怎么判断函数的奇偶性
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2023年2月21日发(作者：辩论赛的意义)函数的奇偶性
[教学目的]使学生理解函数奇偶性的定义，能判断一些较简单函数的奇偶性.
[重点难点]重点：函数奇偶性的概念；难点：判断函数的奇偶性.
[教学过程]
一、复习引入
⒈函数y=f(x)=x2(x∈R)的单减区间是(-∞,0]，单增区间是[0,+∞)；它的图象关于y轴
对称；当自变量取一对相反数时，对应的函数值相等，即f(-x)=f(x).
⒉函数y=f(x)=x3(x∈R)的单增区间是(-∞,+∞)；它的图象关于原点对称；当自变量取一对
相反数时，对应的函数值互为相反数，即f(-x)=-f(x).
⒊由上述问题知：函数y=f(x)=x2(x∈R)具有“f(-x)=f(x)”的特性，函数y=f(x)=x3(x∈R)则具有
“f(-x)=-f(x)”的特性.我们把具有特性f(-x)=f(x)的函数叫做偶函数；把具有特性f(-x)=-f(x)的
函数叫做奇函数.
二、学习、讲解新课
⒈偶函数与奇函数
定义：对于函数f(x)的定义域内任意一个值x，
⑴若f(-x)=f(x)恒成立，则函数y=f(x)就叫做偶函数；
⑵若f(-x)=-f(x)恒成立，则函数y=f(x)就叫做奇函数.
例如，函数f(x)=x2+1，f(x)=|x|，f(x)=x4-4等都是偶函数；函数f(x)=x，f(x)=1/x等都是奇函数.
若函数f(x)是奇函数或偶函数，则说函数f(x)具有奇偶性.
说明：⑴定义中的等式f(-x)=f(x)（或f(-x)=-f(x)）对定义域里的任意x都要成立，若只对个别
x值成立，则不能说这函数是偶函数（或奇函数）；⑵等式f(-x)=f(x)（或f(-x)=-f(x)）成立，除
了表明函数值相等（或互为相反数）外，首先表明对定义域中的任意x来说，-x也应在定义
域之中，否则f(-x)无意义；⑶奇函数和偶函数的定义域必定是关于原点对称的，由此得结论：
凡是定义域不关于原点对称的函数一定是非奇、非偶的函数.
⒉函数奇偶性的判断方法
例1判断下列函数是否具有奇偶性：
⑴f(x)=x3+2x；⑵f(x)=2x4+3x2；⑶f(x)=x3+x2.
说明：⑴判断一个函数是奇函数，或者是偶函数，或者既不是奇函数也不是偶函数，叫做判
断函数的奇偶性，判断的根据是定义.
⑵函数中有的是奇函数，有的是偶函数，有的是非奇非偶函数，还有的既是奇函数又是偶函
数，例如常数函数f(x)=a(x∈R)，当a≠0时是偶函数，当a=0时，它既是奇函数又是偶函数.
⑶判断函数的奇偶性，有时也可根据下面的式子来判断：
对于f(x)定义域内任意一个x，①若有f(x)-f(-x)=0成立，则f(x)为偶函数；②若有f(x)+f(-x)=0
成立，则f(x)为奇函数.
例2已知函数y=f(x)在R上是奇函数，而且在(0,+∞)上是增函数，证明y=f(x)在(-∞,0)上也
是增函数.
⒊目标检测：
三、小结
⒈要正确理解奇、偶函数的定义，一对实数x与-x必须同时在定义域内，f(x)与f(-x)才能都
有意义，奇、偶函数的定义才有意义，所以判断函数的奇偶性，必须先考虑定义域是否关于
原点对称；
⒉奇偶函数的定义公式是判断奇偶函数的依据，有时需将原式变形，化为等价形式：
f(-x)=-f(x)f(-x)+f(x)=0f(-x)/f(x)=-1(f(x)≠0)；f(-x)=f(x)f(-x)-f(x)=0f(-x)/f(x)=1(f(x)≠0).
四、布置作业
(一)复习：课本内容，熟悉巩固有关概念和方法.
(三)思考题：设f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数，f(x+2)=-f(x)，当0≤x≤1时，f(x)=x，求f(7.5).
奇偶函数图象的性质
[教学目的]使学生掌握奇偶函数的性质定理，熟练解决函数单调性、奇偶性综合问题.
[重点难点]重点：奇偶函数图象的性质；难点：熟练解决函数单调性、奇偶性综合问题.
