高数习题
英语书信作文-存销比
2023年2月20日发(作者：对称分量法)函数、极限与连续练习题
一、单选题
1、当0x时，sinxx是比2x（）。
A、较低阶的无穷小B、较高阶的无穷小
C、等价的无穷小D、同阶但非等价无穷小
2、下列等式成立的是（）。
A、
2
0
sin
lim1
x
x
x
B、
2
0
sin
lim1
x
x
x
C、
0
sin
lim1
x
x
x
D、
sin
lim1
x
x
x
3、函数1arctanyx是（）
A、单调增加且有界函数B、单调减少且有界函数
C、奇函数D、偶函数
4、当0x时，2tanx与x比较是（）。
A、等价无穷小B、同阶无穷小
C、较高阶的无穷小D、较低阶无穷小
5、设
31
1
x
y
x
，则1x是函数y的
A、连续点B、可去间断点C、跳跃间断点D、无穷间断点
6、当0x时，2sinxx与x比较是（）。
A、较高阶的无穷小B、较低阶无穷小
C、等价无穷小D、同阶无穷小
7、当0x时，
11axx
是无穷小量，则（）
A、
a
是比2x高阶的无穷小B、
a
是比2x低阶的无穷小
C、
a
与2x是同阶但不等价的无穷小D、
a
与2x是等价的无穷小
8、函数
2ln1,yxxxxR是（）。
A、偶函数B、奇函数C、非奇非偶函数D、不能确定
9、已知当0x时，1
2
311ax与cos1x是等价无穷小，则
a
的值为（）。
A、
3
2
B、
3
2
C、1D、
1
4
10、若
0
lim
xx
fx
存在，则（）。
A、fx有界B、fx在
0
x的某空心邻域内有界
C、fx无界D、fx在
0
x点有定义
11、函数
xx
xx
ee
y
ee
的反函数是（）。
A、
2ln1,yyyRB、
11
ln,
21
y
yR
y
C、
11
ln1ln1,1,1
22
yyyD、,
yy
yy
ee
yR
ee
12、函数2
21
16arcsin
7
x
yx
的定义域为（）。
A、2,3B、3,4C、4,4D、4,3
13、点0x是函数
1
xye的（）。
A、连续点B、可去间断点C、跳跃间断点D、第二类间断点
二、填空题
1、设函数
2
,0
,0
xex
fx
axbx
，在0x处连续，则b。
2、2
0
lim1sinx
x
x
。
3、
1
lim
x
x
x
x
。
4、函数
ln3
1
x
y
x
的定义域为。
5、
2
2
sin2
lim
4x
x
x
。
6、
3
1
1
lim
1x
x
x
。
7、已知
,40
2,02
424
xx
fxx
xx
，则3.5ff
=。
8、函数
11
arcsin1lg
21
x
yx
x
的定义域为。
9、2
sin
0
lim13x
x
x
。
10、已知
43
3
12
lim2
1x
axbx
xx
，则a，b。
11、函数1ln21fxx的反函数1fx=。
12、函数
2
1
ln
fx
x
的第一类间断点为。
13、函数2
sin
1
x
x
ye
xx
的连续区间是。
14、2
0
sin
lim
1x
x
xx
xe
。
15、函数
2
1
1ln
fx
x
的第二类间断点为。
16、
2352
limsin
56x
x
xx
。
17、设,0xfexx，则fx。
18、设函数
1,1
0,1
x
fx
x
，则sinfx。
19、2135fxxx，则1fx=。
20、设
2
arcsin1
1
x
fx
x
，则1x点是fx的间断点。
21、
2
1
2
lim
11x
x
xx
。
三、计算题
1、计算
3
1
31
lim
11xxx
。2、求极限
11
lim
1
x
x
x
x
。
3、求
2
2
21
lim
42x
xx
x
的值。4、求极限
sin
3
0
lim
xx
x
ee
x
。
5、求
arctan
2
lim
1x
x
x
的值。6、计算3
0
arctan
lim
ln1x
xx
x
。
7、求
3
32
1
32
lim
1x
xx
xxx
。8、求csc
0
lim1sinx
x
x
的值。
9、计算7
0
1
lim1cos
8sin3
xx
x
x
ee
e
xx
。10、求
22
0
11
lim
sinxxx
。
11、求
222
12
lim...
