索罗模型

索罗模型

gmat报名-机制烟道

2023年2月20日发(作者：展开缩略图)

1

第二讲Solow模型

哈罗德－多马模型以及后来发展的现代经济增长模型，尝试将经济增长分析长期化和

动态化，唤起了人们对于经济增长和长期积累的兴趣，但是，由于生产要素的不可替代性，

以及最后得到的不稳定均衡的均衡特征，使得这些模型存在缺陷。

索罗模型是索洛（SolowR.）和斯旺（SwanT.）各自独立在在1956年的《对经济增长

理论的一个贡献》和《经济增长和资本积累》两篇论文中提出的，修正了哈罗德－多马模型，

克服了“刀刃均衡”的不稳定性问题。该模型提出之前的经济增长研究，尝试用资本和劳动

等实物投资解释经济增长，哈罗德－多马模型就是从资本投入的角度来解释经济增长，并得

到相应的结论，但是，实务资本的积累不能解释经济增长，经济增长的主要驱动力来自于技

术进步；同时索罗模型打破了哈罗德－多马模型中生产要素投入比例是不可变动的的限制，

解决了投入要素不能相互替代的问题。一方面，从实物资本的角度无法解释近几个世纪以来

人均产量随时间推移大幅度增长的事实；另一方面，从实物资本角度无法解释不同地区间人

均产量的巨大差异，以及相应所导致的经济发展的巨大差异。本节将介绍索洛模型。

一、基本假定

假定在一个只存在居民户和厂商的两部门经济中，社会只生产一种产品，这种产品既可

以作为投资品，又可以作为消费品。一方面，居民户或者家庭拥有经济中的投入和资产，并

选择收入用于消费和储蓄的份额。另一方面，厂商雇佣劳动和资本，并用这些投入进行生产，

将产品销售给居民户或者其它厂商。最后，在市场中，通过厂商向居民户或者其它厂商销售

商品，居民户向厂商提供资本和劳动投入，决定各种投入和生产的产品的相对价格。

经济生产的总产量是资本、劳动和技术进步的函数，忽略土地和其它自然资源等投入。

以Y表示总产出，L表示劳动投入，K表示资本投入，则生产函数可以写为

(,)YFLK（12）

该生产函数表明，总产出取决于生产过程中作为生产要素的资本和劳动的投入量。假定

这个生产函数具有如下性质：

１．生产函数对于两种生产要素来说，是规模报酬不变的。这个假定意味着，随着资本

和劳动使用数量的成倍增加，总产出也将会成倍增加。更为一般的经济意义在于，当两个自

变量发生同样倍数的增加或者减少时，总产出将会发生相同比例的变动。

(,)(,)FcKcLcFKL（13）

这里，

c

为任意常数。

２．生产要素的使用遵循要素报酬递减规律，同时其边际产出要大于零。对于资本和劳

动投入来说，资本的边际产量

K

MP和劳动的边际产量

L

MP均大于零且递减，也即

(,)

0

KK

FKL

MPF

K







，

2

2

(,)

0K

MP

FKL

KK









(,)

0

LL

FKL

MPF

L







，

2

2

(,)

