范德瓦尔斯力

范德瓦尔斯力

钩虫卵-过渡语

2023年2月20日发(作者：12313)

第三章固体的结合

一、基本要求

1、掌握晶体结合能的概念；晶体内能与原子间作用力的一般特点及其与晶格常数、体弹性

模量、抗张强度的关系。

2、掌握晶体结合的基本类型及相应晶体的基本性质；各种结合类型结合能的表示。

3、熟悉原子的负电性以及元素和化合物晶体结合的规律性。

二、基本概念

晶体结合能，电负性，电离能，亲和能，离子晶体，离子性结合，共价晶体，共价结合，成

键态，反键态，轨道杂化，极性键，非极性键，金属，金属键，分子晶体，分子性结合，氢

键晶体，氢键。

三、重点、难点

晶体结合能与内能的关系，互作用势能的关系，由晶体结合能得到的物理常数，成键态，反

键态，五种晶体结合类型与其性质

四、本章构架

1.定义：分散的原子（离子或分子）在结合成稳定晶体的过程中，所释放出来的能量，称为

晶体的结合能

2.内能：如果以组成晶体的N个原子处于自由状态的能量作为能量的零点，则－Eb就是晶体

的内能。(当动能=0时，内能=势能=Eb=EN-E0

3.互作用力与互作用势：

4.结合能的一般形式

两个原子之间的互作用势能：

晶体的总的相互作用势：

（j≠1j=2,3,…N）

（式中r代表最近邻的两原子间的距离。）

5.由U(r)可求出晶体的某些物理常数

（1）晶格常数：令，求得

0

r即为晶格常熟

（2）体弹性模量：当对晶体施加一定压强时，晶体体积有所改变，这种

性质用压缩系数（K）或体弹性模量（k）来描述。

K=

（在T＝0时，晶体的平衡体积为V0，则）

（3）抗张强度：晶体所能承受的最大张力即为抗张强度。

(1)离子键：异性离子间的互作用力称为离子键。

(2)离子性结合：当电离能较小的容易放出最外层的电子而成正离

子金属原子与电子亲合能较大的容易接受前者放出的电子而变成

负离子非金属原子相互接近时，出现正、负离子间的库仑作用，

从而结合在一起。

(3)离子性结合的特点：

a.以离子为结合单元，靠正负离子之间的库仑引力作用

结合成晶体。

b.离子晶体中正、负离子是相间排列的，使异号离子之

间的吸引作用强于同号离子之间的排斥作用，库仑作用

的总效果是吸引的，晶体势能可达到最低值而使晶体稳

定。

c.由于正、负离子的相对大小的差异，其结构形式和配

位数也有所差异。

(4)离子晶体:靠离子性结合的晶体称为离子晶体或极性晶体。

(5)离子晶体的特点：

a.离子晶体主要依靠较强的库仑引力而结合，故结构很稳定，结合

能很大，这导致了离子晶体熔点高、硬度大、膨胀系数小。

b.由于离子的满壳层结构，使得这种晶体的电子导电性差，但在高

温下可发生离子导电，电导率随温度升高而加大。

dr

rdu

rf

)(

)(

nmr

B

r

A

ru)(







N

j

j

ru

N

rU

2

1

)(

2

)(

0|

)(

0







rrr

rU

)(

1

2

2

V

U

V









0

)(

2

2

00VV

U

VK







m

VVV

rU

PmPm





)

)(

(||

能

合

结

的

体

晶

一、

合

结

性

子

离

c.离子晶体的构成粒子是带电的离子，这种特点使该种晶体易于产生

宏观极化，与电磁波作用强烈。大多数离子晶体对可见光是透明的，

在远红外区有一特征吸收峰。

(6)离子晶体的结合能（以NaCl晶体为例。）

a.库仑能

一个离子的平均库仑能为：

一对离子或一个原胞的能量为：

r

q

nnn

r

qnnn

nnn

0

2

2/1

2

3

2

2

2

1

'

