圆的直径式方程

圆的直径式方程

春天描写-人的正确思想是从哪里来的

2023年2月21日发(作者：爱情神话故事)

圆的方程知识点及题型归纳总结

知识点精讲

一、基本概念

平面内到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫圆.

二、基本性质、定理与公式

1.圆的四种方程

（1）圆的标准方程：222)()(rbyax，圆心坐标为(a,b)，半径为)0(rr

（2）圆的一般方程：)04(02222FEDFEyDxyx，圆心坐标为













2

,

2

ED

，

半径

2

422FED

r





（3）圆的直径式方程：若),(),,(

2211

yxByxA，则以线段AB为直径的圆的方程是

0))(())((

2121

yyyyxxxx

（4）圆的参数方程：

①)0(222rryx的参数方程为















sin

cos

ry

rx

（为参数）；

②)0()()(222rrbyax的参数方程为















sin

cos

rby

rax

（为参数）.

注对于圆的最值问题，往往可以利用圆的参数方程将动点的坐标设为)sin,cos(rbra（为

参数，(a,b)为圆心，r为半径），以减少变量的个数，建立三角函数式，从而把代数问题转化为三角问题，

然后利用正弦型或余弦型函数的有界性求解最值.

2.点与圆的位置关系判断

（1）点

),(

00

yxP与圆222)()(rbyax的位置关系：

①222)()(rbyax点P在圆外；

②222)()(rbyax点P在圆上；

③

222)()(rbyax点P在圆内.

（2）点

),(

00

yxP与圆022FEyDxyx的位置关系：

①

0

00

2

0

2

0

FEyDxyx

点P在圆外；

②

0

00

2

0

2

0

FEyDxyx

点P在圆上；

③

0

00

2

0

2

0

FEyDxyx

点P在圆内.

题型归纳及思路提示

题型1求圆的方程

思路提示

（1）求圆的方程必须具备三个独立的条件，从圆的标准方程上来讲，关键在于求出圆心坐标(a,b)和

半径r；从圆的一般方程来讲，必须知道圆上的三个点.因此，待定系数法是求圆的方程常用的方法.

（2）用几何法来求圆的方程，要充分运用圆的几何性质，如圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上，

半径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形等.

例9.17根据下列条件求圆的方程：

（1）ABC的三个顶点分别为A(-1,5),B(-2,-2),C(5,5),求其外接圆的方程；

（2）经过点A(6,5),B(0,1),且圆心在直线3x+10y+9=0上；

（3）经过点P(-2,4),Q(3,-1),且在x轴上截得的弦长等于6.

分析根据待定系数法求出相应的量即可.

解析（1）解法一：设所求圆的方程为022FEyDxyx，则由题意有，

















05055

0822

0265

FED

FED

FED

解得

















20

2

4

F

E

D

故所求圆的方程为0202422yxyx

解法二：由题意可求得AC的中垂线方程为x=2,BC的中垂线方程为x+y-3=0，所以圆心是两条中垂线

的交点P(2,1),且半径5)51()12(||22APr

所以所求圆的方程为25)1()2(22yx

即0202422yxyx

（2）AB的中垂线与AB垂直，则斜率

2

31



AB

k

k

AB的中点(3,3)，则由点斜式可得)3(

2

3

3xy，

即线段AB的中垂线方程为3x+2y-15=0

由











09103

01523

yx

yx

，解得











3

7

y

x

，所以圆心为C(7,-3),又

65||BC

故所求的圆的方程为

65)3()7(22yx

（3）设圆的方程为

022FEyDxyx，将点P，Q的坐标分别代入，得











103

2042

FED

FED

，又令y=0,得02FDxx.设

21

,xx是方程的两根，则由韦达定理有

FxxDxx

2121

,，由6||

21

xx

有

364)(

21

2

21

xxxx，即3642FD

解得

















8

4

2

F

E

D

或

















0

8

6

F

E

D

故所求圆的方程为084222yxyx或08622yxyx

评注圆的方程有两种形式：标准方程和一般方程.求圆的方程问题一般采用待定系数法，并有两种不同的

选择，一般地，已知圆上的三点时用一般方程；已知圆心或半径关系时用标准方程.即首先设出圆的方程

（标准方程或一般方程），然后根据题意列出关于圆的方程中参数的方程（组），解方程或方程组即可求得

圆的方程.一般地，确定一个圆需要三个独立的条件.

