二次函数综合题
个人图书馆360-端午诗
2023年2月21日发(作者：求佛简谱)一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1
．在平面直角坐标系中，我们定义直线
y=ax-a
为抛物线
y=ax2+bx+c
（
a
、
b
、
c
为常数，
a≠0
）的
“
衍生直线
”
；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在
y
轴上的三角形为其
“
衍生
三角形
”
．已知抛物线2
2343
23
33
yxx与其
“
衍生直线
”
交于
A
、
B
两点（点
A
在点
B
的左侧），与
x
轴负半轴交于点
C
．
（
1
）填空：该抛物线的
“
衍生直线
”
的解析式为，点
A
的坐标为，点
B
的坐
标为；
（
2
）如图，点
M
为线段
CB
上一动点，将
△ACM
以
AM
所在直线为对称轴翻折，点
C
的
对称点为
N
，若
△AMN
为该抛物线的
“
衍生三角形
”
，求点
N
的坐标；
（
3
）当点
E
在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的
“
衍生直线
”
上，是否存在点
F
，使
得以点
A
、
C
、
E
、
F
为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点
E
、
F
的坐标；
若不存在，请说明理由．
【答案】（
1
）
2323
y=x+
33
；（
-2
，23）；（
1,0
）；
（
2
）
N
点的坐标为（
0
，23-3），（
0
，23+3）；
（
3
）
E
（
-1
，
-
43
3
）、
F
（
0
，
23
3
）或
E
（
-1
，
43
-
3
），
F
（
-4
，
103
3
）
【解析】
【分析】
（
1
）由抛物线的
“
衍生直线
”
知道二次函数解析式的
a
即可；（
2
）过
A
作
AD⊥y
轴于点
D
，则可知
AN=AC
，结合
A
点坐标，则可求出
ON
的长，可求出
N
点的坐标；（
3
）分别讨
论当
AC
为平行四边形的边时，当
AC
为平行四边形的对角线时，求出满足条件的
E
、
F
坐
标即可
【详解】
（
1
）
∵2
2343
23
33
yxx，
a=
23
3
，则抛物线的
“
衍生直线
”
的解析式为
2323
y=x+
33
；
联立两解析式求交点
2
2343
23
33
2323
y=x+
33
yxx
，解得
x=-2
y=23
或
x=1
y=0
，
∴A
（
-2
，23），
B
（
1,0
）；
（
2
）如图
1
，过
A
作
AD⊥y
轴于点
D
，
在2
2343
23
33
yxx中，令
y=0
可求得
x=-3
或
x=1
，
∴C
（
-3,0
），且
A
（
-2
，23），
∴AC=22-++2133=（23）（）
由翻折的性质可知
AN=AC=13，
∵△AMN
为该抛物线的
“
衍生三角形
”
，
∴N
在
y
轴上，且
AD=2
，
在
Rt△AND
中，由勾股定理可得
DN=22AN-AD=13-4=3，
∵OD=
23，
∴ON=
23-3或
ON=23+3，
∴N
点的坐标为（
0
，23-3），（
0
，23+3）；
（
3
）
①
当
AC
为平行四边形的边时，如图
2
，过
F
作对称轴的垂线
FH
，过
A
作
AK⊥x
轴
于点
K
，则有
AC∥EF
且
AC=EF
，
∴∠ACK=∠EFH
，
在
△ACK
和
△EFH
中
ACK=EFH
AKC=EHF
AC=EF
∴△ACK≌△EFH
，
∴FH=CK=1
，
HE=AK=
23，
∵
抛物线的对称轴为
x=-1
，
∴F
点的横坐标为
0
或
-2
，
∵
点
F
在直线
AB
上，
∴
当
F
点的横坐标为
0
时，则
F
（
0
，
23
3
），此时点
E
在直线
AB
下方，
∴E
到
y
轴的距离为
EH-OF=
23-
23
3
=
43
3
，即
E
的纵坐标为
-
43
3
，
∴E
（
-1
，
-
43
3
）；
当
F
点的横坐标为
-2
时，则
F
与
A
重合，不合题意，舍去；
②
当
AC
为平行四边形的对角线时，
∵C
（
-3,0
），且
A
（
-2
，23），
∴
线段
AC
的中点坐标为（