0

2

4

)(

)1(

4

321

321













(其中，α称为马德龙常数。)

b.排斥能

每对离子的平均排斥能为6b/rn

c.系统的内能

d.由内能函数可以确定离子晶体的某些物理常数

(a)对于平衡晶体，体弹性模量为

(b).结合能为

（1）共价结合：对电子束缚能力相同或相近的两个原子，彼此靠

近时，各自贡献一个电子，为两个原子共有，使其结合在一

起，这种结合称为共价结合。

（2）共价键：能把两个原子结合在一起的一对为两个原子共有的

自旋相反配对的电子结构，称为共价键

（3）共价结合的特征

饱和性：指一个原子只能形成一定数目的共价键

方向性：指原子只在特定的方向上形成共价键。

（4）共价晶体:以共价结合的晶体称为共价晶体。

（5）共价晶体的特点是：熔点高，硬度高，低温导电性差。

（6）成键态和反键态

成键态：电子云密集在两个原子核之间，同时受到两个原子

核的库仑吸引作用，使成键态能量低于原子能级。成键

态上可以填充正、反自旋的两个电子，这两个电子形成

所谓的共价键。

反键态：能量高于原子能级。

（7）轨道杂化：能量低状态跃迁到高能态，增加未配对的电子，产

生更多的共价键，使晶体更稳定。

（8）极性键与非极性键

2/12

2

3

2

2

2

2

2

10

2

'

)(4

)1(

2

1321

321

rnrnrn

qnnn

nnn





][]

6

4

[

0

2

nnr

B

r

A

N

r

b

r

q

NU





4

00

2

184

)1(

r

qn

K











)

1

1(

4

)

1

1(

4

)(

00

2

00

0nr

qN

nr

NA

rUW







合

结

的

体

固

型

类

合

结

的

体

晶

二、

合

结

价

共

非极性键：电负性相同的同种元素原子间形成共价键时，由于对电

子的吸引力相同，成键后的配对电子密度主要出现在两原子的

中间，电子在各个原子处出现的几率（概率）相同，因此两个

原子间不会有偶极矩产生。故称这种共价键为非极性键。

极性键：不同元素的原子间形成共价键时，由于两个原子的电负性

不相同，它们对电子的吸引力不相同，成键后的配对电子密度

偏向电负性大的原子一边，电子在电负性比较大的原子一方的

出现概率大。这种共价键常伴有电偶极矩的出现，称为极性键。

（9）电离度

PA、PB分别表示电子在原子A和原子B上的几率。显然，对于

完全共价结合（λ＝1），fi＝0；对于完全离子结合（λ＝0），

fi＝1。当结合性质为部分离子、部分共价时，fi介于0与1之

间。fi数值越大，表明离子性越强。

（1）金属性结合：原子在结合成晶体时，原来分属各自原子

的价电子不再束缚于其本身，而为所有“原子实”所共有，于

是，共有化电子形成的电子云和浸在这个负电子云中的带正电

的原子实之间出现库仑作用，原子越紧密，势能越低，从而把

原子聚合在一起。这样的结合称为金属性结合。

（2）金属键：以原子实和电子云之间的库仑力为结合力，称为

金属键

（3）金属性结合的特点：电子的“共有化”