0L

MP

FKL

KL









即生产函数对各要素的一阶偏导数大于零，二阶偏导数小于零。

2

3．生产函数满足“稻田条件”。当资本（或劳动）的投入量趋于零时，资本（或劳动）

的边际产出趋于无穷大。当资本（或劳动）的投入量趋于无穷大时，资本（或劳动）的边际

产出趋于零，也即

00

limlim

KL

KL

FF





limlim0

KL

KL

FF





为了分析方便，将相关变量转换为人均值进行分析，本章中用小写字母表示人均数量，

如/yYL代表人均产出，/kKL代表人均资本使用量。生产函数可以写为

/(/,1)(,1)yYLFKLFk（14）

于是，可以得到

()yfk（15）

根据关于资本边际产量的假定，我们可以得到如下关于人均资本的生产函数的表示图。

这里，横轴表示资本和劳动之比，即人均资本k，纵轴表示产出和劳动之比，即人均产量y。

图参见曼昆，P173，图7－1

4．假定储蓄率和折旧率都为外生给定。

二、资本积累与稳态

１．投资、消费与储蓄

在经济中，总产出等于总需求，相应的有人均产出等于人均需求，而在两部门经济中，

总需求等于消费和投资之和，即YCI。于是有，人均产出等于人均消费加人均投资，

即

yci（16）

在储蓄率外生给定的情况下，假定人们的边际储蓄倾向为

s

，01s，每年人们将收

入中的

s

部分用来储蓄，人均储蓄为sy，而人均消费可以表示为

(1)csy（17）

将式（17）代入到式（16）可得

isy（18）

这样，我们得到一个经济中总供给等于总需求的条件，就是总投资等于总储蓄，人均投

资等于人均储蓄。

２．资本与稳态

投资和资本存量之间的关系是流量和存量之间的关系，投资是指用于新工厂、设备和存

货增加的支出，属于每年的流量值，资本存量是指经济中历年积累下来的资本总量，投资会

增加经济中的资本存量。除了投资之外，折旧也会影响到资本存量的增减。折旧是指原有资

本的磨损，会引起资本存量的减少。这样就可以得到下式

资本存量的增加＝投资－折旧

假定资本每年的磨损为资本存量的份额，也即折旧率为，以k表示人均资本的增

加值，则上式可以表示为

kik

3

结合式（18）和式（15）可得

()ksfkk（19）

式（19）表明，在人均资本的增加值k等于人均投资i减去人均资本存量的折旧k，

而人均投资i又等于人均储蓄()sfk。在储蓄率

s

和折旧率为不变值的情况下，人均资本

存量的变化取决于人均资本存量本身的大小和生产函数的具体形式。如果宏观经济要实现均

衡状态，则式（19）的两边均应等于零，也就是说，经济中储蓄值应该正好能够弥补资本存

量的折旧，这样，经济中资本总量的变化才能处于一个相对平稳不变的稳态过程。再下图中

将投资曲线和折旧曲线放在一起，以考察式（19）所示的资本存量的变化规律。

图参见黄亚均，P73，图3.4

从上图可以看出，资本存量的值越高，投资和折旧越多，不过，两者具有不同的变化趋

势。由于资本边际产出递减，随着资本存量增加，产出相应增加，但是产出增加没有资本存

量增长的快，也就是说，产出随着资本存量的增长而递减增长。经济中的投资来自于储蓄，

在边际储蓄倾向不变的条件下，储蓄由总产出和总收入决定。所以，投资也将会随着资本的

增加而递减增加。而在一个固定折旧率的假定下，折旧将会随着资本的增加而以一个匀速的

比例增加，其增长的速度等于资本增长速度的倍。

投资曲线和折旧曲线遵循不同的变化规律，使得投资和折旧并不能始终保持相等，由式

（19），人均资本的变化量k也就不会一直等于零，k究竟是大于零，还是小于零，取决