-2.5
，
3），
设
E
（
-1
，
t
），
F
（
x
，
y
），
则
x-1=2×
（
-2.5
），
y+t=23，
∴x=-4
，
y=
23-t
，
23-t=-
23
3
×
（
-4
）
+
23
3
，解得
t=
43
-
3
，
∴E
（
-1
，
43
-
3
），
F
（
-4
，
103
3
）；
综上可知存在满足条件的点
F
，此时
E
（
-1
，
-
43
3
）、（
0
，
23
3
）或
E
（
-1
，
43
-
3
），
F
（
-4
，
103
3
）
【点睛】
本题是对二次函数的综合知识考查，熟练掌握二次函数，几何图形及辅助线方法是解决本
题的关键，属于压轴题
2
．如图，已知顶点为
(0,3)C
的抛物线2(0)yaxba与
x
轴交于A，B两点，直线
yxm
过顶点C和点B．
（
1
）求
m
的值；
（
2
）求函数2(0)yaxba的解析式；
（
3
）抛物线上是否存在点M，使得15MCB？若存在，求出点M的坐标；若不存
在，请说明理由．
【答案】（
1
）﹣
3
；（
2
）
y
1
3
x2﹣
3
；（
3
）
M
的坐标为（
33，
6
）或（3，﹣
2
）．
【解析】
【分析】
（
1
）把
C
（
0
，﹣
3
）代入直线
y
＝
x+m
中解答即可；
（
2
）把
y
＝
0
代入直线解析式得出点
B
的坐标，再利用待定系数法确定函数关系式即可；
（
3
）分
M
在
BC
上方和下方两种情况进行解答即可．
【详解】
（
1
）将
C
（
0
，﹣
3
）代入
y
＝
x+m
，可得：
m
＝﹣
3
；
（
2
）将
y
＝
0
代入
y
＝
x
﹣
3
得：
x
＝
3
，
所以点
B
的坐标为（
3
，
0
），
将（
0
，﹣
3
）、（
3
，
0
）代入
y
＝
ax2+b
中，可得：
3
90
b
ab
，
解得：
1
3
3
a
b
，
所以二次函数的解析式为：
y
1
3
x2﹣
3
；
（
3
）存在，分以下两种情况：
①
若
M
在
B
上方，设
MC
交
x
轴于点
D
，
则
∠ODC
＝
45°+15°
＝
60°
，
∴OD
＝
OC•tan30°
3，
设
DC
为
y
＝
kx
﹣
3
，代入（3，
0
），可得：
k3，
联立两个方程可得：
2
33
1
3
3
yx
yx
，
解得：
1
2
1
2
0
33
3
6
x
x
y
y
，
，
所以
M
1（
33，
6
）；
②
若
M
在
B
下方，设
MC
交
x
轴于点
E
，
则
∠OEC
＝
45°-15°
＝
30°
，
∴OE
＝
OC•tan60°
＝
3
3，
设
EC
为
y
＝
kx
﹣
3
，代入（
33，
0
）可得：
k
3
3
，
联立两个方程可得：
2
3
3
3
1
3
3
yx
yx
，
解得：
1
2
1
2
0
3
3
2
x
x
y
y
，
，
所以
M
2（3，﹣
2
）．
综上所述
M
的坐标为（
33，
6
）或（3，﹣
2
）．
【点睛】
此题是一道二次函数综合题，熟练掌握待定系数法求函数解析式等知识是解题关键．
3
．新春佳节，电子鞭炮因其安全、无污染开始走俏．某商店经销一种电子鞭炮，已知这种
电子鞭炮的成本价为每盒
80
元，市场调查发现，该种电子鞭炮每天的销售量
y
（盒）与销
售单价
x
（元）有如下关系：
y=
﹣
2x+320
（
80≤x≤160
）．设这种电子鞭炮每天的销售利润为
w
元．
（
1
）求
w
与
x
之间的函数关系式；
（
2
）该种电子鞭炮销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
（
3
）该商店销售这种电子鞭炮要想每天获得
2400
元的销售利润，又想卖得快．那么销售
单价应定为多少元？
【答案】（
1
）
w=
﹣
2x2+480x
﹣
25600
；（
2
）销售单价定为
120
元时，每天销售利润最大，
最大销售利润
3200
元（
3
）销售单价应定为
100
元
【解析】
【分析】
（
1
）用每件的利润80x乘以销售量即可得到每天的销售利润，即
80802320wxyxx，
然后化为一般式即可；
（
2
）把（
1
）中的解析式进行配方得到顶点式221203200wx，然后根据二次函
数的最值问题求解；
（
3
）求2400w所对应的自变量的值，即解方程22x．然后检验
即可
.
