
BD
【解析】
因为11x，所以2x或0x，不是充分条件；
10100x，所以2x，是充分条件；
24x，所以2x或2x，不是充分条件；
2
3
0
1
x
x
，所以30x，3x，是充分条件.
故选
BD
10.已知1,21,2,3,4,5A，则集合
A
可能是()
A
.1,2B
.C.1,2,5D
.1,3,5
【答案】AC
【解析】
若1,2A，满足题意；
若A，1,2，不满足题意；
若1,2,5A，满足题意；
若1,3,5A，则1,21,3,5，不满足题意.
故选AC
11.已知函数
1
fxx
x
，下列说法中正确的有()
A.10ffB.1,2,0xfx
C.fx为奇函数
D
.fx在0,上有两个零点
【答案】BC
【解析】
因为
1
fxx
x
，所以
1
110
1
f
，1(0)fff，无意义；
1,2,xfx在定义域范围内单调递增，所以(1)0fxf恒成立，满足题意；
()fx定义域为,00,，关于原点对称，又因为
1
()()fxxfx
x
，为奇函数；
fx在0,上单调递增，且(1)0f，所以()fx有且仅有一个零点.
故选BC
12.下列结论正确的是（）
A
.存在正数,MN，使得lglglgMNMN
B
.存在实数x，使得2
2
1
22
2
x
x
C.若实数
,xy
满足2291xy，则xy的最大值为
1
6
D
.若0xy，则
9xy
yxy
的最小值为15
【答案】
AD
【解析】
存在正数,MN，使得lglglgMNMN,当2,2MN时，lg2lg22lg2，
lg22lg42lg2，满足题意；
22
22
11
222()2
22
xx
xx
，当且仅当2
2
1
2
2
x
x
时，取等号，此时无解，
所以不存在；
当0,0xy时，22916xyxy，所以
1
6
xy
，此时最大值为
1
6
，
,xy
范围不确定，所以
不满足题意；
若0xy，则
9()
929915
xyy
yxy
，当且仅当
9()xyy
yxy
时，取等号，此
时的最小值为15，满足题意.
故选
AD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.函数265fxxx的定义域为，减区间为.
【答案】1,5；3,5
【解析】
由题意可得：2650xx，所以510xx，
所以15x，所以定义域为1,5x
复合函数求单调区间，求解()fx的单调减区间，即求265yxx的单调减区间，对称轴
为3x，所以在定义域范围内，根据图像可得单调减区间为3,5
14.设m为实数，函数22fxxmxm有两个零点的充要条件是.
【答案】,10,m
【解析】
由题意可知，方程220xmxm有两个不等实数根，
所以2440mm，解得4(1)0mm，
,10,m
所以函数有两个零点的充要条件是,10,m
15.若,xy为正数，满足2xyxy，则
3
33
log
2
loglog
xy
xy
.
【答案】
1
4
【解析】
因为2xyxy，所以
2xyxy
，
所以
1
33
4
3
3333
2
loglog
log
1
22
loglogloglog4
xy
xy
xy
xyxyxy
16.已知函数fx和gx分别由下表给出
则2gf，不等式8fgx的解集为.
x
12345
fx
1491625
x
23456
gx
13245
【答案】2;3,5,6
【解析】
由表得24f，42g，所以242gfg；
当8fx时，3,4,5x
由3gx得3x，由4gx得5x，由5gx得6x；
所以8fgx的解集为3,5,6
故答案为：2;3,5,6.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明、
证明过程或演算步骤.
17.（本小题10分）
（1）求值：2
log3
66
4log2log3；
（2）已知13aa，求
44
22
aa
aa
的值.
【答案】（1）10；（2）7
【解析】
（1）2
log3
66
4log2log3
2
2
log3
2
6
2log233110
（2）13aa，所以1222()29aaaa
所以227aa，
所以
222
44
22
2222
7
aaaa
aa
aa
aaaa
18.（本小题12分）
已知集合
2
|0
8
xa
Ax
x
，集合2|210Bxxaxa
，其中a为实数.
（1）若2a，求集合
A
CB
;
（2）若4a且
ABB
，求实数a的取值范围.
【答案】（1）58xx；（2）74a或
7a
，
【解析】
（1）若2a，则4
|048
8
x
Axxx
x
，
|(4)5045Bxxxxx，
所以58
A
BxxC.
（2）又因为4a，则2
|028
8
xa
Axxax
x
，
当1a时，2|(2)10Bxxaxa
，
当1a时，22|(2)1021Bxxaxaxaxa
，
若
ABB
，则AB，
显然1a不成立，
当1a时，218a，解得7a或7a，
综上所述，实数a的取值范围为74a或7a，
19.（本小题12分）
已知函数()
1
x
x
a
fx
a
，(其中aR)，且
2
(1)
3
f
.
（1）求实数a的值，并探究()()fxfx是否为定值，若是定值，写出证明过程；若不是定
值，请说明理由；
（2）若2
9
()()1
8
fxfx
，求x的值.