于投资和折旧的相对大小。如果投资大于折旧，k大于零，资本存量增加；如果投资小于

折旧，k小于零，资本存量减少。只有当k等于零时，人均资本存量保持不变，经济达

到均衡状态，我们称这种情况下的资本存量为资本存量的“稳态状态”，或者称为资本存量

的“稳态”，记为*k。当人均资本存量达到“稳态”时，即*kk时，由式（19）有

**()sfkk

也就是说，当资本存量处于稳态时，经济处于稳态，储蓄全部转换为新增投资，新增投

资正好弥补资本存量的折旧，从而人均资本存量保持不变。

这里处于“稳态”的经济均衡是一种稳定均衡。所谓稳定均衡，就是指这样一种均衡，

当受到外生冲击使经济产生脱离均衡的运动时，经济自身会具有回复均衡状态的力量，最后

使得经济趋向均衡运动。相对于稳定均衡来说，存在有一种均衡为非稳定均衡，在这种均衡

经济中，当外生冲击使得经济产生脱离均衡状态的运动时，经济不仅不会回复均衡，而且还

会产生使变量进一步远离均衡位置的力量。从而，在均衡状态遭到破坏之后，变量不但无法

回到均衡位置，相反还会进一步远离均衡位置。在索洛模型中，不管最初的人均资本存量处

于什么水平，它最后总是会达到经济的稳定状态。并且，由于某种外在的经济冲击使得经济

偏离了原来的稳态时，经济自身都能自动回复到原来的稳态状态。

假定最初的资本存量水平为上图的低于稳态水平的

1

k。在这个资本水平上，投资曲线

位于折旧曲线的上方，人均投资大于人均折旧，新增投资要大于资本的磨损量，也即

11

()sfkk

根据式（19），有0k，人均资本存量增加，经济加速增长。从图中可以看出，只要

经济中的资本存量水平低于稳态水平，就会有0k，人均资本存量增加，经济加速增长。

经济的人均资本存量将会一直增长，直至稳态时的人均资本存量*k。

4

假定最初的资本存量水平为上图的高于稳态水平的

2

k。在这个资本水平上，投资曲线

位于折旧曲线的下方，人均投资小于人均折旧，新增投资要小于资本的磨损量，也即

11

()sfkk

根据式（19），有0k，人均资本存量减少，经济发展速度放慢。从图中也可以看出，

只要经济中的资本存量水平高于稳态水平，就会有0k，人均资本存量减少，经济发展

速度放慢。经济的人均资本存量将会一直下降，直至稳态时的人均资本存量*k。

只有当资本存量处于稳态状态时，人均投资等于人均折旧，投资等于折旧，0k，

人均资本存量既不上升也不下降，维持在一个经济均衡的水平上。这是，经济中的产出、投

资和消费等就处于稳定状态。

３．储蓄的影响

追求经济的快速增长或者长期稳态均衡是增长理论研究的主要出发点，增长理论需要分

析是哪些因素促进了经济更快的增长，是哪些因素决定了经济中的稳定状态。只有回答了这

些问题，才能通过相关变量的选择和调控，结合经济发展的目标，制定有效的针对性的调控

政策，实现经济的快速健康发展。这里，我们将讨论储蓄率对于经济的稳定状态和增长速度

的影响。

图参见黄亚均，P76，图3.5

在不同的储蓄率条件下，经济将会呈现出不同的稳态水平，不同的储蓄率下稳态水平的

均衡都是稳定均衡。如上图所示，当经济中的储蓄率为

1

s时，经济中新增投资等于储蓄，而

各个资本存量水平下的储蓄均等于

1

()sfk，经济发展需要弥补的折旧为k。当投资等于折

旧时经济达到稳定状态，那么，这个经济在A点达到长期增长的均衡状态，相应的稳态资

本存量为*

1

k，此时新增投资正好等于折旧，经济达到一种动态的稳定状态。

在储蓄率为较高的

2

s时，人均投资曲线将会由

1

()sfk向上移动到

2

()sfk。而折旧曲线