[教学过程]
一、复习引入
⒈复习：⑴什么叫奇函数？什么叫偶函数？⑵什么叫中心对称图形？什么叫轴对称图形？
⒉引入：我们已经知道，偶函数y=x2的图象关于y轴对称；奇函数y=x3的图象关于原点对
称.那么，这个结论对于一般的偶函数和奇函数是否仍然成立呢？我们说仍然成立.这就是
今天我们要学习的内容.
二、学习、讲解新课
⒈关于奇偶函数图象的性质定理
定理：⑴奇函数的图象关于原点对称，反过来，若一个函数的图象关于原点对称，则这个函
数是奇函数；
⑵偶函数的图象关于y轴对称，反过来，若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶
函数.
⒉奇偶函数图象性质定理的应用
⑴简化函数图象的画法
例1(已知函数y=f(x)是偶函数，它在y轴的右边的图象
⑵简捷解决函数单调性和奇偶性综合题
例2已知奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数，且最小值是5，那么f(x)在区间[-7,-3]上是()A.
增函数且最小值是-5；B.增函数且最大值是-5；
C.减函数且最小值是-5；D.减函数且最大值是-5.
⒊目标检测
⑴若f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，它们都在[a,b](0
数；g(x)在[-b,-a]上是函数.
②若f(x)=(m-1)x2+mx+3(x∈R)是偶函数，则f(x)的单调递增区间是.
三、小结
⒈奇偶函数图象的特征给我们提供了结合图象处理奇偶函数问题的依据；如何利用函数奇偶
性解决有关问题是我们应该熟练掌握的；
⒉有时可直接根据图象的对称性来判断函数的奇偶性；
⒊求函数中字母参数应满足什么条件能使函数成为奇函数或偶函数，是利用函数的奇偶性解
题的一种基本题型，求解方法是根据恒等式性质，利用待定系数法.
四、布置作业
(一)复习：课本和课堂上有关内容，熟悉巩固有关概念和方法.
(二)补充题：设f(x)是R上的偶函数，在区间（-∞，0）上递增，且有f(2a2+a+1) 求a的取值范围.范围是(0,3). (三)思考题：已知函数f(x)=(x2+1)/(bx+c)是奇函数，且f(1)=2.⑴求b,c的值，并求f(x)；⑵当 x>0时，讨论f(x)的单调性. 练习：下列函数中，奇函数的个数为： （1）（2） （3）（4） 5、6、 7、 8、9、 2、若函数是奇函数,则取值是: 3、若函数与的图象关于原点对称,则是: A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.不是奇函数又不是偶函数 4、已知函数的定义域为,且对定义域中的任一,均有,则是:A.奇函数B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数D.不是奇函数又不是偶函数 6.当时,满足,则是:A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.不是奇函数又不 是偶函数 7.若函数在上有最小值－5,则函数在上:A.有最大值5B.有最小值5C.有最大值3D. 有最大值9 8.如果函数对于任意的实数都有,则: A.B. C.D. 9.若奇函数满足,则的值是: A.0B.4C.－４Ｄ.不能确定 10.已知是偶函数,则函数的对称轴是: A.B.C.D. 11．已知定义在R上函数满足，，且不恒为0，则：A．是奇函数，不是周期函数B.是偶函 数,是周期函数 C.是偶函数,不是周期函数D.不是奇函数不是偶函数,但是周期函数 12.已知函数满足:,且方程恰好有4个根,则这四根之和是:A.2B.4C.6D.8 二、填空 1、设a.b.c∈Rf(x)=ax2+bx+c则f(x)是奇函数的条件 2、设a.b.c∈Rf(x)=ax2+bx+c则f(x)是偶函数的条件 3、已知函数f(x)=ax2+bx+c(a0)是偶函数，那么g(x)=ax3+bx2+cx是 A奇函数B偶函数C既奇且偶函数D非奇非偶函数 4、函数是R上的奇函数，g(x)是R上的偶函数，则F（x）=g(f(x))在R上为（）（填奇偶性） 5.已知是偶函数,且其定义域为,则__,____. 