衔接教材
安全知识小报-霍尔开关
2023年2月21日发(作者：风险暴露)1
专题06二次函数的简单应用
高中必备知识点1：平移变换
问题1在把二次函数的图象进行平移时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象平
移？
我们不难发现：在对二次函数的图象进行平移时，具有这样的特点——只改变函数图象的位置、不改变其
形状，因此，在研究二次函数的图象平移问题时，只需利用二次函数图象的顶点式研究其顶点的位置即可．
典型考题
【典型例题】
如图，抛物线经过两点，顶点为D．
求a和b的值；
将抛物线沿y轴方向上下平移，使顶点D落在x轴上．
求平移后所得图象的函数解析式；
若将平移后的抛物线，再沿x轴方向左右平移得到新抛物线，若时，新抛物线对应的函数有最
小值2，求平移的方向和单位长度．
【变式训练】
已知抛物线，把它向上平移，得到的抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，若是
2
直角三角形，那么原抛物线应向上平移几个单位？
【能力提升】
已知抛物线
y
＝
x
（
x
﹣
2
）
+2
．
（
1
）用配方法把这个抛物线的表达式化成
y
＝
a
（
x+m
）2+k
的形式，并写出它的项点坐标；
（
2
）将抛物线
y
＝
x
（
x
﹣
2
）
+2
上下平移，使顶点移到
x
轴上，求新抛物线的表达式．
高中必备知识点2：对称变换
在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来
研究二次函数的图象平移？
我们不难发现：在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，具有这样的特点——只改
变函数图象的位置或开口方向、不改变其形状，因此，在研究二次函数图象的对称变换问题时，关键是要
抓住二次函数的顶点位置和开口方向来解决问题．
典型考题
【典型例题】
如图，抛物线
y=ax²-2x+c(a≠0)
与
x
轴，
y
轴分别交于点
A
，
B
，
C
三点，已知点
(-2,0)
，
C(0,-8)
，点
D
是抛物
线的顶点
.
(1)
求抛物线的解析式及顶点
D
的坐标；
(2)
如图，抛物线的对称轴与
x
轴交于点
E
，第四象限的抛物线上有一点
P
，将△
EB
直线
EP
折叠，使点
B
的对应点
B'
落在抛物线的对称轴上，求点
P
的坐标；
3
【变式训练】
已知二次函数的图象的顶点坐标为(3,-2),且与y轴交于（0,）.
(1)
求函数的解析式
;
(2)
若点
(p,m)
和点
(q,n)
都在该抛物线上
,
若
p>q>5,
判断
m
和
n
的大小
.
【能力提升】
已知抛物线经过点（1，-2）．
（1）求的值；
（
2
）若点
A
（
m
，
y
1）、
B
（
n
，
y
2）（
m
＜
n
＜
3
）都在该抛物线上，试比较
y
1与
y
2的大小．
高中必备知识点3：分段函数
一般地，如果自变量在不同取值范围内时，函数由不同的解析式给出，这种函数，叫作分段函数．
典型考题
【典型例题】
函数
1
()0
1
x
fx
x
)0(
)0(
)0(
x
x
x
，则
))1((ff
的值是
___
．
【变式训练】
4
已知函数，若，则_________．
【能力提升】
函数__________．
专题验收测试题
1
．如图，在四边形ABCD中，//ADBC，DCBC，4cmDC，
6cmBC
，
3cmAD
，动点P，
Q
同时从点B出发，点P以2cm/s的速度沿折线BAADDC运动到点C，点
Q
以1cm/s的速度沿BC
运动到点C，设P，
Q
同时出发
st
时，
BPQ
的面积为2cmy，则
y
与
t
的函数图象大致是
()
A
．
B
．
C
．
D
．
2
．如图，在四边形
ABCD
中，
AD
∥
BC
，
DC
⊥
BC
，
DC
＝
4cm
，
BC
＝
6cm
，
AD
＝
3cm
，动点
P
，
Q
同时从点
B
出发，点
P
以
2cm/s
的速度沿折线
BA
﹣
AD
﹣
DC
运动到点
C
，点
Q
以
1cm/s
的速度沿
BC
运动到点
C
，设
P
，
Q
同时出发
xs
时，△
BPQ
的面积为
ycm2．则
y
与
x
的函数图象大致是（）
5
A
．
B
．
C
．
D
．
3
．如图，矩形
ABCD
中，
AB
＝
3
，
BC
＝
5
，点
P
是
BC
边上的一个动点（点
P
不与点
B
、
C
重合），现将△
PCD
沿直线
PD
折叠，使点
C
落到点
C′
处；作∠
BPC′
的角平分线交
AB
于点
E
，设
BP
＝
x
，
BE
＝
y
，则下列
图象中，能表示
y
与
x
的函数关系的图象大致是（）
A.B.