维持不变，新的投资曲线与折旧曲线相交于B点，B点为经济长期增长的均衡状态。此时，

投资等于折旧，相应的稳态资本存量为*

2

k。可以看出，*

2

k是对应储蓄率

2

s的新的稳态资本

存量，这个稳态与较小储蓄率

1

s相一致的稳态相比，意味着更高的稳态资本存量和更高的产

出水平。

如果经济中的储蓄率从最初的

1

s上升到

2

s，*

1

k将不再是稳态均衡时的资本存量，因为

在资本存量为*

1

k时，投资大于折旧，资本存量将会持续上升，直至*

2

kk。随着储蓄率发

生变化，经济将会由旧的稳态均衡水平过渡到新的稳态均衡水平。

储蓄率大小可以影响到经济稳定状态，相应地决定一个经济发展水平的高低；但是，不

同的储蓄率不会影响经济增长速度的大小。在生产函数既定的情况下，储蓄率越高，意味着

稳态时的资本存量越高，经济发展水平越高。如果一个经济中储蓄率由较低向较高转变，随

着投资大于折旧的出现，资本存量不断增加，经济发展加快，经济将会在更高的水平达到稳

5

态均衡。在这个过程中，较高的储蓄率给带来的经济快速发展不是永久的，而是暂时的，因

为在长期，一旦经济达到新的稳定状态，此时投资等于折旧，支持经济更快发展的资本存量

增加不再存在，经济增长回归到原来的水平。也就是说，如果经济中其它条件不变，较高的

储蓄率只能保证更高的资本存量水平和产出水平，在经济达到新的稳态之前，增长速度会加

快，但达到新的稳态状态之后，资本存量和产出的增长速度都会回复到原来的零水平。

三、资本积累的黄金律

经济发展的最终目标是追求消费福利的最大化，如果投资过高，在总产出一定的情况下，

消费相对会下降；如果投资过低，经济中资本存量又会比较低，相应地产出水平也比较低，

消费也会下降。为此，我们需要分析，多大的储蓄率，从而多高的投资水平，对于经济才是

最优的？

选择最优的投资水平或者资本存量水平，实际上就是通过资本存量的选择，使得消费福

利最大化，一般来说，消费福利的大小取决于消费商品数量的多少，所以说，最优的投资水

平或资本存量水平，就是消费最大时的投资水平或资本存量水平。在一个稳态经济中，实现

长期消费水平最大化就是选择一个消费水平最高的稳态资本存量。在索洛模型中，实现长期

消费水平最高的稳态资本存量就叫做资本的“黄金律水平”，记为*

g

k。

求解资本的“黄金律水平”，实际上就是求解消费最大化时的资本存量水平。由式（16）

和式（15）有

()cfki（20）

即消费等于产出减去投资。

资本的“黄金律水平”是在所有稳态均衡中，消费最大化的稳态资本存量水平。为此，

首先需要确定各种稳态时的消费水平。以*k表示稳态时的人均资本存量，则稳态时的人均

产出为*()fk，人均折旧为*k，人均折旧等于人均投资。于是，由式（20）可得稳态时的

消费为

***()cfkk（21）

稳态时的消费等于稳态时的产出减去稳态时的折旧。式（21）显示，稳态时的人均资本

存量*k的变化，会对人均消费的稳态水平产生不同的影响。一方面，资本存量的提高意味

着产出的增加，从而消费水平提高；另一方面，较高的资本存量依靠更多的投资，在总产出

有限的情况下，相应地消费下降。下图表示了消费的稳态水平、稳态的产出水平和稳态的资

本存量水平之间的关系。如图所示，稳态时的人均消费水平*c是稳态时的人均产出*()fk和

稳态时的人均折旧*k的垂直距离，随着稳态资本存量的增加，稳态消费水平先上升直到达

到最高点A之后，开始逐步下降，最后为零，所有的产出都转换为储蓄。

图参见黄亚均，P78，图3.6

要求稳态时的消费的最大值，将式（21）对稳态资本存量*k求导有

6

*

*()