【详解】
（
1
）80802320wxyxx，
2248025600xx，
w
与
x
的函数关系式为：2248025600wxx；
（
2
）2
224800wxxx，
2080160x，，
∴
当120x时，
w
有最大值．
w
最大值为
3200
．
答：销售单价定为
120
元时，每天销售利润最大，最大销售利润
3200
元．
（
3
）当2400w时，22x．
解得：
12
100140xx，．
∵
想卖得快，
2
140x
不符合题意，应舍去．
答：销售单价应定为
100
元．
4
．童装店销售某款童装
,
每件售价为
60
元
,
每星期可卖
100
件
,
为了促销该店决定降价销售
,
经市场调查发现：每降价
1
元
,
每星期可多卖
10
件
,
已知该款童装每件成本
30
元
,
设降价后
该款童装每件售价
x
元
,
每星期的销售量为
y
件
.
(1)
降价后
,
当某一星期的销售量是未降价前一星期销售量的
3
倍时，求这一星期中每件童装
降价多少元
?
(2)
当每件售价定为多少元时
,
一星期的销售利润最大
,
最大利润是多少
?
【答案】（
1
）这一星期中每件童装降价
20
元；（
2
）每件售价定为
50
元时，一星期的销
售利润最大，最大利润
4000
元．
【解析】
【分析】
（
1
）根据售量与售价
x
（元
/
件）之间的关系列方程即可得到结论．
（
2
）设每星期利润为
W
元，构建二次函数利用二次函数性质解决问题．
【详解】
解：（
1
）根据题意得，（
60
﹣
x
）
×10+100
＝
3×100
，
解得：
x
＝
40
，
60
﹣
40
＝
20
元，
答：这一星期中每件童装降价
20
元；
（
2
）设利润为
w
，
根据题意得，
w
＝（
x
﹣
30
）
[
（
60
﹣
x
）
×10+100]
＝﹣
10x2+1000x
﹣
21000
＝﹣
10
（
x
﹣
50
）2+4000
，
答：每件售价定为
50
元时，一星期的销售利润最大，最大利润
4000
元．
【点睛】
本题考查二次函数的应用，一元二次不等式，解题的关键是构建二次函数解决最值问题，
利用图象法解一元二次不等式，属于中考常考题型．
5
．如图
1
，抛物线经过平行四边形的顶点、、
，抛物线与轴的另一交点为
.
经过点的直线将平行四边形分割为面
积相等的两部分，与抛物线交于另一点
.
点为直线上方抛物线上一动点，设点的横
坐标为
.
（
1
）求抛物线的解析式；
（
2
）当何值时，的面积最大
?
并求最大值的立方根；
（
3
）是否存在点使为直角三角形
?
若存在，求出的值；若不存在，说明理
由
.