（4）金属晶体：当原子间距达到某一值时，排斥力等于库仑

引力，达到平衡，形成晶体，即金属晶体

（5）金属晶体的性质

a.金属性结合是一种较强的结合，结合能约为105～106焦耳／

摩尔，并且由于配位数较高，所以金属一般具有稳定、密度大、

熔点高的特点。

b.由于金属中价电子的共有化，所以金属的导电、导热

性能好，具有光泽。

c.金属结合是一种体积效应，对原子排列没有特殊要

求，故在外力作用下容易造成原子排列的不规则性及重新排列，

从而表现出很大的范性及延展性，容易进行机械加工。

(1)分子性结合：对原来就具有稳定电子结构的分子，例如，具

有满壳层结构的惰性气体分子，或价电子已用于形成共价键

的饱和分子，它们在结合时，基本上保持原来的电子结构。

它们的结合，是由于分子间的范德瓦尔斯力的作用，称为范

德瓦尔斯结合，也称为分子性结合

(2)分子键：这种结合的单元是分子，它们之间的范德瓦尔斯力，

即分子力，称为范德瓦尔斯键，或分子键

2

2

1

1

















BA

BA

ipp

pp

f

合

结

性

属

金

合

结

性

子

分

(3)分子力来源:是原子中电荷涨落产生的瞬时电偶极矩所导

致的吸引相互作用。

(4)雷纳德－琼斯势

])()[(4)(612

rr

ru





(其中ε和σ是新的参数，是令4εσ6＝A，4εσ12＝B而引

入的。)