k

fk

（22）

此时稳态消费具有最大值。结合上图来看，如果稳态资本存量低于黄金律水平*

gold

k，

稳态生产函数曲线的斜率要大于折旧曲线的斜率，提高稳态资本存量能够提高稳态消费水平。

如果稳态资本存量低于黄金律水平*

gold

k，稳态生产函数曲线的斜率小于折旧曲线的斜率，

降低稳态资本存量能够提高提高稳态消费水平。所以，当且仅当资本存量等于黄金律水平

*

gold

k时，稳态水平的消费达到最大值，整个经济得到最大化的福利满足，经济体系处于帕

累托最优状态。

式（22）表示，当生产函数的斜率等于折旧曲线的斜率时，长期消费水平达到最大化，

资本存量处于黄金律水平。这个等于也意味着，当且仅当资本的边际生产力等于折旧率时，

资本存量处于黄金律水平。

黄金法则与动态非效率

如果储蓄率高于或者低于黄金律水平，经济体系不会达到帕累托最优，将会存在社会福

利可供改进的空间，通过提高人均消费实现经济体系的优化。下图考察三种可能的储蓄率：

1

s，

gold

s，

2

s，这里，

12gold

sss。相应的人均资本分别为*

1

k，

gold

k，*

2

k，人均消费

分别为*

1

c，

gold

c，*

2

c。

当处于比

gold

s大的储蓄率

2

s时，*

2gold

kk，*

2gold

cc，因为此时虽然产量更大，但持

平投资也更大，从而使得在产量增加的同时，消费不单没有增加，还出现了下降的趋势。为

了实现帕累托值最优，如果从

2

s对应的稳态出发，将储蓄率永久性的下降到

gold

s。类似前

面的分析，可以看到消费

c

将会快速增加，然后，在向新的稳态状态值

gold

s转型的过程中，

消费

c

会单调下降。由于*

2gold

cc，在新的稳态，消费c会超过*

2

c。所以，如果

2gold

ss，

经济将趋于投资过多，处于过度储蓄状态，此时可以通过降低储蓄率，从而增加人均消费，

实现社会福利改进。由于这种经济中的人均消费路径低于可行的最优路径，这种过度储蓄的

经济又称为“动态非效率”。

当处于比

gold

s小的储蓄率

1

s时，*

1gold

kk，*

1gold

cc，因为此时过低的人均资本投入

过多地压缩了人均产量值，从而使得即使人均资本投资相对较小，消费水平仍然较低。此时，

可以通过提高储蓄率来增加消费。虽然最初的储蓄率上升会降低消费，但是，随着储蓄转化

为投资，产量水平将得到更快速扩张，从而实现新的稳态状态下的更高的消费水平。这种由

于储蓄率过低导致社会福利非最大化的经济可称之为储蓄不足的经济。

7

四、人口增长与技术进步

上述分析得到了经济稳态发展的结论，此时经济增长率为零。这种解释显示，提高储蓄

率可以提高一个经济的资本和产出水平，但是，对于经济长期以来的持续远大于零的经济增

长率不能解释。这里，将引进人口增长和技术进步两个因素，进一步考察索洛模型。

一般来说，当存在技术进步时，它会通过影响劳动和资本的投入使用效率来促进产出增

长，为了简化，我们假定技术进步通过作用于劳动，使得劳动效率提高，而非通过资本效率

的改进来促进经济增长。这样，劳动投入对于产出的贡献将通过技术进步来得到体现，我们

称体现了技术进步的劳动为“有效劳动”，表示为AL。那么，生产函数形式可以写为

(,)YFKAL（23）

这里的技术进步的速率实际上可相当于劳动生产率增长率，它用来/gAA表示。

仍然用大写字母表示总量值，小写字母表示人均值，有效人均产出为/()yYAL，有

效人均资本为/()kyAL，有效人均投资为/()iIAL。这里，人口数量不再是固定不变

的，而是每年不断增长的，人口增长率为/nLL。

人均资本增长率将为

kKLAK

ng

kKLAK



（24）

而每年新增投资主要用于四个部分，一是形成资本存量的增值部分，二是用来为新增人

口装备资本设备，三是用来弥补资本存量的磨损，四是在技术进步后为每个劳动力新增的资

本投资。这可以表示为

IKnKKgK（25）

k

gold

k*

1

k

k

2

()sfk

1

()sfk

()