变式1求过点A(6,0),B(1,5),且圆心在直线0872:yxl上的圆的方程.

变式2在平面直角坐标系xOy中，曲线与坐标轴的交点都在圆C上，求圆C的方程

例9.18已知圆的半径为

10

，圆心在直线y=2x上，圆被直线y=x截得的弦长为24，求此圆的方程.

分析求圆的标准方程，就是求222)()(rbyax中的a,b,r，可优先考虑待定系数法.

解析解法一：设圆的方程为10)()(22byax.由圆心在直线y=2x上，得b=2a（①）

由圆在直线y=x上截得的弦长为24，将y=x代入10)()(22byax，

整理得010)(22222baxbax

由弦长公式，得

24||2

21

xx

即24)10(2)(2222baba，化简得2ba（②）

由式①②可得











4

2

b

a

或











4

2

b

a

故所求圆的方程为10)4()2(22yx或10)4()2(22yx

解法二：据几何性质，半径、弦长的一半、弦心距构成直角三角形，可得弦心距

2)22(22rd，又弦心距等于圆心(a,b)到直线x-y=0的距离，即2

2

||







ba

d，又已知

b=2a，解得











4

2

b

a

或











4

2

b

a

故所求圆的方程为

10)4()2(22yx或10)4()2(22yx

评注注意灵活运用垂径定理来简化圆中弦长的求解过程.

变式1求与x轴相切，圆心在直线3x-y=0上，且被直线x-y=0截得的弦长为72的圆的方程

例9.19圆01222xyx关于直线2x-y+3=0对称的圆的方程是（）

A.

2

1

)2()3(22yxB.

2

1

)2()3(22yx

C.2)2()3(22yxD.2)2()3(22yx

解析解法一：（推演法）

将圆的方程01222xyx化为标准方程2)1(22yx，得圆心为(1,0)，半径为2，设对

称圆的圆心坐标为(a,b)，则



























2

1

1

0

03

22

1

2

a

b

ba

,得











2

3

b

a

.

故对称圆的方程是2)2()3(22yx

解法二：（排除法）

将圆的方程01222xyx化为标准方程2)2(22yx,得2r,则对称圆的半径也应为

2，故排除选项A,B，在选项C中，圆心为(-3,2)，验证两圆圆心所在的直线的斜率为

2

1

13

02







，与

直线032yx垂直.故选C

评注根据圆的性质求圆关于直线的对称圆的方程问题，一般转化为求圆心关于直线对称点的问题，半径

保持不变.

变式1若不同两点P,Q的坐标分别为，)3,3(),,(abba,则线段PQ的垂直平分线l的斜率为________，

圆1)3()2(22yx关于直线l对称的圆的方程为______

题型2直线系方程和圆系方程

思路提示

求过两直线交点（两圆交点或直线与圆交点）的直线方程（圆系方程）一般不需求其交点，而是利用

它们的直线系方程（圆系方程）.

（1）直线系方程：若直线0:

1111

CyBxAl与直线0:

2222

CyBxAl相交于点P，则过点P

的直线系方程为：0)()(

22221111

CyBxACyBxA)0(2

2

2

1



简记为：

)0(02

2

2

12211

ll

当0

1

时，简记为：0

21

ll（不含

2

l）

（2）圆系方程：若圆0:

111

22

1

FyExDyxC与圆0:

222

22

2

FyExDyxC相交

于A,B两点，则过A,B两点的圆系方程为：

)1(0)(

222

22

111

22FyExDyxFyExDyx

简记为：)1(0

21

CC，不含

2

C

当1时，该圆系退化为公共弦所在直线（根轴）0)()(:

212121

FFyEExDDl

注与圆C共根轴l的圆系0:lCC



例9.20（1）设直线01:

1

yxl与直线022:

2

yxl相交于点P,求过点P且与直线

0132:

3

yxl平行的直线

4

l的方程.

（2）求圆心在直线0143yx上且过两圆0222yxyx与522yx的交点的圆的方

程.

分析把两条直线（圆）的方程联立，解得直线（圆）的交点坐标的方法看似平常，实则复杂难解，而利

用直线系（圆系）方程的概念，则较易求得答案.