（1）氢键:由于氢原子的独特情况，有些氢的化合物晶体中呈现

独特的结构，即氢原子可以同时和两个电负性很大而原子

半径很小的原子相结合。这种特殊的结合称为氢键

（2）氢键晶体性质：熔点和沸点介于离子晶体和分子晶体之间，

密度小，有许多分子聚合的趋势，介电系数大。

（1）电离能

定义：使基态原子失去一个电子所必需的能量称为原子的电离能。

（从原子中移去第一个电子所需要的能量称为第一电离能。

从＋1价离子中再移去一个电子所需要的能量为第二电离能。

由于形成+1价正离子后，核电场对电子的有效吸引加强和离子半径变小，

所以第二电离能一定大于第一电离能。）

概念：电离能的大小可以衡量原子对价电子的束缚强弱。

变化趋势：在一个周期内从左到右，电离能不断增加。

（2）亲和能：

定义：一个基态中性原子获得一个电子成为负离子时所放出的能量，称为亲

和能。

概念：亲和能的大小衡量原子俘获外来电子的能力。

变化趋势：电子亲和能一般随原子半径的减小而增大。

（3）原子负电性：

穆力肯定义：负电性＝0.18（电离能＋亲合能）

概念：原子负电性是用来标志原子得失电子能力的物理量，综合表示原子对

电子束缚能力的强弱

（4）变化趋势：a．在同一周期内，负电性从左到右逐渐增强；

b．在同一族内，负电性从上到下逐渐减小；

c．周期表中越靠下，同一周期内负电性的差别越小。

d．泡林与穆力肯所定义的电负性相当接近。

（5）元素和化合物晶体结合的规律性

a．当负电性较小的同种原子结合成晶体时，因价电子容易脱离原子，故

形成金属晶体。

b．负电性较大的同种原子结合成晶体时，常形成共价键。

c。Ⅷ族元素（惰性元素）只能依靠分子键构成分子晶体。

d．当两种不同性质的原子相互结合时，如果两种原子的负电性相差很大，

则形成离子晶体；如果两种原子的负电性都比较小，则形成合金；如

果两种原子的负电性都比较大，则形成共价键。

体

晶

键

氢

性

负

电

的

子

原

三、

五、基本内容

3-1晶体结合能与结合力的一般性质

1、晶体的结合能

◆定义：分散的原子（离子或分子）在结合成稳定晶体的过程中，所释放出来的能量，称

为晶体的结合能。

◆晶体的内能：

如果以组成晶体的N个原子处于自由状态的能量作为能量的零点，则－E

b

就是晶体的内能

内能与体积关系：

由于原子间的力与距离有关，所以当晶体的体积变化时，晶体的内能也要发生变化，即晶

体的内能是体积的函数。

◆互作用的分类

晶体中原子（粒子）之间的相互作用可分为两大类型：

吸引作用——在远距离是主要的

排斥作用——在近距离是主要的

在某一适当的距离，两种作用相互抵消，使晶格处于稳定状态。

◆互作用的原因

吸引作用是由于电荷之间的库仑引力；

排斥作用的来源有两个方面：一方面是同性电荷之间的库仑力斥力，另一方面是泡利

原理所引起的排斥力。

两个原子的互作用势能u(r)的曲线如图（1）所示。

互作用力如图（2）所示。

◆由势能u(r)可以计算原子之间的互作用力

由图（2）可以看出：当两原子之间的距离无穷远时，能量为零，作用力为零；

当两原子逐渐靠近时，能量为负且绝对值逐渐增大，原子间产生吸引力；

当原子间距很小时，作用力成为排斥力。并且力的大小及能量u都随着r的进一步减小

而急剧上升。

◆两个原子之间的互作用势

两个原子之间的互作用势能常可用幂函数来表示：

◆由晶体的结合能所得到的物理常量

()

()

dur

fr

dr



()

mn

AB

ur

rr



晶格常数

当粒子结合成稳定的晶体时，势能U(r)应处于极小值。因而由U(r)的极小值的条件

可求出晶格常数r

0

，即晶体中粒子之间的最小距离。

体弹性模量

定义

抗张强度

3-2原子的电负性

1、电离能

定义：使基态原子失去一个电子所需的能量称为原子的电离能。

第一电离能：从原子中移去第一个电子所需要的能量。

第二电离能：从＋1价离子中再移去一个电子所需要的能量为。

（由于形成+1价正离子后，核电场对电子的有效吸引加强和离子半径变小，所以第二

电离能一定大于第一电离能。）

物理意义：电离能的大小可以衡量原子对价电子的束缚强弱。

变化趋势：在一个周期内从左到右，电离能不断增加。

变化趋势：在一个周期内从左到右，电离能不断增加。

2、原子负电性：

穆力肯定义：负电性＝0.18（电离能＋亲合能）

物理意义：原子负电性是用来标志原子得失电子能力的物理量，综合表示原子对电子束缚能

力的强弱。

变化趋势：

（1）在同一周期内，负电性从左到右逐渐增强；

（2）在同一族内，负电性从上到下逐渐减小；

（3）周期表中越靠下，同一周期内负电性的差别越小。

（4）泡林与穆力肯所定义的电负性相当接近。

3-3离子性结合

离子键：异性离子间的互作用力称为离子键。

离子性结合：当电离能较小的容易放出最外层的电子而成正离子金属原子与电子亲合能较大

0

()

|0

rr

Ur

r







1

()

T

V

VP









()

||()

m

VV

Ur

PmPm

V







的容易接受前者放出的电子而变成负离子非金属原子相互接近时，出现正、负离子间的库仑

作用，从而结合在一起。

离子性结合的特点：

（1）以离子为结合单元，靠正负离子之间的库仑引力作用结合成晶体。

（2）离子晶体中正、负离子是相间排列的，使异号离子之间的吸引作用强于同号离子

之间的排斥作用，库仑作用的总效果是吸引的，晶体势能可达到最低值而使晶体

稳定。

（3）由于正、负离子的相对大小的差异，其结构形式和配位数也有所差异。

离子晶体:靠离子性结合的晶体称为离子晶体或极性晶体。

离子晶体的特点：

（1）离子晶体主要依靠较强的库仑引力而结合，故结构很稳定，结合能很大，这导致了离

子晶体熔点高、硬度大、膨胀系数小。

离子晶体的特点

（2）由于离子的满壳层结构，使得这种晶体的电子导电性差，但在高温下可发生离子导电，

电导率随温度升高而加大。

（3）离子晶体的构成粒子是带电的离子，这种特点使该种晶体易于产生宏观极化，与电磁

波作用强烈。大多数离子晶体对可见光是透明的，在远红外区有一特征吸收峰。

离子晶体的结合能（以NaCl晶体为例。）

（1）库仑能

一个离子的平均库仑能为：

一对离子或原胞的能量为：

其中，α称为马德龙常数。

（2）排斥能

每对离子的平均排斥能为6b/rn

（3）系统的内能

（4）由内能函数可以确定离子晶体的某些物理常数

a.对于平衡晶体，体弹性模量为

b.结合能为

B=6b

其中

2

0

4

q

A







2/12

2

3

2

2

2

2

2

10

2

'