111n
n
nnn
的值。12、求
4
123
lim
2x
x
x
。
13、求
2
2
21
lim
42x
xx
x
。14、求
0
ln12
lim
131x
x
x
的值。
导数与微分练习题
一、单选题
1、两曲线
1
y
x
与2yaxb在点
1
2,
2
处相切，则正确的是（）。
A、
13
,
164
abB、
11
,
164
abC、
7
1,
2
abD、
7
1,
2
ab
2、设
1
x
是fx的一个原函数，则fx
=（）。
A、
2
1
x
B、
3
1
x
C、
3
2
x
D、lnx
3、设fx
在点
0
x的某个邻域内存在，且
0
fx为fx的极大值，
00
0
2
lim
h
fxhfx
h
=（）。
A、0B、1C、2D、2
4、设曲线
2
1
1
y
x
在点M处的切线平行于
x
轴，则点M的坐标为（）。
A、
1
1,
2
B、
1
1,
2
C、0,1D、0,1
5、设fx在点
0
xx处可导，且
0
2fx
，则
00
0
lim
h
fxhfx
h
（）。
A、
1
2
B、2C、
1
2
D、2
6、设曲线22yxx在点M处的切线斜率未3，则点M的坐标为（）。
A、1,0B、1,0C、2,4D、2,0
7、设2yfx，则y
（）。
A、2fx
B、2fx
C、22fx
D、22fx
8、设lnsinfxx，则dy（）。
A、
1
sin
dx
x
B、cotxdxC、cotxdxD、tanxdx
9、设3
2
2
,1
3
,1
xx
fx
xx
，则fx在1x处的（）。
A、左、右导数都存在B、左导数存在，但右导数不存在
C、左导数不存在，但右导数存在D、左、右导数都不存在
10、设arctanxfxe，则fx
=（）．
A、
21
x
x
e
e
B、
2
1
1xe
C、
2
1
1xe
D、
21
x
x
e
e
11、32
11
61
32
fxxxx的图形在点0,1处的切线与x轴交点坐标是（）。
A、
1
,0
6
B、1,0C、
1
,0
6
D、1,0
12、设yyx由方程
2xyxy确定，则
0x
dy
=（）。
A、ln2dxB、ln21dxC、dxD、5dx
13、设fx为可导函数且满足
0
11
lim1
2x
ffx
x
，则曲线yfx在点1,1f处的切线斜率
为（）
A、2B、1C、
1
2
D、2
14、已知
2
2
2
1
1
2
1
t
x
t
t
y
t
，则
dy
dx
（）。
A、
21
2
t
t
B、
21
2
t
t
C、
21
2
x
x
D、
21
2
x
x
15、若)(xf为),(ll内的可导奇函数，则)(xf
（）
A、必为),(ll内的奇函数B、必为),(ll内的偶函数
C、必为),(ll内的非奇非偶函数D、可能为奇函数，也可能为偶函数
16、设
12
,FxFx是,ab上连续函数fx的两个原函数，且0fx，则在,ab上必有：（）
（c为常数）。
A、
12
FxFxcB、
12
FxFxc
C、
12
FxcFxD、
12
FxFxc
17、设3tan2yx，则y
（）。
A、26sec2xB、226tan2sec2xxC、243sin2cos2xxD、6tan2x
18、函数fx在
0
xx处的导数
0
fx
可定义为（）。
A、
2
0
0
fxfx
xx
B、
0
lim
x
fxxfx
x
V
V
V
C、
0
0
lim
x
fxf
x
V
D、
00
0
lim
2x
fxxfxx
x
V
VV
V
19、过曲线xyxe的点0,1处的切线方程为（）。
A、12yxB、21yxC、23yxD、1yx
20、设函数yfx由参数方程
5
3
t
t
xe
ye
确定，则
dy
dx
（）。
A、2
3
5
teB、
3
5
teC、
3
5
teD、2
3
5
te
21、若
0
20
1
lim
2x
fxf
x
，则0f
（）。
A、4B、2C、
1
2
D、
1
4
22、若
1,
1,3
)(
2
xbax
xx
xf
在1x处可导，则（）。
A、
2,2ba
B、
2,2ba
C、
2,2ba
D、
2,2ba
二、填空题
1、若函数fx的一个原函数是sinxex，则fx
。
2、曲线arctan2yx在点0,0处的法线方程为。
3、2cosyx，则y
。
4、设lnfxyfxe，其中f可微，则dy。
5、曲线
11
2
yx
x
在点2,0处的切线方程为。
6、曲线343yxx在点2,6处的法线方程为。
7、已知函数
1
x
fx
x
，gxffx
，则gx
。
8、3ln,(0)yxxx，则
4y=。
9、函数3fxx上点处切线斜率为3。
10、设ln13xy，则dy。
11、设函数3fxxax与2gxbxc都通过点1,0且在点1,0有公切线，则
a
，b，
c
。
12、设2lnlnyx，则dy。
13、设2sinyfx，f为可导函数，则
