瓦尔拉斯均衡
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2023年3月19日发(作者：接骨丹)平新乔《微观经济学十八讲》第16讲一般均衡与福利经济学的两个基本定理
1．考虑一种两个消费者、两种物品的交易经济，消费者的效用函数与禀赋如下
2
1
1212
,uxxxx118,4e
2
1212
,ln2lnuxxxx23,6e
（1）描绘出帕累托有效集的特征（写出该集的特征函数式）；
（2）发现瓦尔拉斯均衡。
解：（1）由消费者1的效用函数2
1
1212
,uxxxx
，可得12
112
2MUxx，12
212
2MUxx，
故消费者1的边际替代率为
121
1
1122
12
121
2121
2
2
MUxxx
MRS
MUxxx
。
同理可得消费者2的边际替代率为
2
2
2
12
2
1
2
x
MRS
x
。
在帕累托有效集上的任一点，每个消费者消费两种物品的边际替代率都相同，即：
12
1212
MRSMRS
从而有：
12
22
12
11
2
xx
xx
①
又因为21
22
10xx，21
11
21xx，把这两个式子代入①式中，就得到了帕累托有效集的
特征函数：
11
22
11
11
10
422
xx
xx
②
（2）由于瓦尔拉斯均衡点必然位于契约曲线上，所以在均衡点②式一定成立。此外在
均衡点处，预算线和无差异曲线相切（如图16-1所示），这就意味着边际替代率等于预算线
的斜率，即：
11
1
212
12
11
2
11
4
18
xpx
MRS
p
xx
③
联立②、③两式，解得：1
1
58/4x，1
2
58/11x。
进而有21
11
2126/4xx，21
22
1052/11xx。
图16-1均衡时边际替代率等于预算线的斜率
2．证明：一个有
n
种商品的经济，如果（
1n
）个商品市场上已经实现了均衡，则第
n
个市场必定出清。
证明：假设第k种商品的价格为
k
p，1,2,,kn。系统内存在
I
（
I
为正整数）个消
费者，第
i
个消费者拥有第k种物品的初始禀赋为i
k
e，而第
i
个消费者对第k种商品的消费
量为k
i
x，根据瓦尔拉斯定律可知系统中的超额的市场价值为零，即：
1
0n
ii
kkk
kiIiI
pxe
当前
1n
个商品市场已经实现均衡，即前
1n
个商品市场的超额需求为零，这时有：
1
1
0
0
n
iiii
kkknkk
kiIiIiIiI
ii
nkk
iIiI
ii
kk
iIiI
pxepxe
pxe
xe
由此就可以得出第
n
个市场的超额需求也为零，即第
n
个商品市场也实现了均衡。
3．有一种两个消费者、两种物品的交易经济，消费者的效用函数与禀赋如下
1
1212
,min,uxxxx130,0e
2
12
,
2
y
vpy
pp
20,20e
注意：第2个消费者的效用函数在这里是间接效用函数。
（1）发现瓦尔拉斯一般均衡。
（2）如果禀赋状态为15,0e，20,2e，重新计算一般均衡。
解：（1）由消费者1的效用函数的形式可以得到相应的马歇尔需求函数为：
11
1
12
1212
30p
m
xx
pppp
对消费者2，根据罗伊恒等式,i
i
vp
xpm
vm
，可以得到他的马歇尔需求函数为：
2
2
10
1,2
2i
ii
p
m
xi
pp
均衡时，每种商品市场都会出清，这就意味着：
12
122
3020
200
2
pp
ppp
解得1
2
1
2
p
p
，从而有：11
12
10xx；2
1
20x；2
2
10x。
（2）若禀赋状态为15,0e，20,2e。此时消费者1的马歇尔需求函数为：
11
1
12
1212
5p
m
xx
pppp
消费者2的马歇尔需求函数为：2
2
2i
ii
p
m
x
pp
，1,2i。由均衡时，每种商品市场出清，
即：12
122
5
20
pp
ppp
，解得1
2
1
4
p
p
，进而可得11
12
1xx；2
1
4x，2
2
1x。
4．假定在一个经济中只有三种商品（
1
x，
2
x，
3
x），对于
2
x与
3
x的超额需求函数为
22131
3/2/1EDpppp
32131
4/2/2EDpppp
（1）请证明这些函数关于
1
p、
2
p与
3
p是零次齐次的。
（2）运用瓦尔拉斯法则表示，如果
23
0EDED，
1
ED也一定为零。能否同样用瓦尔
拉斯法则去计算
1
ED？
（3）请解有关均衡相对价格
21
/pp与
31
/pp的方程组，
32
/pp的均衡值是多少？
解：（1）对任意的
0t
，有：
33
22
22
1111
33
22
33
1111
321321
422422
tpp