8、f(x)=sin(2x+θ)向左平移л/4后是偶函数，则θ= （或若f(x)=2cos(x+2θ)是偶函数则θ=） 9、f(x)是以2л为周期的奇函数，且f(-л/2)=-1,则f(5л/2)= 10、若f(x)=x2+lg(x+√1+x2)且f(2)=4.627则f(-2)= 11、设f(x)=asinx+bx+4(a.b∈R)若f(lg1/3)=5则f(lg3)= 12.是偶函数,它的最小正周期是3,且,则_____________. 13、已知f(x)=x5+ax3+bx-8,且f(-2)=10,那么f(2)= A-26B–18C-10D10 14、下列四个命题： 若函数满足，则的图象关于轴对称； 若函数满足，则的图象关于直线对称； 函数与的图象关于轴对称； 函数与的图象关于直线对称。 其中正确命题是_____________. 三、求函数的解析式 已知定义域R的函数f(x)的图象关于原点对称，且x＞0时f(x)=√x-x2+1，求x≦0时f(x)的 解析式 已知f(x)是奇函数，当x∈(0.1)时，f(x)=-lg(1+x)那么当x∈(-1.0)f(x)的表达式 设f(x)是定义在实数集R上的函数。满足f(x+2)=-f(x)且x∈﹝0.2﹞时f(x)=2x-x2求⑴x∈ ﹝0.2﹞时f(x)的解析式⑵证明f(x)是R上的奇函数 定义在R上的奇函数f(x)满足f(3+x)=f(3-x)若x∈(0.3)时解析式y=2x，则f(x)在(-6、-3)上 的解析式为 5、x∈Rf(x)是奇函数x＞0时求f(x)=√x-x2+1求x≦0函数的解析式13.是奇函数,且当时,, 当时,=________. 已知y=f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)=x2-2x,则f(x)在R上的表达式是Ay=x(x-2) By=x(|x|-1)Cy=|x|(x-2)Dy=x(|x|-2) 设f(x)是R上的奇函数，且当时f(x)=,那么当时，f(x)为___________ 8.已知是偶函数,且当时,,则当时,_________. 9、、函数f(x)的定义域为x≠0且2f(x)+f(1/x)=2则f(x)是（填奇偶性） 10.是奇函数,是偶函数,它们的定义域是,且满足,则_____________. 11.(1)已知，当为何值时，是奇函数？（2）若为奇函数，求实数的值。 四、奇偶性解不等式 已知函数f(x)是R上的奇函数，并且在R上是减函数，f(a)+f((a2)<0求a的范围 2、x∈R是f(x)偶函数f(x)在x<0上是增函数,若f(2a2+a-1) 知函数f(x)=(2x+a)/(2x+1)是奇函数⑴求f(x)的解析式;⑵求m∈R解关于x的不等式f-1(x) 已知f(x)是定义在(-1.1)上的偶函数，且在﹝0.1)上为增函数,若f(a-2)-f(4-a2)<0试求实数a的 取值范围 已知一次函数f(x)=(a2-1)x+3a2+3a+2⑴若fx)是减函数且f(1)<0求m的值⑵若f(x)是奇函数 求m 已知函数f(x)的定义域为﹝-1.1﹞且同时满足下列三条件⑴f(x)是奇函数;⑵在定义域上单调 递减;⑶f(1-a)+f((1-a2)<0;求a 函数定义域均为x≠0的实数，且f(x)是奇函数、g(x)是偶函数。当x<0时有f'(x)g(x)+f(x)g'x)＞ 0的解集为？ 五、求单调区间 已知f(logax)=x+x-1(a＞0且a≠1x＞0)试求函数f(x)的单调区间 求函数的最值：定义在R上函数f(x)同时满足条件⑴对任意x.y∈R有f(x+y)=f(x)+f(y)⑵x ＞0时f(x)<0且f(1)=-2求x∈﹝-3、3﹞上的最值⑶ b1/2f(b2x)-f(b) 证明函数的奇偶性： ⑴已知f(x+y)=f(x)+f(y)对任意x∈Ry∈R都成立，求证f(x)是奇函数. ⑵已知f(x)对任意的x∈R.y∈R，满足f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)且f(0)≠0，求证f(x)是偶函数 3、设函数y=f(x)(x∈R且x≠0)对任意非零实数均满足求证f(x)是偶函数 4、设函数f(x)的定义域关于原点对称，且满足1、f(x1-x2)=(f(x1)f(x2)+1)/(f(x1)-f(x2))2、存在 正常数a使f(a)=1试判断f(x)的奇偶性和周期性(4a) 定义在R上的函数是奇函数，f(x)是偶函数且满足条件⑴f(1)=a⑵g(x)=f(x-1)求f(2001)