太原北辰双语学校

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太原北辰双语学校高二年级第二学期数学学科作业题

课题：绝对值三角不等式

班级：姓名：

命题日期：3月13日

1．绝对值的意义．

在数轴上，一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的绝对值．

即|x|＝









x，x＞0，

0，x＝0，

－x，x＜0.

2．绝对值三角不等式

定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0

时，等号成立．关于定理1的几点说明：

(1)定理1的证明：|a＋b|≤|a|＋|b|⇔(a＋b)2≤(|a|＋|b|)2⇔a2

＋b2＋2ab≤a2＋b2＋2|a||b|⇔ab≤|a||b|⇔ab≤|ab|，由已知知识可知

ab≤|ab|一定成立，因而不等式|a＋b|≤|a|＋|b|成立．又由于上面每

一步都是恒等变形及ab＝|ab|⇔ab≥0可知，当且仅当ab≥0时，等号

成立．

(2)对定理的几何说明，实际上是利用了绝对值的几何意义，证明

了不等式|a＋b|≤|a|＋|b|.

(3)定理1还可以变形为|a－b|≤|a|＋|b|，等号成立的充要条件

是ab≤0.

(4)由定理1还可以得出许多正确的结论，例如：如果a，b是实数，

那么|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|；|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|.

思考2说出下列不等式等号成立的条件：

(1)|a|＋|b|≥|a＋b|；

(2)|a|－|b|≤|a＋b|；

(3)|a－c|≤|a－b|＋|b－c|.

3．含有绝对值的不等式的证明中，常常利用|a|≥a，|a|≥－a及绝对

值的和的性质．

思考3当|a|>a时，a∈________；当|a|>－a时，a∈(0，＋∞)．

一层练习

1．若|x－a|

A．|x－y|<2mB．|x－y|<2n

C．|x－y|

2．设ab>0，下面四个不等式其中正确的是()

①|a＋b|>|a|；②|a＋b|<|b|；

③|a＋b||a|－|b|.

A．①②B．①③C．①④D．②④

3．若a，b∈R，且|a|≤3，|b|≤2，则|a＋b|的最大值是________，最

小值是________．

4．方程|x|＋|log

ax|＝|x＋log

ax|(a>1)的解集是________________

二层练习

5．|x－A|<

ε

2

，|y－A|<

ε

2

是|x－y|<ε的()

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充要条件D．即不充分也不必要条件

6．若不等式|x－4|＋|x－3|>a对一切实数x恒成立，则实数a的

取值范围是()

A．(－∞，1)B．(1，＋∞)C．(3，4)D．[3，＋∞)

7．“a＜4”是“对任意实数x，|2x－1|＋|2x＋3|≥a成立”的()

A．必要条件B．充分不必要条件

C．必要不充分条件D．即不充分也不必要条件

8．函数y＝|x－3|－|x＋1|的最大值是________，最小值是________．

9．对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，|x－2y＋1|的最大值是

________．

10．(2014·江西高考文科)x，y∈R，若|x|＋|y|＋|x－1|＋|y－1|≤2，

则x＋y的取值范围为____________．

三层练习

11．(2014·新课标全国卷Ⅱ高考理科数学)设函数f(x)＝













x＋

1

a

＋

|x－a|(a＞0)，证明：f(x)≥2.

12．设a，b∈R且|a＋b＋1|≤1，|a＋2b＋4|≤4，

求|a|＋|b|的最大值．

13．已知实数x，y满足：|x＋y|<

1

3

，|2x－y|<

1

6

，求证：|y|<

5

18

.

批改日期：3月18日