【答案】（1）2a；为定值，定值为1，证明见解析；（2）3x
【解析】
2
(1)
13
a
f
a
，所以2a；
2221
()()1
21212121
xxx
xxxx
fxfx
，为定值；
（2）
由（1）得
()()1fxfx
所以()1()fxfx
所以22
99
()()1()()1
88
fxfxfxfx
所以2
9
()()
8
fxfx
解得()0fx或
8
()
9
fx
，
2
()0
21
x
x
fx
，此时无解，舍去；
28
()
219
x
x
fx
，解得
3x
所以x的值为3.
20.（本小题12分）
已知集合
54
log2,log25,2A，集合
23
1
log5,log
9
B
，记集合
A
中最小元素为a，集合
B
中最大元素为b.
（1）求
AB
及,ab的值；
（2）证明：函数
1
()fxx
x
在2,上为增函数，并用上述结论比较ab与
5
2
的大小.
【答案】(1)
2
log5AB，
5
log2a，
2
log5b；(2)证明见解析，
5
2
ab
【解析】
（1）
因为
42
log25log5，所以
52
log2,log5,2A，
2
log5,2B，即
2
log5AB．因为
5522
log2log252log4log5，所以
5
log2a，
2
log5b．
（2）
设
12
,xx
为2,上任意两个实数，且
12
2xx，则
12
0xx，
12
1xx，
12
12121212
121212
1
1111
0
xx
fxfxxxxxxx
xxxxxx
，
即
12
fxfx，所以fx在2,上单调递增．
所以
5
2
2
fxf，所以
5222
2
15
log2log5log5log5
log52
f
．
所以
5
2
ab
.
21.（本小题12分）
要设计一张矩形广告，矩形广告牌的高与宽分别为,ab.
(1)若该广告栏目含有大小相等的上下和左右四栏，且四周空白的宽度为4，栏与栏之间的中
缝空白宽度为2，如图1所示.当四栏面积之和为400时，怎样确定矩形广告牌的高a与宽b
的尺寸，才能使得整个矩形广告牌面积最小.
(2)若该广告栏目含有大小相等的左、右两栏，且四周空白的宽度为8，栏与栏之间的中缝空
白宽度为2，如图2所示.当广告牌面积为1568时，如何设计左、右两栏的高与宽，才能使
得广告栏目的面积最大？
【答案】（1）a为30，b为30时，整个矩形广告牌面积最小；（2）栏高
64
3
，栏宽
12
时，使
得广告栏目的面积最大
【解析】
（1）设每一栏长x，宽为y
由题意可得4400100xyxy，
所以21abxyxyxy
5xyxy，当且仅当10xy时等号成立.
此时2101030,2101030ab，
所以当a为30，b为30时，整个矩形广告牌面积最小.
（1）由题意可得，1568ab
Sababab
621816abab
（图1）
（图2）
68
当且仅当1816ab，即
112
,42
3
ab
时等号成立
此时栏高
11264
16
33
，栏宽
4218
12
2
时，广告栏目的面积最大，最大为512.
22.（本小题12分）
已知函数()22xxfxk，其中k为常数.若函数()fx在区间
I
上满足()()fxfx，则
称函数()fx为
I
上的“局部奇函数”；若函数()fx在区间
I
上满足()()fxfx，则称函数
()fx为
I
上的“局部偶函数”.
(1)若()fx为2,2上的“局部奇函数”，当2,2x时，解不等式()2fx；
(2)已知函数()fx在区间1,1上是“局部奇函数”，在区间2,11,2上是“局部偶函数”，
(),1,1
()
(),2,11,2
fxx
Fx
fxx
，对于2,2上任意实数
123
,,xxx
，不等式
123
()()()FxFxmFx
恒成立，求实数m的取值范围.
【答案】（1）2
|log212xx
；（2）
12
,
17
.
【解析】
（1）若fx为2,2上的“局部奇函数”，所以()()fxfx，
即2222xxxxkk整理可得：1220xxk，
所以10k解得：1k，
所以()22xxfx，令2()22xxfx，即222210xx
可得221x，解得：2
log21x
，
又因为2,2x，所以2
log212x
，
所以不等式的解集为2
|log212xx
；
（2）若fx为1,1上的“局部奇函数”，由（1）知，()22xxfx，
若fx为区间2,11,2上是“局部偶函数”，可得()()fxfx，
即
2222xxxxkk
，整理可得：1220xxk，
所以10k解得：1k，
所以
2,1,1
2,21
2
,1,22
xx
xx
x
Fx
x
，
令2xt，
当1,1x时，
1
,2
2
t
1
yt
t
在
1
,2
2
单调递增，
当
1
2
t
时，
min
13
2
22
y
，当2t时，
max
13
2
22
y
所以当1,1x时，
33
,
22
Fx
，
当2,11,2x时，此时22xxFx为局部偶函数，
当1,2x时，2,24xt，
1
yt
t
在2,4单调递增，
此时
517
,
24
Fx
，
所以
33517
,,
2224
Fx
，
max
17
4
Fx
，
min
3
2
Fx
，
若对于2,2上任意实数
1
x
，
2
x
，
3
x
，不等式
123
FxFxmFx恒成立，
可得
minmax
2FxmFx，即
317
2
24
m
，
解得：
12
17
m
，
所以实数m的取值范围是
12
,
17
.