解析（1）解法一：由











022

01

yx

yx

，得交点)0,1(P.因为

34

//ll，故设032:

4

Cyxl，又

4

l过

点)0,1(P，故0)1(2C，得2C

即0232:

4

yxl

解法二：设0)1(22:

4

yxyxl，即02)1()2(:

4

yxl

因为

34

//ll，所以）（）（1223，得8，故0232:

4

yxl

(2)设所求圆为)1(0)5(222yxyxyx

化为一般式0

1

52

1

1

1

1

22





















yxyx

所以

)1(2

1

2

,

)1(2

1

2







ED

，故圆心为











）（

，

）（12

1

-

12

1

代入直线0143yx中，得01

)1(2

4

)1(2

3









解得

2

3

，把

2

3

代入所设的方程中，得0112222yxyx

故所求圆的方程为

0112222yxyx

评注直线系或圆系是具有共同性质的直线或圆的集合，在解题过程中适当利用直线系或圆系方程，往往

能够简化运算，快速得出结论.

变式1过直线042yx和圆014222yxyx的交点且面积最小的圆的方程是_________

变式2（1）设直线0:

1

yxl与直线04:

2

yxl相交于点P，求过点P且与直线0543:

3

yxl

垂直的直线

4

l的方程.

（2）已知圆042:22myxyxC，若直线02:yxl与圆C相交于A,B两点，且

OBOA（O为坐标原点），求m的值和以AB为直径的圆的方程.

题型3与圆有关的轨迹问题

思路提示

要深刻理解求动点的轨迹方程就是探求动点的横纵坐标x,y的等量关系，根据题目条件，直接找到或

转化得到与动点有关的数量关系，是解决此类问题的关键所在.

例9.21（2012北京丰台高三期末理18）在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，动点P与两个定点

)0,4(),0,1(NM的距离之比为

2

1

.

（1）求动点P的轨迹W的方程；

（2）若直线3:kxyl与曲线W交于A,B两点，在曲线W上是否存在一点Q，使得OBOAOQ，

若存在，求出此时直线l的斜率；若不存在，说明理由.

解析（1）设点P的坐标为),(yxP，由题意知

2

1

||

||



PN

PM

，即2222)4()1(2yxyx

即4:22yxW

（2）因为直线3:kxyl与曲线W相交于A,B两点，所以

2

1

3

),(

2







k

lOd

即

2

5

k或

2

5

k①

假设曲线W上存在点Q，使得2||,OQOBOAOQ

因为A,B在圆上，所以||||OBOA，且OBOAOQ

由向量加法的平行四边形法则可知四边形OAQB为菱形，所以OQ与AB互相垂直平分.

故1||

2

1

),(OQlOd，即

1

1

3

2



k

，解得22k，符合式①

所以存在点Q，使得OBOAOQ

评注在平面上到两定点的距离之比不为1的正数的动点轨迹为圆.

变式1在ABC中，若

BCACAB2,2

，则

ABC

S



的最大值为__________

变式2（2012北京石景山一模理8）如图9-10所示，已知平面BAl,,是l上的两个点，C,D在平

面内，且CBDA,,AD=4,AB=6,BC=8，在平面上有一个动点P，使得BPCAPD，则

P-ABCD体积的最大值是（）

A.324B.16C.48D.144

例9.22如图9-11所示，已知P(4,0)是圆3622yx内的一点，A,B是圆上两动点，且满足90APB，

求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程

解析解法一：设AB的中点为R,点Q的坐标为(x,y),则在ABPRt中||||PRAR，又因为R是弦AB的中

点，由垂径定理，在ORARt中36||||22ORAR，

又2222|)|2(|)|2()|||(|2PROROPOQ(*),

得

72362)|||(|2||||2222PROROPOQ,

故

56||72||22OPOQ

则矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程是

5622yx

解法二：设AB的中点为R，Q的坐标为(x,y),

则













2

,

2

4yx

R，在矩形APBQ中有||

2

1

||||PQARPR

在ORARt中，36||||||222OARAOR

则364

4

1

22

4

2

2

22































yx

yx

，即5622yx

评注式（*）的依据是，平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和.在矩形APBQ中，O为矩形APBQ

外一点，有

2222OBOAOQOP

变式1已知圆422yx上一定点A(2,0),B(1,1)为圆内的一定点，P，Q为圆上的动点.

（1）求线段AP中点M的轨迹方程；

（2）若90PBQ，求线段PQ中点N的轨迹.

变式2已知点P(0,5)及圆024124:22yxyxC

（1）直线l过P且被圆C截得的线段长

34||AB

，求l的方程；

（2）求过点P的圆C的动弦的中点M的轨迹方程.

