求积分的公式

求积分的公式

保康一中-山西考试网

2023年2月21日发(作者：三周年祭文)

《微积分A》（上）第4、5章公式

1

积分常用公式

一．基本不定积分公式：

1．Cxdx

2．1

1

1









xdxx

1()3．Cxdx

x

ln

1

4．C

a

a

dxa

x

x

ln

)1,0(aa5．Cedxexx

6．Cxxdxcossin7．Cxxdxsincos

8．Cxdx

x

xdxtan

cos

1

sec

2

29．Cxdx

x

xdxcot

sin

1

csc

2

2

10．Cxxdxxsectansec11．Cxxdxxcsccotcsc

12．Cxdx

x





arcsin

1

1

2

（或

1

2

arccos

1

1

Cxdx

x





）

13．Cxdx

x





arctan

1

1

2

（或

1

2

cot

1

1

Cxarcdx

x





）

14．Cxxdxcoshsinh15．Cxxdxsinhcosh

二．常用不定积分公式和积分方法：

1．Cxxdxcoslntan2．Cxxdxsinlncot

3．C

a

x

a

xa

dx





arctan

1

22

4．C

ax

ax

a

ax

dx











ln

2

1

22

5．Cxxxdxtanseclnsec6．Cxxxdxcotcsclncsc

7．C

a

x

xa

dx





arcsin

22

8．Caxx

ax

dx





22

22

ln

9．C

a

xa

xa

x

dxxaarcsin

22

2

2222

10．Caxx

a

ax

x

dxax22

2

2222ln

22

11．第一类换元积分法（凑微分法）：

《微积分A》（上）第4、5章公式

2

CxF

xt

xdxfdxxxfdxxg







)]([

)(

])([)]([)()]([)(





但并未明显做变换

相当于令

12．第二类换元积分法（典型代换：三角代换、倒代换、根式代换）：

CxFCtFdttfdtttg

tx

dxxg





)]([)()()()]([

)(

)(1

令

注：要求代换)(t单调且有连续的导数，且“换元须还原”

13．分部积分法(典型题特征：被积函数是两类不同函数的乘积，且任何一个函数不能为另一个函数凑微分)

vduuvudv

14．万能置换公式（针对三角有理函数的积分。“尽管万能但往往很繁，尽量不用”）：

令

2

tan

x

u，则

21

2

sin

u

u

x



，

2

2

1

1

cos

u

u

x





，du

u

dx

21

2





15．有理真分式)(

)(

)(

mn

xQ

xp

m

n分解定理：

(1).分母)(xQ

m

中如果有因式kax)(（k为正整数），则分解式中有下列k个最简分式之和：

k

k

ax

A

ax

A

ax

A

)()(2

21











（

k

AAA,,,

21

都是常数）

(2)分母)(xQ

m

中如果有因式kqpxx)(2（k为正整数），其中042qp，则分解式中有下列k个

最简分式之和：

k

kk

qpxx

NxM

qpxx

NxM

qpxx

NxM

)()(222

22

2

11



















（

k

MMM,,,

21

，

k

NNN,,,

21

都是常数）

三．积分时常用的三角恒等变换公式：

1．1cossin22xx2．xx22sectan1

3．xx22csccot14．

2

2cos1

sin2

x

x





5．

2

2cos1

cos2

x

x



6．)]sin()[sin(

2

1

cossin

7．)]cos()[cos(

2

1

coscos

《微积分A》（上）第4、5章公式

3

8．)]cos()[cos(

2

1

sinsin

四．定积分的性质

1．b

a

b

a

b

a

dxxgdxxfdxxgxf)()()]()([

2．b

a

dxxkf)(b

a

dxxfk)(

3．定积分对积分区间具有可加性：b

c

c

a

b

a

dxxfdxxfdxxf)()()(（

a

、b、

c

大小任意）

4．保号性：若在],[ba上，)()(xgxf，则b

a

b

a

dxxgdxxf)()(

推论1：若在],[ba上，0)(xf，则0)(b

a

dxxf

推论2：若在],[ba上)(xf可积，则

)(xf

在区间],[ba上也可积，且b

a

b

a

dxxfdxxf)()(

5．估值定理：若在],[ba上，Mxfm)(，则)()()(abMdxxfabmb

a



6．积分中值定理：若)(xf在],[ba上连续，则至少存在一点],[ba，使得))(()(abfdxxfb

a



注：可以证明当上述a或b时，必另有),(ba，使得

))(()(abfdxxf

b

a



7．广义积分中值定理（教材P270例7）：若)(xf和)(xg在],[ba上连续，且)(xg不变号，则至少存在

一点],[ba，使得b

a

b

a

dxxgfdxxgxf)()()()(

五．微积分基本定理：

1．变上限积分函数的导数：若)(xf在],[ba上连续，则函数x

a

dttfx)()(在],[ba上可导，且

)()(xfx



推论1：若)(xf在],[ba上连续，)(xb在],[ba上可导，则

)()]([)(

)(xbxbfdttfxb

a



















推论2：若)(xf在],[ba上连续，)(xa、)(xb在],[ba上可导，则

)()]([)()]([)()(

)(

xaxafxbxbfdttfxb

xa























提示：当被积表达式中有变量

x

时，求变上限积分函数对

x

的导数时，一定要先设法把

x

从被积表达式中

消掉（此时把

x

看作常数，或从积分号中提出去或换元消除）

2．牛顿——莱布尼兹公式：

设)(xf在],[ba上连续，)(xF为)(xf在],[ba上的任意一个原函数，则

)()()(aFbFdxxf

b

a



《微积分A》（上）第4、5章公式

4

即可，以此类推。

六．定积分的计算方法和常用定积分公式：

1．定积分换元法：设)(xf在],[ba上连续，做代换)(tx，若)(t

连续，当t在],[(或],[)