dy
dx
。
三、计算题
1、求2arctanln1yxxx的导数y
。
2、求
sinyxx
的导数y
。
3、求lncosxye，求
dy
dx
。
4、求与抛物线225yxx上连接两点
(1,4)P
与
(3,8)Q
的弦平行，且与抛物线相切的直线方程。
5、求由参量方程
3
3
cos
,
sin
xat
yat
所确定的函数的一阶导数
dy
dx
和二阶导数
2
2
dy
dx
。
6、设
(1)
t
t
xte
yet
，求
2
2
dx
yd
。
7、求幂指函数)0(xxyx的导数。
8、已知
x
y
yxarctan)ln(22，求y
。
9、已知函数
54)(23bxaxxxf的图像在1x处的切线方程为xy12，且12)1(f，①求
函数()fx的解析式；②求函数()fx在[-3，1]上的最值。
10、已知函数32()fxxbxcxd的图像过点P（0，2），且在点M（-1，)1(f）处的切线方程为
076yx。①求函数)(xfy的解析式；②求函数)(xfy的单调区间。
导数的应用练习题
一、单选题
1、函数yfx点
0
x处取得极大值，则必有（）。
A、
00
0,0fxfx
B、
0
0fx
C、
00
0,0fxfx
D、
00
0fxfx
且不存在
2、若fx在,ab内二阶可导，且
00
0,0fxfx
，则fx在,ab内（）。
A、单调增加且是凸的B、单调增加且是凹的
C、单调减少且是凸的D、单调减少且是凹的
3、曲线xfxe在（）。
A、在,2上曲线为凹的，在2,上曲线是凸的；
B、在,2上曲线为凸的，在2,上曲线是凹的；
C、在,上曲线为凸的；
D、在,上曲线为凹的。
4、曲线xfxex在区间0,内是（）。
A、单调增加且是凹的B、单调增加且是凸的
C、单调减少且是凹的D、单调减少且是凸的
5、方程10xex（）。
A、没有实根B、有且仅有一个实根
C、有且共有两个不同的实根D、由三个不同的实根
6、下列函数中，在1,1上满足罗尔定理条件的是（）。
A、2lnxB、xC、cosxD、
2
1
1x
7、曲线2213yxx的拐点个数是（）。
A、0B、1C、2D、3
8、设121fxxx
，,x，则在区间
1
,1
2
内，fx单调（）。
A、增加，曲线是凹的B、减少，曲线是凹的
C、增加，曲线是凸的D、减少，曲线是凸的
9、设函数fx在0x的某邻域内可导，且
0
1
00,lim
sin2x
fx
f
x
，则（）。
A、0f是fx的一个极大值B、0f是fx的一个极小值
C、0f
是fx的一个极大值D、0f
是fx的一个极小值
10、)3)(2)(1()(xxxxf，则方程0)(
xf（）
A、仅有一个实根B、有两个实根C、有三个实根D、无实根
11、函数32
1
39
3
fxxxx在区间0,4上哪一点处的值最大（）。
A、4B、0C、2D、3
二、填空题
1、函数sinfxxx在区间0,上。（填单调递增或递减）
2、函数32391fxxxx在[]2,6上的最大值是。
3、求函数3223121yxxx的单调递增区间是。
4、曲线5335yxx有个拐点。
5、求3226187,1,4yxxxx的最大值点。
6、曲线
2xyx的凸区间为。
7、求2cosyxx在区间0,
2
上的最大值是。
8、已知曲线yfx上任意点的切线斜率为2336xx，且当1x时，
11
2
y是极大值，则
fx。
三、计算题
1、求函数ln1yxx的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间。
2、一房地产公司有50套公寓要出租，当月租金定位2000元时，公寓会全部租出去，当月租金每增加100
元时，就会多一套公寓租不出去，而租出去的公寓每套每月需花费200元的维修费，试问租金定位多少时，
可获得最大收入？最大收入是多少？
3、已知函数
3
21
x
y
x
，求
（1）函数的增减区间和极值；
（2）函数图形的凹凸区间及拐点；
（3）函数图形的渐近线。
4、求函数
21
x
y
x
的单调区间、极值、凹凸区间和拐点。
5、求函数2
31fxxx的单调区间与极值点。
6、求函数3221fxxxx在0,2上的极值，最大值、最小值。
7、（经济管理类的做）某商品的需求函数为275ZZPP，（P为价格）
（1）求4P的边际意义；
（2）4P时需求价格的弹性的经济意义；
（3）当P为多少时，总收益最大？最大值是多少？
四、证明题
1、设0ab，求证：ln
abaab
abb
。
2、证明：设1x，求证：2
21ln1xxx。
3、试证明：对任意自然数1n，方程11nnxxxL在
1
,1
2
内有唯一实根。
4、试证明：当1x时，
2
2
ln1
1
x
xx
x
。
5、设()fx在0,1连续，在0,1可导，且010ff，
1
1
2
f
。
求证：存在0,1，使1f
。