)(4

)1(

2

1321

321

rnrnrn

qnnn

nnn





r

q

nnn

r

qnnn

nnn

0

2

2/1

2

3

2

2

2

1

'

0

2

4

)(

)1(

4

321

321













2

0

6

[][]

4nn

qbAB

UNN

rrrr







2

4

00

(1)

418

nq

K

r











)

1

1(

4

)

1

1(

4

)(

00

2

00

0nr

qN

nr

NA

rUW







3-4共价晶体

(1)共价晶体及其特点

共价晶体:共价结合的晶体

共价晶体的特点是：熔点高，硬度高，低温导电性差。

(2)共价结合和共价键

对电子束缚能力相同或相近的两个原子，彼此靠近时，各自贡献一个电子，为两个原子

共有，使其结合在一起，这种结合称为共价结合。

能把两个原子结合在一起的一对为两个原子共有的自旋相反配对的电子结构，称为共价

键

(3)成键态和反键态

成键态：电子云密集在两个原子核之间，同时受到两个原子核的库仑吸引作用，使成

键态能量低于原子能级。成键态上可以填充正、反自旋的两个电子，这两个电子形成所谓的

共价键。

反键态：能量高于原子能级。

(4)共价结合的特征

两个基本特征：饱和性和方向性。

饱和性：指一个原子只能形成一定数目的共价键。

由泡利不相容原理，当原子中的电子一旦配对后，便不能再与第三个电子配对。因此当

一个原子与其它原子结合时，能够结合成共价键的数目有一个最大值，这个最大值取决于它

所含的未配对的电子数。这个特性称为共价键的饱和性。

共价键的数目符合所谓的8－N定则*，N指价电子数。(8－N定则：共价结合时，原子

的价电子的壳层是由一个ns轨道和3个np轨道组成，考虑到电子的两种自旋，

共包含8个量子态，价电子壳层为半满或超过半满时，未配对的电子数实际上确

定于未填充的量子态，因此等于8－N。)