上变化时，)(tx的值在],[ba上变化，且a)(，b)(，则









dtttfdxxfb

a

)()]([)(“换元必换限”

2．分部积分法：b

a

b

a

b

a

vduuvudv

3．对称性：若)(xf在],[aa上连续，则

当)(xf为偶函数时，



aa

a

dxxfdxxf

0

)(2)(

当)(xf为奇函数时，0)(

a

a

dxxf

4．设)(xf是周期为T的周期函数，则)(xf在任何长度为一个周期的区间上定积分的值都相等，即

Ta

a

dxxf)(Tdxxf

0

)(

5．





































的正奇数为大于

为正偶数

11

3

2

5

4

2

31

22

1

4

3

2

31

cossin2

0

2

0

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

xdxxdxInn

n









6．



00

)(sin

2

)(sindxxfdxxxf

七．定积分的几何应用：（要求掌握微元法、充分利用对称性）

1．平面图形的面积：

（步骤：一画草图，二求交点，三选积分变量，四分析微元，五列出定积分表达式，六计算定积分）

(1)直角坐标系下的面积公式：

若平面图形由曲线)(xfy，)(xgy（)()(xgxf），直线

ax

及bx（ba）围成，则

b

a

dxxgxfA)]()([

若平面图形由曲线)(yx，)(yy（)()(yy），直线cy及dy（ba）围成，则

d

c

dyyyA)]()([

(2)曲边由参数方程表示的曲边梯形的面积公式：（看作为定积分的变量代换、下限未必比上限小）

若平面图形由曲线











)(

)(

ty

tx





，直线

ax

、bx（ba）及

x

轴围成的曲边梯形，则

《微积分A》（上）第4、5章公式

5



2

1

)()(t

t

b

a

dtttydxA，其中)(1

1

at，)(1

2

bt

(3)极坐标系下的面积公式：

若平面图形由曲线)(，射线及（）围成的曲边扇形，则





dA)(

2

1

2

2．立体的体积

(1)已知平行截面的面积，求立体的体积：

已知立体垂直于

x

轴的截面面积为)(xA，bxa，则b

a

dxxAV)(

(2)旋转体的体积

(a)由曲线)(xfy，直线

ax

、bx（ba）及

x

轴围成的曲边梯形绕

x

轴旋转形成的旋转体的

体积b

a

x

dxxfV)(2（薄片法）

(b)由曲线)(xfy，)(xgy（0)()(xgxf）直线

ax

及bx（ba）围成的图形绕

x

轴

旋转形成的旋转体的体积b

a

x

dxxgxfV)]()([22（薄片法）

由曲线)(yx，)(yx（)()(yy）直线cy及dy（dc）围成的图形绕

x

轴旋

转形成的旋转体的体积d

c

x

dyyyyV)]()([2（柱壳法）

(c)由曲线)(yx，直线cy、dy（dc）及y轴围成的曲边梯形绕y轴旋转形成的旋转体的

体积d

c

y

dyyV)(2（薄片法）

(d)由曲线)(yx，)(yx（0)()(yy）直线cy及dy（dc）围成的图形绕y轴

旋转形成的旋转体的体积d

c

y

dyyyV)]()([22（薄片法）

由曲线)(xfy，)(xgy（)()(xgxf）直线

ax

及bx（ba）围成的图形绕y轴旋

转形成的旋转体的体积b

a

y

dxxgxfxV)]()([2（柱壳法）

3．平面曲线的弧长

(a)直角坐标系下的弧长公式

b

a

dxys2)(1或

d

c

dyxs2)(1

(b)参数方程下的弧长公式











dttts)()(22

(c)极坐标系下的弧长公式







ds)()(22

《微积分A》（上）第4、5章公式

6

八．定积分的物理应用（微元法分析）

1．变力做功（用到的中学物理公式SFW（功常力距离））

2．液体的侧压力

（用到的中学物理公式APF（压力压强面积），hgP（压强密度重力加速度深度））

3．引力（用到的中学物理公式

2r

Mm

kF，注意：当力的方向变化时，不能直接用定积分，要分解

到各坐标轴上再用定积分）

九.广义积分：

1．无穷区间上的广义积分：设)(xf在下列给定的区间上连续，)(xF是)(xf的一个原函数，则

(1))()()(aFFdxxf

a



,其中)(lim)(xFF

x

，

(2))()()(

FbFdxxfb

，其中)(lim)(xFF

x



(3))()()(



FFdxxf，其中)(lim)(xFF

x

，)(lim)(xFF

x



若上述极限(都)存在，则称广义积分收敛，否则称广义积分发散。

2．无界函数的广义积分（瑕积分）：若



)(limxf

x

或



)(limxf

x

，则称x为)(xf的瑕点。

(1)设)(xf在),[ba上连续，b为瑕点，则

s

a

bs

b

a

dxxfdxxf)(lim)(

(2)设)(xf在],(ba上连续，

a

为瑕点，则

b

t

at

b

a

dxxfdxxf)(lim)(

(3)设)(xf在],[ba上除点

cx

（bca）外处处连续，

c

为瑕点，则



b

t

ct

s

a

cs

b

a

dxxfdxxfdxxf)(lim)(lim)(

若上述极限(都)存在，则称广义积分收敛，否则称广义积分发散。