C.D.
4
．某种圆形合金板材的成本
y
（元）与它的面积（
cm2）成正比，设半径为
xcm
，当
x
＝
3
时，
y
＝
18
，那么
当半径为
6cm
时，成本为（）
A
．
18
元
B
．
36
元
C
．
54
元
D
．
72
元
5．把一个足球垂直于水平地面向上踢，该足球距离地面的高度（米）与所经过的时间（秒）之间的关系
为.若存在两个不同的的值，使足球离地面的高度均为（米），则的取值范围（）
A．B．C．D．
6．汽车刹车后行驶的距离s（单位：米）关于行驶的时间t（单位：秒）的函数解析式为s=-6t2+bt（b为常
数）．已知t=时，s=6，则汽车刹车后行驶的最大距离为（）
A．米B．8米C．米D．10米
7．已知直线y＝n与二次函数y＝（x﹣2）2﹣1的图象交于点B，点C，二次函数图象的顶点为A，当△
6
ABC是等腰直角三角形时，则n的值为（）
A．1B．C．2﹣D．2+
8
．如图，跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运
动员起跳后的竖直高度
y
（单位：
m
）与水平距离
x
（单位：
m
）近似满足函数关系
y
＝
ax2+bx+c
（
a≠0
）．如
图记录了某运动员起跳后的
x
与
y
的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行
到最高点时，水平距离为（）
A
．
10mB
．
20mC
．
15mD
．
22.5m
9
．足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，
足球距离地面的高度
h
（单位：
m
）与足球被踢出后经过的时间
t
（单位：
s
）之间的关系如下表：
t01234567…
h14…
下列结论：①足球距离地面的最大高度为20m；②足球飞行路线的对称轴是直线t=；③足球被踢出9s时
落地；④足球被踢出1.5s时，距离地面的高度是11m，其中正确结论的个数是（）
A
．
1B
．
2C
．
3D
．
4
10
．某一型号飞机着陆后滑行的距离
S
（单位：米）关于滑行的时间
t
（单位：秒）之间的函数解析式是
S
＝﹣
1.5t2+60t
，则该型号飞机着陆后滑行（）秒才能停下来．
A
．
600B
．
300C
．
40D
．
20
11
．如图是抛物线形拱桥，
P
处有一照明灯，水面
OA
宽
4m
，从
O
、
A
两处双测
P
处，仰角分别为
α
、
β
，
且
tanα
＝
1
2
，
tanβ
＝
2
3
，以
O
为原点，
OA
所在直线为
x
轴建立直角坐标系．
P
点坐标为
_____
；若水面上
升
1m
，水面宽为
_____m
．
7
12
．某一房间内
A
、
B
两点之间设有探测报警装置，小车（不计大小）在房间内运动，当小车从
AB
之间经
过时，将触发报警．现将
A
、
B
两点放置于平面直角坐标系
xOy
中（如图）已知点
A
，
B
的坐标分别为（
0
，
4
），（
5
，
4
），小车沿抛物线
y=ax2-2ax-3a
运动．若小车在运动过程中只触发一次报警，则
a
的取值范围是
______
13
．为了节省材料，某农场主利用围墙（围墙足够长）为一边，用总长为
80m
的篱笆围成了如图所示的①
②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等，则能围成的矩形区域
ABCD
的面积最大值是
___m2．
14
．某民房发生火灾．两幢大楼的部分截面及相关数据如图，小明在甲楼
A
处透过窗户
E
发现乙楼
F
处出
现火灾，此时
A
，
E
，
F
在同一直线上．跑到一楼时，消防员正在进行喷水灭火，水流路线呈抛物线，在
1.2m
高的
D
处喷出，水流正好经过
E
，
F
．若点
B
和点
E
、点
C
和点
F
的离地高度分别相同，现消防员将水流
抛物线向上平移
5m
，再向左后退
_____m
，恰好把水喷到
F
处进行灭火．
15
．某网店销售某种商品，成本为
30
元
/
件，当销售价格为
60
元件
/
时，每天可售出
100
件，经市场调查发
现，销售单价每降
1
元，每天销量增加
10
件
.