gold

sfk

gold

c

2

c

1

c

()fk

0

*

2

k

()fk

8

将上式两边同除以AL可得

iknkkgk（26）

而投资又是由储蓄转换而成，即isy。于是，式（26）可以写为

()()ksfkngk（27）

式（27）显示，人口增长和技术进步都会降低人均有效资本积累的速度，人口增长使得

经济需要为新增人口配备资本，技术进步使得每个劳动力需要分配更多的资本。在上式所示

的关于有效劳动与人均资本、人均投资和人均产出关系的基础上可以分析人口增长和技术进

步对于稳态的影响。

图参见黄亚均，P86，图3.12

根据边际产出递减，可以得到递减的生产函数曲线，在不变储蓄率的假定下，人均储蓄

为人均产出的

s

比例。而储蓄全部转化为投资，我们就可以得到图中的投资曲线()sfk。而

为了维持人均投资不变，根据式（27），需要保证投资至少能够满足新增人口、资本折旧和

技术进步对于资本增加的要求，这部分需要追加的投资称为“平衡投资”。这种平衡投资包

括给新增劳动力配备资本的投资nk，弥补资本折旧损失的k，适应技术进步为所有劳动

力配置的新增资本gk，它等于()ngk。这样，我们就得到了图中的平衡投资线，其

斜率为()ng。

当新增投资等于平衡投资时，经济处于稳态均衡状态，此时人均资本既不会增加也不会

减少。如图中所示，投资曲线和平衡投资曲线的交点A就处于稳态均衡状态，对应的人均

资本存量就是存在人口增长和技术进步条件下的稳态人均资本水平。

如果人均资本存量小于稳态人均资本存量*k，新增投资就大于平衡投资，人均资本存

量增加，k上升。而且只有人均资本存量小于稳态人均资本存量*k，k就会一直上升，直

到人均资本达到稳态人均资本存量为此。如果人均资本存量大于稳态人均资本存量*k，新

增投资就小于平衡投资，人均资本存量下降，k减少。而且只有人均资本存量大于稳态人均

资本存量*k，k就会一直下降，直到人均资本达到稳态人均资本存量为此。当且仅当人均

资本等于稳态人均资本时，新增投资正好等于平衡投资，经济处于均衡状态。

通过引进人口增长和技术进步，在三个方面改变了基本的索洛模型。

首先，人口增长和技术进步使模型更接近现实的经济增长。没有这两个假定下的索罗模

型，显示出经济一直维持为零的增长率，这与现实不很相符。引进人口增长和技术进步后，

在稳态状态时，虽然人均资本和人均产出不变，但由于人口以速率

n

不断增长，技术进步的

速率为g，使得总资本存量和总产出会以()ng的速率增长。人口增长和技术进步虽然不

能解释人均值意义上的持续增长，但至少可以解释在总量意义上的经济持续增长。

其次，人口增长和技术进步提供了国家之间贫富差距的一种解释。为什么有的国家富？

为什么有的国家穷？为什么国家经济增长有快有慢？这些在没有两个假定下的索罗模型中

无法得到解释。在考虑人口增长和技术进步的模型中，就可以作出相应的解释。这是因为，

9

不同国家的人口增长为不同的差异值，不同国家的技术进步为不同的差异值，通过人口增长

速率

n

和技术进步速率g在国别之间的差异，可以解释国家之间的贫富差距。

第三，人口增长和技术进步改变了资本的黄金律水平。将引进人口增长和技术进步条件

下的稳态人均资本水平*k和稳态人均投资*()ngk代入式（20）可得，

***()()cfkngk（28）

所以，为了使稳态人均消费最大化，相应的资本黄金律水平*

g

k必须满足：

()