【答案】（
1
）抛物线解析式为
y=
﹣
x2+2x+3
；（
2
）当
t=
时，
△PEF
的面积最大，其最
大值为
×
，
最大值的立方根为
=
；（
3
）存在满足条件的点
P
，
t
的值为
1
或
【解析】
试题分析：（
1
）由
A
、
B
、
C
三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（
2
）由
A
、
C
坐标可求得平行四边形的中心的坐标，由抛物线的对称性可求得
E
点坐标，
从而可求得直线
EF
的解析式，作
PH⊥x
轴，交直线
l
于点
M
，作
FN⊥PH
，则可用
t
表示
出
PM
的长，从而可表示出
△PEF
的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值，再求
其最大值的立方根即可；
（
3
）由题意可知有
∠PAE=90°
或
∠APE=90°
两种情况，当
∠PAE=90°
时，作
PG⊥y
轴，利用
等腰直角三角形的性质可得到关于
t
的方程，可求得
t
的值；当
∠APE=90°
时，作
PK⊥x
轴，
AQ⊥PK
，则可证得
△PKE∽△AQP
，利用相似三角形的性质可得到关于
t
的方程，可求
得
t
的值．
试题解析：（
1
）由题意可得，解得，
∴
抛物线解析式为
y=
﹣
x2+2x+3
；
（
2
）
∵A
（
0
，
3
），
D
（
2
，
3
），
∴BC=AD=2
，
∵B
（﹣
1
，
0
），
∴C
（
1
，
0
），
∴
线段
AC
的中点为（，），
∵
直线
l
将平行四边形
ABCD
分割为面积相等两部分，
∴
直线
l
过平行四边形的对称中心，
∵A
、
D
关于对称轴对称，
∴
抛物线对称轴为
x=1
，
∴E
（
3
，
0
），
设直线
l
的解析式为
y=kx+m
，把
E
点和对称中心坐标代入可得，解得
，
∴
直线
l
的解析式为
y=
﹣
x+
，
联立直线
l
和抛物线解析式可得，解得或，
∴F
（﹣，），
如图
1
，作
PH⊥x
轴，交
l
于点
M
，作
FN⊥PH
，
∵P
点横坐标为
t
，
∴P
（
t
，﹣
t2+2t+3
），
M
（
t
，﹣
t+
），
∴PM=
﹣
t2+2t+3
﹣（﹣
t+
）
=
﹣
t2+t+
，
∴S△PEF
=S
△PFM
+S
△PEM
=PM•FN+PM•EH=PM•
（
FN+EH
）
=
（﹣
t2+t+
）
（
3+
）
=
﹣（
t
﹣）
+×
，
∴
当
t=
时，
△PEF
的面积最大，其最大值为
×
，
∴
最大值的立方根为
=
；
（
3
）由图可知
∠PEA≠90°
，
∴
只能有
∠PAE=90°
或
∠APE=90°
，
①
当
∠PAE=90°
时，如图
2
，作
PG⊥y
轴，
∵OA=OE
，
∴∠OAE=∠OEA=45°
，
∴∠PAG=∠APG=45°
，
∴PG=AG
，
∴t=
﹣
t2+2t+3
﹣
3
，即﹣
t2+t=0
，解得
t=1
或
t=0
（舍去），
②
当
∠APE=90°
时，如图
3
，作
PK⊥x
轴，
AQ⊥PK
，
则
PK=
﹣
t2+2t+3
，
AQ=t
，
KE=3
﹣
t
，
PQ=
﹣
t2+2t+3
﹣
3=
﹣
t2+2t
，
∵∠APQ+∠KPE=∠APQ+∠PAQ=90°
，
∴∠PAQ=∠KPE
，且
∠PKE=∠PQA
，
∴△PKE∽△AQP
，
∴
，即，即
t2﹣
t
﹣
1=0
，解得
t=
或
t=
＜﹣
（舍去），
综上可知存在满足条件的点
P
，
t
的值为
1
或．
考点：二次函数综合题
6
．如图，抛物线
y
＝
x2+bx+c
与
x
轴交于
A
、
B
两点，
B
点坐标为（
3
，
0
），与
y
轴交于点
C
（
0
，
3
）．
（
1
）求抛物线
y
＝
x2+bx+c
的表达式；
（
2
）点
D
为抛物线对称轴上一点，当
△BCD
是以
BC
为直角边的直角三角形时，求点
D
的
坐标；
（
3
）点
P
在
x
轴下方的抛物线上，过点
P
的直线
y
＝
x+m
与直线
BC
交于点
E
，与
y
轴交于
点
F
，求
PE+EF
的最大值．
【答案】（
1
）
y=x2﹣
4x+3
；（
2
）（
2
，﹣
1
）；（
3
）42．
【解析】
试题分析：（
1
）利用待定系数法求抛物线解析式；
（
2
）如图
1
，设
D
（
2
，
y
），利用两点间的距离公式得到
BC2=32+32=18
，
DC2=4+
（
y
﹣
3
）
2，
BD2=
（
3
﹣
2