tpp
EDtpEDp
tptppp
tpp
tpp
EDtpEDp
tptppp
所以
2
ED和
3
ED关于
1
p、
2
p与
3
p是零次齐次的。
（2）根据瓦尔拉斯法则可知，均衡时每种商品的超额需求的价值之和为零，即：
123
0EDEDED①
如果
23
0EDED由①可知
1
0ED，把
2
ED和
3
ED的表达式代入①式中，可以解得：
33
222
1
11111
3214223
pp
ppp
ED
ppppp
（3）当市场达到均衡时，必有
23
0EDED，即：
3
2
11
3
2
11
321
422
p
p
pp
p
p
pp
解得：
2
1
3
1
3
5
p
p
p
p
于是331
221
5
3
ppp
ppp
。
5．考虑一种两人、两物品的纯粹交易经济。消费者的效用函数与禀赋如下
11
121212
,1238,30uxxxxxxe
22
121212
,8910,10uxxxxxxe
求：
（1）对两种物品的超额需求函数。
（2）为该经济决定均衡价格比率。
解：（1）由题设所给的效用函数可以得出每个消费者的马歇尔需求函数为：
11
21
112212
12
511
,21,9
22
pp
xppxpp
pp
22
21
112212
12
119
,9,1
22
pp
xppxpp
pp
所以两种商品的超额需求函数为：
12
222
111
111
12
111
222
222
51
81
22
1119
1
22
ppp
EDxx
ppp
ppp
EDxx
ppp
（2）当经济达到均衡时，每个市场的超额需求为零，即：
21
12
301515300
pp
pp
解得：1
2
2
p
p
。
6．判断下列命题，并给出理由：
（1）如果知道了契约线，则我们就知道了任何交易的结果。
（2）如果已达到了帕累托有效，则就无法使任何人的状况再得以改善。
答：（1）错误。理由如下：
契约线是埃奇沃斯方框图中所有帕累托有效的分配点的集合，但是对于一个具体的交易
而言，其最终结果还依赖于每个消费者的初始禀赋，如图16-2所示，其中
A
和
B
是初始禀
赋点，可见不同的初始禀赋导致不同的均衡结果。
图16-2不同的初始禀赋导致不同的均衡
（2）错误。理由如下：
帕累托有效是指在不损害其他任何人的利益的条件下，不能使经济系统中某些人的境况
变得更好。但是如果允许损害某些人的利益，那么对帕累托有效的配置而言，就有可能使某
些人的境况变得更好。比如在一个包括两个消费者和一种商品的经济中，其中一个人拥有全
部的商品，而另一个人一无所有，这是一个帕累托有效的配置；但是现在让情况反过来，使
得原来一无所有的人拥有全部商品，那么这个人的境况就得到了改善。
7．请证明：
在两物品、两个消费者的纯粹交易经济里，帕累托有效的一个必要条件是
1122
11
1122
22
uxux
uxux
这里，上标表示人，下标表示物。
证明：根据定义，帕累托有效的资源配置可以通过以下最大化问题得到：
1212
1122
111
12
222
12
12
max,
,
1,2
xxxx
iii
uxx
uxxu
x
s
xi
t
e
，，，，
构造这个问题的拉格朗日函数：
212
12222
,,,,,Lxxxxuxxuuxxxxexxe
效用最大化的一阶条件为：
1
1
11
11
1
1
11
22
2
2
22
11
2
2
22
22
0
0
0
0
Lu
xx
Lu
xx
Lu
xx
Lu
xx
从而可得到：
1122
111
1122
2
22
uxux
uxux
8．在—个岛上，有200磅粮食要在两个孤立无援的水手之间分配。第一个水手的效用
函数为
11
uF，其中
1
F是由第一个水手消费的数量。对于第二个水手，其粮食消费的效用
函数为
22
1
2
uF。
（1）如果粮食在两个人之间平均分配，他们各自的效用是多少？
（2）如果他们的效用相等，粮食应如何分配？
（3）要使两个人的效用之和最大，应如何分配粮食？
（4）假设第二个水手的能够求生的效用水平是5，如果想要在第二个水手得到最低效
用水平的前提下使效用之和最大化，应如何分配粮食？
（5）假定两个水手都赞成的社会福利函数为1/21/2
12
Wuu。那么，在两个水手之间应怎
样分配粮食才能使社会福利最大化？
解：（1）如果粮食在两个人之间平均分配，即
12
100FF。他们各自的效用分别是：
11
10010uF
22
1
0.51005
2
uF
（2）如果使两个水手的效用相等，即
12
1
2
FF
时，解得
12
0.25FF。
又因为
12
200FF，从而解得
1
40F，
2
160F。故他们的效用相等，则第一个水手
消费40磅粮食，第二个水手消费160磅粮食。