k

fkng



（29）

这表明，在资本黄金律稳态水平，资本的边际产量应该等于人口增长率和折旧率加上技

术进步率之和。这意味着，在考虑人口增长和技术进步之后，资本边际产量必须相应提高，

才能实现一个经济的长期人均消费最大化。

平衡增长

平衡增长是指不论经济的初始位置如何，经济总会收敛到一条平衡增长路径，在该路径

上，经济中的每个变量都以常数的增长率增长。在索洛模型中，参照式（27），对应0k的

稳定状态是**()()sfkngk，此时，投资的增加正好可以补偿资本折旧、人口增长

和技术进步的需要。结合前面关于模型的假设可知，满足该稳定状态的人均资本*k是一个

常数，由于**()yfk，**1csfk，因此，在平衡增长时，人均产出*y和人均资

本*k均为不变的常量，也即在索罗模型中，人均资本、人均产出和人均消费在稳态状态均

为不变常量，不会增长。资本总量、产出总量和消费总量以不变的外生的人口或劳动力增长

率

n

增长。

kkKKLL

yyYYLL

ccCCLL

在均衡增长条件下，人均资本、人均产出和人均消费均为一个产量，其增长率为零。外

生的劳动增长率为

n

，相应地，总资本、总产出和总消费的增长率等于劳动增长率

n

。

均衡的存在性和唯一性

先看唯一性，考察资本积累方程

()()ksfkngk

储蓄率

s

，劳动增长率

n

，折旧率和技术进步率g均为外生给定，由前述假设条件有，

10

()fk随k严格单调递增，而

()dkdksdfkdkng

所以，k也将随k严格单调递增。如果均衡增长时的0k存在，那么，这个均衡解是

唯一的。

再看存在性，均衡的存在性实际上就是()()0ksfkngk的存在性，也即

()()fkkngs的存在性，显然()0,ngs，为一常数。有关于生产

函数的假定，对于任意0K，有

00

0(,0)lim(,)lim(,1)

LL

LK

FKFKLKF

KL



从而，lim()0()

k

fkkngs





也就是说，存在一个k，使得对kk，()fkkngs。

另一方面，又

00

()()(0)

limlim(0)