）2+y2=1+y2，然后讨论：当
BD
为斜边时得到
18+4+
（
y
﹣
3
）2=1+y2；当
CD
为斜边时得到
4+
（
y
﹣
3
）2=1+y2+18
，再分别解方程即可得到对应
D
的坐标；
（
3
）先证明
∠CEF=90°
得到
△ECF
为等腰直角三角形，作
PH⊥y
轴于
H
，
PG∥y
轴交
BC
于
G
，如图
2
，
△EPG
、
△PHF
都为等腰直角三角形，则
PE=
2
2
PG
，
PF=2PH
，设
P
（
t
，
t2
﹣
4t+3
）（
1
＜
t
＜
3
），则
G
（
t
，﹣
t+3
），接着利用
t
表示
PF
、
PE
，这样
PE+EF=2PE+PF=
﹣
2t2+42t
，然后利用二次函数的性质解决问题．
试题解析：解：（
1
）把
B
（
3
，
0
），
C
（
0
，
3
）代入
y=x2+bx+c
得：
930
3
bc
c
，解
得：
4
3
b
c
，
∴
抛物线
y=x2+bx+c
的表达式为
y=x2﹣
4x+3
；
（
2
）如图
1
，抛物线的对称轴为直线
x=
﹣
4
2
=2
，设
D
（
2
，
y
），
B
（
3
，
0
），
C
（
0
，
3
），
∴BC2=32+32=18
，
DC2=4+
（
y
﹣
3
）2，
BD2=
（
3
﹣
2
）2+y2=1+y2，当
△BCD
是以
BC
为直
角边，
BD
为斜边的直角三角形时，
BC2+DC2=BD2，即
18+4+
（
y
﹣
3
）2=1+y2，解得：
y=5
，
此时
D
点坐标为（
2
，
5
）；
当
△BCD
是以
BC
为直角边，
CD
为斜边的直角三角形时，
BC2+DB2=DC2，即
4+
（
y
﹣
3
）
2=1+y2+18
，解得：
y=
﹣
1
，此时
D
点坐标为（
2
，﹣
1
）；
（
3
）易得
BC
的解析式为
y=
﹣
x+3
．
∵
直线
y=x+m
与直线
y=x
平行，
∴
直线
y=
﹣
x+3
与直
线
y=x+m
垂直，
∴∠CEF=90°
，
∴△ECF
为等腰直角三角形，作
PH⊥y
轴于
H
，
PG∥y
轴交
BC
于
G
，如图
2
，
△EPG
、
△PHF
都为等腰直角三角形，
PE=
2
2
PG
，
PF=2PH
，设
P
（
t
，
t2﹣
4t+3
）（
1
＜
t
＜
3
），则
G
（
t
，﹣
t+3
），
∴PF=2PH=2t
，
PG=
﹣
t+3
﹣（
t2﹣
4t+3
）
=
﹣
t2+3t
，
∴PE=
2
2
PG=
﹣
2
2
t2+
32
2
t
，
∴PE+EF=PE+PE+PF=2PE+PF=
﹣
2t2+32t+2t=
﹣2t2+42t=
﹣2（
t
﹣
2
）2+42，当
t=2
时，
PE+EF
的最大值为
42．
点睛：本题考查了二次函数的综合题．熟练掌握等腰直角三角形的性质、二次函数图象上
点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求二次函数解析式；理解坐标与图形
性质，记住两点间的距离公式．
7
．课本中有一道作业题：
有一块三角形余料
ABC
，它的边
BC=120mm
，高
AD=80mm
．要把它加工成正方形零件，使
正方形的一边在
BC
上，其余两个顶点分别在
AB
，
AC
上．问加工成的正方形零件的边长是
多少
mm
？
小颖解得此题的答案为
48mm
，小颖善于反思，她又提出了如下的问题．
（
1
）如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，
如图
1
，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少
mm
？请你计算．
（
2
）如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图
2
，这样，此矩形零件的两条边长就
不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长．
【答案】（
1
）
240
7
mm
，
480
7
mm
；（
2
）
PN=60mm
，
40PQ
mm
．
【解析】
【分析】
(1)
、设
PQ=y
（
mm
），则
PN=2y
（
mm
），
AE=80-y
（
mm
），根据平行得出
△APN
和
△ABC
相似，根据线段的比值得出
y
的值，然后得出边长；
(2)
、根据第一题同样的方法得出
y
与
x
的函数关系式，然后求出
S
与
x
的函数关系式，根据二次函数的性质得出最大值
.