题型4用二元二次方程表示圆的一般方程的充要条件

思路提示

方程022FEyDxyx表示圆的充要条件是0422FED，故在解决圆的一般式方程

的有关问题时，必须注意这一隐含条件.在圆的一般方程中，圆心为













2

,

2

ED

，半径

FEDr4

2

1

22

例9.23方程0122222aaayaxyx表示圆，则a的取值范围是（）

A.2,B.











0,

3

2

C.0,2D.













3

2

,2

解析由

0122222aaayaxyx

可得01

4

3

)(

2

22

2















aaay

a

x

即04432aa，得

3

2

2a.故选D

评注对于用二元二次方程表示圆的方程的充要条件的不等式不需要记忆，只需通过配方，然后让右边大

于零即可

变式1方程042422mymxyx表示圆的方程的充要条件是（）

A.











1,

4

1

mB.,1m

C.













4

1

,mD.),1(

4

1

,













m

变式2若圆02)1(222aayxayx关于直线01yx对称，则实数a的值为______

题型5点与圆的位置关系判断

思路提示

在处理点与圆的位置关系问题时，应注意圆的不同方程形式对应的不同判断方法，另外还应注意其他

约束条件，如圆的一般方程的隐含条件对参数的制约.

例9.24若点A(1,1)在圆4)()(22ayax的内部，则实数a的取值范围是（）

A.)1,1(B.)1,0(C.),1()1,.(D.1,1

解析点A(1,1)在圆内部，满足4)()(22ayax，即4)1()1(22aa，解得11a

故选A

评注判断点与圆的位置关系的代数方法为

若点

),(

00

yxP在圆上,则22

0

2

0

)()(rbyax；

若点

),(

00

yxP在圆外,则22

0

2

0

)()(rbyax；

若点

),(

00

yxP在圆内,则22

0

2

0

)()(rbyax.

反之也成立.

变式1点A(1,0)在圆0332222aaaxyx上，则a的值为_______

变式2过占P(1,2)可以向圆024222kyxyx引两条切线，则k的范围是（）

A.)7,(B.)7,0(C.)7,3(D.),5(

题型6与圆有关的最值问题

思路提示

解决此类问题，应综合运用方程消元法、几何意义法、参数方程法等各种思想和方法求解，才能做到

灵活、高效.

例9.25已知实数x,y满足方程

01422xyx

（1）求

x

y

的最大值和最小值；

（2）求xy的最大值和最小值；

（3）求22yx的最大值和最小值

分析方程01422xyx表示圆心为（2，0），半径为3的圆.

0

0







x

y

x

y

的几何意义是圆上一点

M(x,y)与原点连线的斜率；设y-x=b，可看作直线y=x+b在y轴上的截距；22yx是圆上一点与原点距离

的平方，可借助于平面几何知识，利用数形结合的方法求解.

解析（1）原方程可化为3)2(22yx，表示以点（2，0）为圆心，以3为半径的圆.设k

x

y

，即

kxy.当直线kxy与圆相切时，斜率最大值和最小值，此时3

1

|02|

2







k

k

，解得

3k

故

x

y

的最大值为

3

，最小值为3

（2）设y-x=b，即y=x+b，当y=x+b与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值，此时3

2

|02|



b

，

即

62b

，故y-x的最大值为

62

，最小值为

62

（3）解法一：（几何法）22yx表示圆上点与原点距离的平方，由平面几何知识知它在原点与圆心

连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为2，故

347)32(2

max

22yx,347)32(2

min

22yx

解法二：（参数方程法）把圆的方程化为标准方程3)2(22yx

设



















sin3

cos32

y

x

（为参数,)2,0[）

则cos347)sin3(cos322

2

22yx

故当1cos时，347)32(2

min

22yx

当1cos时，347)32(2

max

22yx

解法三：（方程消元法）由圆的标准方程为3)2(22yx，可得222(3）xy

且32,32x

故

14)2(32222xxxyx

由32,32x

故347,3471422xyx

故所求最大值为

347

，最小值为

347

评注涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解.一般地：

（1）形如

ax

by





的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题.

（2）形如byaxt的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题.