方向性：指原子只在特定的方向上形成共价键。

当两原子未配对的自旋相反的电子结合成共价键后，电子云就会发生交叠，而

且共价键结合得越紧密，相应的电子云交叠的也越厉害。

物理本质:两原子在以共价键结合时，必定选取尽可能使其电子云密度为最大的方位，也

就是电子的波函数为最大的方向。

能量

反键态能级

成键态能级

(5)轨道杂化

金刚石的sp3杂化。

碳原子有6个电子，基态1s和2s填充了4个电子，余下的2个填充在2p态，这时只

有两个未配对的电子；要形成4个共价键，则要把2s态的两个电子波函数与2p态的电子波

函数组成4个新的电子状态，使这四个电子都成为未配对的电子，可以形成共价键。

碳原子的杂化轨道

4个电子分别占据一个新轨道，在四面体顶角方向形成四个共价键，这就是所谓的轨道杂化，

也称为sp3杂化。

杂化轨道需要一定的能量，但杂化后成键数目增多，成键能力增强，形成共价键时能

量的下降足以补偿轨道杂化的能量。

(6)极性键与非极性键

非极性键：电负性相同的同种元素原子间形成共价键时，由于对电子的吸引力相同，成

键后的配对电子密度主要出现在两原子的中间，电子在各个原子处出现的几率（概率）相同，

因此两个原子间不会有偶极矩产生。故称这种共价键为非极性键。

极性键：不同元素的原子间形成共价键时，由于两个原子的电负性不相同，它们对电子

的吸引力不相同，成键后的配对电子密度偏向电负性大的原子一边，电子在电负性比较大的

原子一方的出现概率大。这种共价键常伴有电偶极矩的出现，称为极性键。

(7)电离度

共价结合中离子性的成分可以用电离度fi来描述：

卡森定义方式：

P

A、P

B

分别表示电子在原子A和原子B上的几率。显然，对于完全共价结合（λ＝1），

f

i＝0；对于完全离子结合（λ＝0），f

i＝1。当结合性质为部分离子、部分共价时，f

i

介于0

与1之间。f

i

数值越大，表明离子性越强。

3-5金属、分子晶体以及氢键晶体

一、金属

1、金属性结合与金属键

2

2

1

1

















BA

BA

ipp

pp

f

金属性结合：基本特点——电子的“共有化”