当销售单价为
__________
元时，每天获取的利润最大
.
16．教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为
8
.由此可知，铅球推出的距离是__________m.
17
．已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如图
1
所示．
（
1
）请说明图中①、②两段函数图象的实际意义；
（
2
）写出批发该种水果的资金金额
w
（元）与批发量
m
（
kg
）之间的函数关系式；在图
2
的坐标系中画出
该函数图象；指出金额在什么范围内，以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果；
（
3
）经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函数关系如图
3
所示，该经销商拟每日
售出
60kg
以上该种水果，且当日零售价不变，请你帮助该经销商设计进货和销售的方案，使得当日获得的
利润最大．
18
．某商品现在的售价为每件
30
元，每星期可卖出
160
件，市场调查反映，如调整价格，每涨价
1
元，每
星期要少卖出
2
件．已知商品的进价为每件
10
元．
（
1
）在顾客得到实惠的情况下，如何定价商家才能获得
4200
元的利润？
（
2
）如何定价才能使利润最大？
19
．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用
28m
长的篱笆围成一
个矩形花园
ABCD
（篱笆只围
AB
，
BC
两边），设
AB
＝
xm
，花园的面积为
Sm2．
（
1
）若花园的面积为
192m2，求
x
的值；
（
2
）写出花园面积
S
与
x
的函数关系式．
x
为何值时，花园面积
S
有最大值？最大值为多少？
（
3
）若在
P
处有一棵树与墙
CD
，
AD
的距离分别是
a
（
14≤a≤22
）和
6m
，要将这棵树围在花园内（含边界，
不考虑树的粗细），设花园面积
S
的最大值为
y
，直接写出
y
与
a
的关系式．
20
．某文具店购进一批纪念册，每本进价为
20
元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于
20
元且
9
不高于
28
元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量
y
（本）与每本纪念册的售价
x
（元）之间满足一
次函数关系：当销售单价为
22
元时，销售量为
36
本；当销售单价为
24
元时，销售量为
32
本．
（
1
）求出
y
与
x
的函数关系式；
（
2
）当文具店每周销售这种纪念册获得
150
元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？
（
3
）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为
w
元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文
具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？
21
．数学兴趣小组几名同学到某商场调查发现，一种纯牛奶进价为每箱
40
元，厂家要求售价在
40
～
70
元
之间，若以每箱
70
元销售平均每天销售
30
箱，价格每降低
1
元平均每天可多销售
3
箱．老师要求根据以
上资料，解答下列问题，你能做到吗？
（
1
）写出平均每天销售量
y
（箱）与每箱售价
x
（元）之间的函数关系；
（
2
）写出平均每天销售利润
W
（元）与每箱售价
x
（元）之间的函数关系；
（
3
）现该商场要保证每天盈利
900
元，同时又要使顾客得到实惠，那么每箱售价为多少元？
（
4
）你认为每天赢利
900
元，是牛奶销售中的最大利润吗？为什么？
22
．（本题满分
10
分）我市某高科技公司生产一种矩形新型材料板，其长宽之比为
3
∶
2
，每张材料板的成
本
c
与它的面积成正比例。每张材料板的销售价格
y
与其宽
x
之间满足我们学习过的某种函数关系
(
即一
次函数、反比例函数和二次函数关系中的一种
)
，下表记录了该工厂生产、销售该材料板一些数据：
（
1
）求一张材料板的销售格
y
其宽
x
之间的函数关系式（不必写出自变的取值范围）
（
2
）若一张材料板的利润
w
为销售价格
y
与成本
c
的差
①请直接写出一张材料板的利润
w
其宽
x
之间的函数关系（不必写出自变的取值范围）
②当材料板的宽为多少时，一张材料板的利润最大，最大利润是多少？