（3）形如22)()(byaxm的最值问题，可转化为曲线上的点到点(a,b)的距离平方的最值问题

变式1若圆1)1(22yx上任意一点(x,y)都使不等式0myx恒成立，则实数m的取值范围是

（）

A.]21,(B.),21[C.]12,(D.]12,(

变式2若圆1)1(22yx上任意一点(x,y)都使不等式0)2(22myx恒成立，则实数m的取值

范围是（）

A.]21,(B.),51[C.]15,(D.]15,(

题型7数形结合思想的应用

思路提示

研究曲线的交点个数问题常用数形结合法，即需要作出两种曲线的图像.在此过程中，尤其要注意需对

代数式进行等价变形，以防出现错误.

例9.26方程225xy表示的曲线是（）

A.一条射线B.一个圆C.两条射线D.半个圆

分析对于方程的变形要注意等价性，即在变形前，先制约变量的取值范围

解析由题可知0,55yx，且2522yx，故原方程表示圆心在（0，0），半径为5的下半圆.

故选D

变式1方程21yx表示的曲线是（）

A.一条射线B.一个圆C.两条射线D.半个圆

例9.27直线bxy与曲线21yx有且仅有一个公共点，则b的取值范围是（）

A.2,2B.211|bbb或C.11|bbD.2|bb

分析利用数形结合法求解

解析将曲线方程21yx变形为)0(122xyx，当直线bxy与曲线122yx相切时，满

足1

2

|00|



b

，整理可得

2||b

，即2b.如图9-12所示，可得当2b或11b时，直

线bxy与曲线21yx有且仅有一个公共点.故选B

变式1当曲线241xy与直线4)2(xky有两个相异交点时，实数k的取值范围是（）

A.











,

12

5

B.













4

3

,

12

5

C.











12

5

,0D.













4

3

,

3

1

变式2若直线bxy与曲线243xxy有公共点，则b的取值范围是（）

A.221,1B.221,221C.3,221D.3,21

变式3设集合













Ryxmyx

m

yxA,,)2(

2

),(222,

RyxmyxmyxB,,122),(，若AB，则实数m的取值范围是_______

有效训练题

1.若直线y=kx与圆03422xyx的两个交点关于直线x+y+b=0对称，则（）

A.k=1,b=-2B.k=1,b=2C.k=-1,b=2D.k=-1,b=-2

2.若点(4a-1,3a+2)不在圆25)2()1(22yx的外部，则a的取值范围是（）

A.



















5

5

,

5

5

B.)1,1(C.













5

5

,

5

5

D.]1,1[

3.设椭圆)0(1

2

2

2

2

ba

b

y

a

x

的离心率为

2

1

e，右焦点为)0,(cF，方程02cbxax的两个实根

分别为

1

x和

2

x，则点),(

21

xxP（）

A.必在圆222yx内B.必在圆222yx上

C.必在圆222yx外D.以上三种情形都有可能

4.已知圆422yx，过点A(4,0)作圆的割线ABC，则弦BC中点的轨迹方程是（）

A.













2

1

14)1(22xyxB.104)1(22xyx

C.













2

1

14)2(22xyxD.104)2(22xyx

5.已知两点A(-1,0),B(0,2)，点P是圆1)1(22yx上任意一点，则PAB面积的最大值与最小值分别是

（）

A.)54(

2

1

,2B.)54(

2

1

),54(

2

1



C.54,5D.)25(

2

1

),25(

2

1



6.已知圆C的方程为012222yxyx，当圆心C到直线04ykx的距离最大时，k的值为

（）

A.

3

1

B.

5

1

C.

3

1

D.

5

1



7.定义在),0(上的函数f(x)的导函数0)('xf恒成立，且1)4(f，若1)(22yxf，则

yxyx2222的最小值是______

8.已知圆C经过5,1,1,3AB两点，圆心在x轴上，则圆C的方程为______

9.已知直线Rmmxyl,:.若以点M(2,0)为圆心的圆与直线l相切于点P，且点P在y轴上，该圆的

方程为_______

10.根据下列条件求圆的方程.

（1）经过点(1,1)P和坐标原点，并且圆心在直线2310xy上；

（2）圆心在直线4yx上，且与直线:10lxy相切于点(3,2)P；

（3）过三点(1,12),(7,10),(9,2)ABC

（4）已知一圆过(4,2),(1,3)PQ两点，且在y轴上截得的线段长为

43

，求圆的方程.

11.设定点(3,4)M，动点N在圆224xy上运动，以,OMON为两边做平行四边形MONP，求点P

的轨迹方程.

12.集合22

5

(,)|()(1)4

2

Axyxy













，

集合22()(,)|22,BmxyyxmxmmmR，设集合B是所有()Bm的并集，求AB的面积