原子在结合成晶体时，原来分属各自原子的价电子不再束缚于其本身，而为所有“原

子实”所共有，于是，共有化电子形成的电子云和浸在这个负电子云中的带正电的原子

实之间出现库仑作用，原子越紧密，势能越低，从而把原子聚合在一起。这样的结合称

为金属性结合。

金属键:以原子实和电子云之间的库仑力为结合力，称为金属键

2、金属晶体的形成过程

在金属性结合时，一方面有负电子云和带正电的原子实之间的库仑作用，使其排列紧密；

另一方面，由于距离的不断减小，还会出现排斥作用，其来源有二：一是共有化电子云

密度增加的同时，动能也将增加（动能正比于电子云密度的三分之二次方），二是当原子实

相互靠近到它们的电子云发生显著交叠时，也将产生强烈的排斥作用。

当原子间距达到某一值时，排斥力等于库仑引力，达到平衡，形成晶体，即金属晶

体。

3、金属晶体的性质

（1）金属性结合是一种较强的结合，结合能约为105～106焦耳／摩尔，并且由于配

位数较高，所以金属一般具有稳定、密度大、熔点高的特点。

（2）由于金属中价电子的共有化，所以金属的导电、导热性能好，具有光泽。

（3）金属结合是一种体积效应，对原子排列没有特殊要求，故在外力作用下容易造成

原子排列的不规则性及重新排列，从而表现出很大的范性及延展性，容易进行机

械加工。

二、分子晶体

1、分子性结合与分子键

分子性结合：对原来就具有稳定电子结构的分子，例如，具有满壳层结构的惰性气体分

子，或价电子已用于形成共价键的饱和分子，它们在结合时，基本上保持

原来的电子结构。它们的结合，是由于分子间的范德瓦尔斯力的作用，称

为范德瓦尔斯结合，也称为分子性结合。

分子键：这种结合的单元是分子，它们之间的范德瓦尔斯力，即分子力，称为范德瓦尔

斯键，或分子键。

2、分子力的来源

分子力来源于分子的电偶极矩。

对于电子云是球对称分布的惰性气体原子，原子的平均电偶极矩为零，但在某一瞬时，由

于核周围电子运动的涨落，可以有瞬时电偶极矩。设原子1的瞬时电偶极矩为p1，在距

离r处产生的电场E正比于p1/r3。在这个电场作用下，另一原子（原子2）被极化，感

生电偶极矩为

其中α是原子的极化率。两个偶极矩之间的作用能为

这就是范德瓦耳斯力的来源，是原子中电荷涨落产生的瞬时电偶极矩所导致的吸引相互作

用。

3、雷纳德－琼斯势

靠范德瓦耳斯相互作用结合的两个原子的相互作用能，可以写成

2

121

36

ppp

rr





1

2

3

p

pE

r





其中B/r12表示重叠排斥作用，这种形式可以满

意地解释有关惰性气体的实验数据。A、B是经验参数，都是正数。

称为雷纳德－琼斯势。其中ε和σ是新的参数，是令

4εσ6＝A，4εσ12＝B而引入的。雷纳德－－琼斯势

惰性气体晶体的结合能就是晶体内所有原子对之间雷纳德－琼斯势之和。如果晶体内含有N

个原子，总的势能就是

1／2因子是考虑到互作用为两原子共有，r表示最近邻原子之间的距离，A

12

与A

6

是与

晶格结构有关的晶格求和常数。

由晶格的势能函数可以确定晶格常数、结合能以及体变模量。

4、分子晶体的性质

由于分子力而使原来具有稳定电子结构的分子而结合成的晶体，称为分子晶体。典型的

分子晶体有：Ⅷ族元素在低温下形成的晶体，大部分有机化合物晶体，以及CO

2

，SO

2

，HCl

等晶体。

分子晶体的结合很弱，导致熔点低，硬度低，多为透明的绝缘体。

分子晶体：例如C

60晶体

三、氢键晶体

由于氢原子的独特情况，有些氢的化合物晶体中呈现独特的

结构，即氢原子可以同时和两个电负性很大而原子半径很小的原

子相结合。这种特殊的结合称为氢键。

氢原子通常先与电负性大的原子A形成共价结合；形成共价

键后，原来球对称的电子云分布偏向了A原子方向，使氢核和负

电中心不再重合，产生了极化现象。此时呈正电性的氢核一端可

以通过库仑力与另一个电负性较大的B原子相结合。

这种结合可以表示为A-H—B，H与A距离近，作用强，与B

的距离稍远，结合力相对较弱。冰是典型的氢键晶体。

126()4[()()]ur

rr





126

)(

r

B

r

A

ru

126

126

1

(4)[()()]

2

UNAA

rr





原子间的相互作用势，通常采用的形式是

氢原子的电子参与形成共价键后，裸露的氢核与另一负电性较大

的原子通过静电作用相互结合。

晶体的结合类型和元素和化合物晶体结合的规律总结

四、元素和化合物晶体结合的规律性

1当负电性较小的同种原子结合成晶体时，因价电子容易脱离原子，故形成金属晶体。

2负电性较大的同种原子结合成晶体时，常形成共价键。

3Ⅷ族元素（惰性元素）只能依靠分子键构成分子晶体。

4当两种不同性质的原子相互结合时，如果两种原子的负电性相差很大，则形成离子晶体；

如果两种原子的负电性都比较小，则形成合金；如果两种原子的负电性都比较大，则形成共

价键。

六、典型例题

1、两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数（2ln2）和库仑相互作用能，

设离子的总数为2N。

＜解＞设想一个由正负两种离子相间排列的无限长的离子键，取任一负

离子作参考离子（这样马德隆常数中的正负号可以这样取，即遇正离子取正号，

遇负离子取负号），用r表示相邻离子间的距离，于是有

(1)1111

2[...]

234

j

ij

rrrrrr







前边的因子2是因为存在着两个相等距离

i

r的离子，一个在参考离子左面，一个

在其右面，故对一边求和后要乘2，马德隆常数为

234

(1)...

34n

xxx

xx

x



当X=1时，有

111

1...2

234n



2、若一晶体的相互作用能可以表示为

()

mn

ur

rr





试求：（1）平衡间距

0

r；

（2）结合能W（单个原子的）；

（3）体弹性模量；

（4）若取

0

2,10,3,4mnrAWeV，计算



及的值。

解：（1）求平衡间距r

0

由

0

)(

0



rr

dr

rdu

，有：

mn

nm

nmm

n

n

m

r

r

n

r

m





































1

1

0

1

.