【详解】
(1)
、设
PQ=y
（
mm
），则
PN=2y
（
mm
），
AE=80-y
（
mm
）
∵PN∥BC,
∴=
，
△APN∽△ABC
∴=
∴=
∴=
解得
y=
∴2y=
∴
这个矩形零件的两条边长分别为
mm
，
mm
(2)
、设
PQ=x
（
mm
），
PN=y
（
mm
），矩形面积为
S
，则
AE=80-x
（
mm
）．
.
由（
1
）知
=
∴=
∴y=
则
S=xy===
∵
∴S
有最大值
∴
当
x=40
时，
S最大
=2400
（
mm2）此时，
y==60
．
∴
面积达到这个最大值时矩形零件的两边
PQ
、
PN
长分别是
40mm
，
60mm
．
考点：三角形相似的应用
8
．如图，已知抛物线2yaxbxc经过
A
（－
3
，
0
），
B
（
1
，
0
），
C
（
0
，
3
）三点，
其顶点为
D
，对称轴是直线
l
，
l
与
x
轴交于点
H
．
（
1
）求该抛物线的解析式；
（
2
）若点
P
是该抛物线对称轴
l
上的一个动点，求
△PBC
周长的最小值；
（
3
）如图（
2
），若
E
是线段
AD
上的一个动点（
E
与
A
、
D
不重合），过
E
点作平行于
y
轴的直线交抛物线于点
F
，交
x
轴于点
G
，设点
E
的横坐标为
m
，
△ADF
的面积为
S
．
①
求
S
与
m
的函数关系式；
②S
是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点
E
的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（
1
）2yx2x3.
（
2
）3210.
（
3
）
①2Sm4m3.
②
当
m=
﹣
2
时，
S
最大，最大值为
1
，此时点
E
的坐标为（﹣
2
，
2
）
.
【解析】
【分析】
（
1
）根据函数图象经过的三点，用待定系数法确定二次函数的解析式即可
.
（
2
）根据
BC
是定值，得到当
PB+PC
最小时，
△PBC
的周长最小，根据点的坐标求得相应
线段的长即可
.
（
3
）设点
E
的横坐标为
m
，表示出
E
（
m
，
2m+6
），
F
（
m
，2m2m3），最后表示
出
EF
的长，从而表示出
S
于
m
的函数关系，然后求二次函数的最值即可
.
【详解】
解：（
1
）
∵
抛物线2yaxbxc经过
A
（－
3
，
0
），
B
（
1
，
0
），
∴
可设抛物线交点式为yax3x1.
又
∵
抛物线2yaxbxc经过
C
（
0
，
3
），
∴a1.
∴
抛物线的解析式为：yx3x1
，即2yx2x3.
（
2
）
∵△PBC
的周长为：
PB+PC+BC
，且
BC
是定值
.