（3）两个人的效用和最大化问题为：
12
12
12
..20
max0.5
0
FF
FF
FsFt
，
从约束条件中解出
2
F，并把它代入目标函数式中，就有：
0.5
0.5
11
0200
max0.5200
F
FF
从一阶条件解得：
1
160F，
2
40F。要使两人效用之和最大，第一个水手和第二个水
手分别消费粮食160磅、40磅。
（4）这相当于求解如下最优化问题：
12
12
12
2
..200
10
m
0
ax0.5
FF
stFF
FF
F
，
从式
12
200FF中解出
2
F，并把它代入目标函数式中，就有：
1
11
25100
max0.5200
F
FF
由于目标函数式在
1
160F时，取得惟一的最大值。所以，当
1
160F时，目标函数式的
值随着
1
F的增加而增加，又因为
2
100F。
所以满足题目条件的解为
1
100F，从而
2
100F。故如果想要在第二个水手得到最低
效用水平的前提下使效用之和最大化，两个水手各消费100磅粮食。
（5）将两个水手的效用函数代入社会福利函数中，可得：
1414
1212
2
,
2
WFFFF
又
12
200FF，则1/4
14
12111
2
,200
2
WFFWFFF
，社会福利最大化的一阶条件
为：
1/43/4
3414
1111
1
d22
2002000
d88
W
FFFF
F
解得：
1
100F，因此
21
200100FF。
故要使社会福利最大化，两个水手各消费100磅粮食。
9．甲有6瓶汽水，1块面包；乙有1瓶汽水，4块面包。两人对汽水与面包的效用函
数一样，都为
uxy
，
x
为汽水瓶数，
y
为面包块数。现在相互交换汽水与面包，但只能整
瓶与整块地换。甲先提议：“我要用
A
瓶汽水换你
B
块面包”。问；
（1）
A
与
B
各为多少时，交换才可能成功，且对甲最有利？
（2）如果1/lnlnuaxy，
A
与
B
又将是多少？
解：（1）甲的起始效用是6，乙的起始效用是4。如果甲用
A
瓶汽水换
B
个面包，则交
换后，甲的净增效用为：
6166ABBAAB
乙的净增效用为：
1444ABABAB
下面对
A
和
B
所有可能的值进行枚举，得到表16-1，特别地，表中只列出了两个人的
净增效用都大于零的组合（每一方格中的第一个数字是甲的净增效用，第二个数字是乙的净
增效用）。
表16-1交换带给每个人的净增效用
观察上表可知，对甲最有利的交换是：甲用1瓶汽水交换乙的2块面包。
（2）由于
1
lnuu
a
，每个人的新的效用函数只是原来效用函数的单调变换，根据单调
变换的性质可知新的效用函数表示的每个人的偏好并没有变化。因此对甲最有利的交换仍然
是：甲用1瓶汽水交换乙的2块面包。
10．设有两种产品，鱼6吨和肉9吨，分给甲、乙两人。甲分到
A
吨鱼，
B
吨肉；乙
分到
C
吨鱼，
D
吨肉。甲、乙的效用函数分别为
1
1
3
2
11
24
=
=C
uAB
uD
甲
乙
（1）请推导：当分配方案达到帕累托最优时，
A
、
B
所满足的关系式。（注：表示成
AfB的形式。）
（2）如果有三种产品，鱼6吨、肉9吨和蛋12吨，分给甲、乙两人。甲分到
A
吨鱼，
B
吨肉，
C
吨蛋；乙分到
D
吨鱼，
E
吨肉，
F
吨蛋。甲、乙的效用函数分别为
1
11
3
24
1
11
6
24
=C
=
uAB
uDEF
甲
乙
请推导：当分配方案达到帕累托最优时，
A
、
B
、
C
所满足的关系式。（注：表示成
AfB，AgC的形式。）
解：（1）由甲的效用函数
1
1
3
2=
甲
uAB可得，
1
1
3
2
1
2
AMUAB
甲
，
2
1
3
2
1
3
BMUAB
甲
。故甲关于
鱼和肉的边际替代率为：
1
1
3
2
1
1
2
3
2
1
2
2
1
3
3A
AB
B
MU
B
MRS
A
MU
AB
AB
甲
甲
。
同样可得乙关于鱼和肉的边际替代率为2
2
CD
D
MRS
C
。
当分配方案达到帕累托最优时，两个人的边际替代率相等，即：
32
2
BD
AC
①
把
9DB
和
6CA
分别代入①式中，整理得：
18
36
B
A
B
（2）甲关于鱼和肉以及鱼和蛋之间的边际替代率分别为1
3
2AB
B
MRS
A
和1
2
AC
C
MRS
A
；
乙关于鱼和肉以及鱼和蛋之间的边际替代率分别为2
2
DE
E
MRS
D
和2
3
DF
F
MRS
D
。
当分配方案达到帕累托最优时，两个人的边际替代率相等，即：
32
2
BE
AD
②
23CF
AD
③
把
6DA
，
9EB
和
12FC
分别代入②、③式中整理得到：
18
36
B
AfB
B
12
36
C
AfC
C