0

1

0

0









结合能：设想把分散的原子（离子或分子）结合成为晶体，将有一定的能

量释放出来，这个能量称为结合能（用w表示）

（2）求结合能w（单个原子的）

题中标明单个原子是为了使问题简化，说明组成晶体的基本单元是单个原

子，而非原子团、离子基团，或其它复杂的基元。

显然结合能就是平衡时，晶体的势能，即U

min

即：

nmrr

rUW

00

0

)(



（可代入r0

值，也可不代入）

（3）体弹性模量

由体弹性模量公式：

0

2

2

0

2

0

9

r

r

U

V

r

k























（4）m=2，n=10，



Ar3

0

，w=4eV，求α、β

8

1

8

1

0

5

2

10





































r

①

111

2[1...]

234



22

n



)

5

(

5

4

)(8

0

2

0

10

.

2

0

0

代入





r

rrr

rU

eV

r

rUW4

5

4

)(

2

0

0





②

将



Ar3

0

，JeV1910602.11代入①②

2115

238

10459.9

10209.7

mN

mN















（1）平衡间距r

0

的计算

晶体内能

()()

2mn

N

Ur

rr





平衡条件

0

0

rr

dU

dr





，

11

00

0

mn

mn

rr





，

1

0

()nm

n

r

m







（2）单个原子的结合能

0

1

()

2

Wur

，

0

0

()()

mn

rr

ur

rr







，

1

0

()nm

n

r

m







1

(1)()

2

m

nm

mn

W

nm











（3）体弹性模量

0

2

0

2

()

V

U

KV

V







晶体的体积3VNAr，A为常数，N为原胞数目

晶体内能

()()

2mn

N

Ur

rr





UUr

VrV





112

1

()

23mn

Nmn

rrNAr







2

2112

1

[()]

23mn

UNrmn

VVrrrNAr











0

222

22

00000

1

[]

29mnmn

VV

UNmnmn

VVrrrr











由平衡条件

0

112

000

1

()0

23mn

VV

UNmn

VrrNAr













，得

00

mn

mn

rr





0

222

22

000

1

[]

29mn

VV

UNmn

VVrr











0

2

22

000

1

[]

29mn

VV

UNmn

mn

VVrr









2

000

[]

29mn

Nnm

Vrr





0

00

()

2mn

N

U

rr





0

2

0

22

0

()

9

VV

Umn

U

VV









体弹性模量

0

0

9

mn

KU

V



（4）若取

0

2,10,3,4mnrAWeV

1

0

()nm

n

r

m





，

1

(1)()

2

m

nm

mn

W

nm











10

02

W

r

，2

0

10

0

[2]rW

r





-95101.210eVm，1929.010eVm

3、bcc和fccNe的结合能，用林纳德—琼斯(Lennard—Jones)势计算Ne在bcc

和fcc结构中的结合能之比值．

＜解＞126126

1

()4()(),()(4)()()

2nl

ururNAA

rrrr













2

66

6

12

00

612

()1

02

2

r

A

A

dur

ruN

rAA











2

2

066

2

01212

()

12.25/9.11

()/()0.957

()14.45/12.13

bccbcc

fccfcc

urAA

urAA











4、对于

2

H，从气体的测量得到Lennard—Jones参数为65010,

计算fcc结构的

2

H的结合能[以KJ/mol单位)，每个氢分子可当做球形来处理．结

合能的实验值为0.751kJ／mo1，试与计算值比较．

＜解＞以

2

H为基团，组成fcc结构的晶体，如略去动能，分子间按

Lennard—Jones势相互作用，则晶体的总相互作用能为：

126

1262.

ijij

ij

UNPP

RR

























61214.45392;12.13188,

ijij

ji

PP



16235010,2.96,6.02210/.ergANmol

126

2816

2.962.96

2602210/501012.1314.452.55/.

3.163.16

U

UmolergKJmol

















0

将R代入得到平衡时的晶体总能量为

。

因此，计算得到的

2

H晶体的结合能为2．55KJ／mol，远大于实验观察值

0.75lKJ／mo1．对于

2

H的晶体，量子修正是很重要的，我们计算中没有考

虑零点能的量子修正，这正是造成理论和实验值之间巨大差别的原因．