∴
当
PB+PC
最小时，
△PBC
的周长最小
.
∵
点
A
、点
B
关于对称轴
I
对称，
∴
连接
AC
交
l
于点
P
，即点
P
为所求的点
.
∵AP=BP
，
∴△PBC
的周长最小是：
PB+PC+BC=AC+BC.
∵A
（－
3
，
0
），
B
（
1
，
0
），
C
（
0
，
3
），
∴AC=3
2，
BC=10.
∴△PBC
的周长最小是：3210.
（
3
）
①∵
抛物线2yx2x3顶点
D
的坐标为（﹣
1
，
4
），
A
（﹣
3
，
0
），
∴
直线
AD
的解析式为
y=2x+6
∵
点
E
的横坐标为
m
，
∴E
（
m
，
2m+6
），
F
（
m
，2m2m3）
∴22EFm2m32m6m4m3.
∴
22
DEFAEF
1111
SSSEFGHEFAGEFAHm4m32m4m3
2222
.
∴S
与
m
的函数关系式为2Sm4m3.
②2
2Sm4m3m21，
∴
当
m=
﹣
2
时，
S
最大，最大值为
1
，此时点
E
的坐标为（﹣
2
，
2
）
.
9
．如图
1
，已知一次函数
y=x+3
的图象与
x
轴、
y
轴分别交于
A
、
B
两点，抛物线
2yxbxc过
A
、
B
两点，且与
x
轴交于另一点
C
．
（
1
）求
b
、
c
的值；
（
2
）如图
1
，点
D
为
AC
的中点，点
E
在线段
BD
上，且
BE=2ED
，连接
CE
并延长交抛物
线于点
M
，求点
M
的坐标；
（
3
）将直线
AB
绕点
A
按逆时针方向旋转
15°
后交
y
轴于点
G
，连接
CG
，如图
2
，
P
为
△ACG
内以点，连接
PA
、
PC
、
PG
，分别以
AP
、
AG
为边，在他们的左侧作等边
△APR
，等
边
△AGQ
，连接
QR
①
求证：
PG=RQ
；
②
求
PA+PC+PG
的最小值，并求出当
PA+PC+PG
取得最小值时点
P
的坐标．
【答案】（
1
）
b=
﹣
2
，
c=3
；（
2
）
M
（
12
5
，
51
25
）；（
3
）
①
证明见解析；
②PA+PC+PG
的最小值为219，此时点
P
的坐标（﹣
9
19
，
123
19
）．
【解析】
试题分析：（
1
）把
A
（﹣
3
，
0
），
B
（
0
，
3
）代入抛物线2yxbxc即可解决问题．
（
2
）首先求出
A
、
C
、
D
坐标，根据
BE=2ED
，求出点
E
坐标，求出直线
CE
，利用方程组求
交点坐标
M
．
（
3
）
①
欲证明
PG=QR
，只要证明
△QAR≌△GAP
即可．
②
当
Q
、
R
、
P
、
C
共线时，
PA+PG+PC
最小，作
QN⊥OA
于
N
，
AM⊥QC
于
M
，
PK⊥OA
于
K
，由
sin∠ACM=
AM
AC
=
NQ
QC
求出
AM
，
CM
，利用等边三角形性质求出
AP
、
PM
、
PC
，由此即可
解决问题．
试题解析：（
1
）
∵
一次函数
y=x+3
的图象与
x
轴、
y
轴分别交于
A
、
B
两点，
∴A
（﹣
3
，
0
），
B
（
0
，
3
），
∵
抛物线2yxbxc过
A
、
B
两点，
∴
3
{
930
c
bc
，解得：
2
{
3
b
c
，
∴b=
﹣
2
，
c=3
．
（
2
），对于抛物线223yxx，令
y=0
，则2230xx，解得
x=
﹣
3
或
1
，
∴
点
C
坐标（
1
，
0
），
∵AD=DC=2
，
∴
点
D
坐标（﹣
1
，
0
），
∵BE=2ED
，
∴
点
E
坐标
（
2
3
，
1
），设直线
CE
为
y=kx+b
，把
E
、
C
代入得到：
2
1
{
3
0
kb
kb
，解得：
3
5
{
3
5
k
b
，
∴
直线
CE
为
33
55
yx
，由
2
33
{
55
23
yx
yxx
，解得
1
0
x
y
或
12
5
{
51
25
x
y
，
∴
点
M
坐标（
12
5
，
51
25
）．
（
3
）
①∵△AGQ
，
△APR
是等边三角形，
∴AP=AR
，
AQ=AG
，
∠QAC=∠RAP=60°
，
∴∠QAR=∠GAP
，在
△QAR
和
△GAP
中，
∵AQ=AG
，
∠QAR=∠GAP
，
AR=AP
，
∴△QAR≌△GAP
，
∴QR=PG
．
②
如图
3
中，
∵PA+PB+PC=QR+PR+PC=QC
，
∴
当
Q
、
R
、
P
、
C
共线时，
PA+PG+PC
最小，作
QN⊥OA
于
N
，
AM⊥QC
于
M
，
PK⊥OA
于
K
．
∵∠GAO=60°
，
AO=3
，
∴AG=QG=AQ=6
，
∠AGO=30°
，
∵∠QGA=60°
，
∴∠QGO=90°
，
∴
点
Q
坐标（﹣
6
，
33），在
RT△QCN
中，
QN=33，
CN=7
，
∠QNC=90°
，
∴QC=22QNNC=219，
∵sin∠ACM=
AM
AC
=
NQ
QC
，
∴AM=
657
19
，
∵△APR
是等边三角形，
∴∠APM=60°
，
∵PM=PR
，
cos30°=
AM
AP
，
∴AP=
1219
19
，
PM=RM=
619
19
，
∴MC=22ACAM=
1419
19
，
∴PC=CM
﹣
PM=
819
19
，
∵
PKCPCK
QNCQCN
，
∴CK=
28
19
，
PK=
123
19
，
∴OK=CK
﹣
CO=
9
19
，
∴
点
P
坐
标（﹣
9
19
，
123
19
），
∴PA+PC+PG
的最小值为219，此时点
P
的坐标（﹣
9
19
，
123
19
）．
考点：二次函数综合题；旋转的性质；最值问题；压轴题．
10．复习课中，教师给出关于x的函数（k是实数）.
教师：请独立思考，并把探索发现的与该函数有关的结论（性质）写到黑板上
.
学生思考后，黑板上出现了一些结论
.
教师作为活动一员，又补充一些结论，并从中选择如
下四条：
①
存在函数，其图像经过（
1,0
）点；
②
函数图像与坐标轴总有三个不同的交点；
③当时，不是y随x的增大而增大就是y随x的增大而减小；
④
若函数有最大值，则最大值必为正数，若函数有最小值，则最小值必为负数；
教师：请你分别判断四条结论的真假，并给出理由，最后简单写出解决问题时所用的数学
方法
.
【答案】
①
真，
②
假，
③
假，
④
真，理由和所用的数学方法见解析
.
【解析】
试题分析：根据方程思想，特殊与一般思想，反证思想，分类思想对各结论进行判断
.
试题解析：
①
真，
②
假，
③
假，
④
真
.
理由如下：
①将（1,0）代入，得，解得.
∴存在函数，其图像经过（1,0）点.
∴
结论
①
为真
.
②举反例如，当时，函数的图象与坐标轴只有两个不同的交点.∴结论②
为假.
③∵当时，二次函数（k是实数）的对称轴为
，
∴可举反例如，当时，二次函数为，
当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大.
∴
结论
③
为假
.
④∵当时，二次函数的最值为
，
∴当时，有最小值，最小值为负；当时，有最大值，最大值为正.
∴
结论
④
为真
.
解决问题时所用的数学方法有方程思想，特殊与一般思想，反证思想，分类思想
考点：
1.
曲线上点的坐标与方程的关系；
2.
二次函数的性质；
3.
方程思想、特殊元素法、反
证思想和分类思想的应用
.