0kk

fkfkfng

f

kks













也就是说，存在一个k，使得对kk，()fkkngs。

由中值定理可得，至少存在一个*,kkk







，使得()fkkngs，也即0k，

经济达到均衡增长状态。

均衡的稳定性

渐近稳定均衡：如果对任意初始值0k，方程**()()0ksfkngk的系统

的路径,0tk满足*lim,0

t

tkk



，此时，均衡点*k为渐近稳定均衡。

局部渐近稳定均衡：如果存在一个区域，对任意初始值0k，系统方程

**()()0ksfkngk的系统的路径,0tk满足*lim,0

t

tkk



，此时，

均衡点*k为局部渐近稳定均衡。

对上述方程系统线性化有，**()()()dktdtsfkngkk







由于(0)0f，由中值定理，存在0,1，使得

***()(0)()

ng

fkfkfk

s











11

由函数()fk



的单调递减性可知，**()()fkfk

，于是，**()ngskfk

，

*()()0sfkng

，系统的特征值为负，所以，均衡点*k为系统的渐近稳定均衡点。

与哈罗德－多马模型的比较

如果不考虑技术进步，将前述生产函数设为仅包括资本和劳动力两种生产要素的固定比

例的里昂惕夫函数形式

(,)min,YFKLAKBL

其中，0A，0B，A和B均为常数，对上式两边同除以常数L，可得

min,yAkB

当kBA时，劳动力供给过多，资本被充分利用，此时yAk，相应地有，

lim

k

fkA





。

当kBA时，资本供给过多，劳动力被充分利用，此时yB，相应地有，

lim0

k

fk





。

图哈罗德－多马模型的生产函数

资本的动态方程为

min,()ksAkBnk

min,()kksAkBkn





()fk

()fk

BA

B

0

12

当kBA时，()kkAsn。当kBA时，()kksBkn。且

lim

k

kkn



。

哈罗德－多马模型的动态

如上图所示，如果储蓄率很低，使得sAn，则储蓄曲线()sfkk永远不会与n

线相交，经济中的人均资本k、人均收入y和人均消费

c

最后都会趋近于0。此时存在着失

业的持续增长。

哈罗德－多马模型的动态

如上图所示，如果经济始于*(0)kk处，使得sAn，此时()0kkAsn，

0

As

BA

n

k

()sfkk

*k

0

As

BA

n

k

()sfkk

13

人均资本k不断增加，储蓄曲线()sfkk将会越过BA，和n相交于*kBA处。如

果经济始于*(0)kk处，sAn，此时()0kkAsn，人均资本k不断下降，

直至人均资本*kk为止。而在*kk时，0kk，经济达到稳态均衡状态。但是，由于

此时*kBA，存在者闲置的机器，而在稳态时人均资本k为常数，K和L都以比率n增

长，所以闲置的机器也以比率

n

增长。

储蓄率变化的影响（对产量；对消费）

储蓄率对产量的影响

这里分析在均衡增长路径上，储蓄率的变化将会对产量产生何种影响。在经济均衡增长

路径上有，**()yfk，将该式两端对储蓄率s求导

**

*

(,,,)

()

yksng

fk

ss







而*k为0k时的人均资本，在0k时有

**((,,,))(,,,)sfksngngksng

上式对所有的

s

，

n

，，g值都成立。方程两端对

s

求导有

**

**()()()

kk

sfkfkng

ss











整理可得



**

*

()

()

kfk

sngsfk









将该式代入储蓄影响产量方程



***

*

()()

()

yfkfk

sngsfk











进一步调整可得







***

***

**

****

***

***

()()

()()

()

()()()

()()

1()()

sysfkfk

ysfkngsfk

ngkfk

fkngngkfkfk

kfkfk

kfkfk











































14

而***()()kfkfk



为*kk处产出对资本的弹性，将它用*()k表示，则有

**

**

()

1()

syk

ysk











如果市场是完全竞争的，且不存在生产外部性，每单位资本投入将得到相应的边际产品。

此时，在平衡增长路径上，资本投入的总收入为**()kfk



，占总收入的比重为*()k，也

即***()()kfkfk



。

当*()k较小时，实际投资曲线()sfk更为弯曲，由于储蓄率s上升使得该曲线上移，

至与持平投资线相交时，人均资本*k只发生了较小的移动，即储蓄率s的变化对均衡增长

路径上的人均资本*k影响较小。同时，当*()k较小时，人均资本*k的变化对于人均产出*y

的影响也较小。所以，*()k越小，储蓄率对于人均产出的弹性就越小，每单位储蓄率的变

化带来的人均产出的变化就越小。

对消费的长期影响

在消费单变量的效用函数的假定下，家庭的福利取决于消费的大小，并非产量，而投资

是为了获得为了产出和消费的一种要素投入。因此，追求家庭福利最大化的经济学应该更关

心消费的大小决定而非产量的变动。

以*c表示平衡增长路径上的人均消费，其等于人均产出*()fk减去人均投资*()sfk。

而实际的人均投资又等于持平投资*ngk，所以

***()()cfkngk

其中，**(,,,)kksng，为

s

，

n

，和g的函数。于是，

**

*()()

ck

fkng

ss















显然，

**

*

()

0

()

kfk

sngsfk









因此，储蓄率

s

的增加是否在长期内提高消费，取决于资本边际产品*()fk



是大于还

是小于每单位资本的持平投资率ng。如果*()fk



大于ng，增加的产量要大于

将资本维持在相应水平上的投资需求，这时消费上升。如果*()fk



小于ng，增加的

15

产量不足以满足将资本维持在相应水平上的投资需求，这时消费将下降。

*()fk



可能大于也可能小于或者等于ng。在下图中，在平衡增长路径上，储蓄

等于储蓄率

s

乘以产出水平()fk，消费

c

等于产出()fk减去持平投资ngk，为总

产出曲线和持平投资曲线之间的水平距离。均衡增长路径在实际储蓄等于持平投资时达到。

在上图中，*()fk



小于ng，所以，当经济达到均衡增长路径后，增加储蓄率s将会

降低消费。在中图中，*()fk



大于ng，当经济达到均衡增长路径后，增加储蓄率s将

会增加消费。在下图中，*()fk



正好等于ng，在*kk的资本水平，产出曲线()fk

和持平投资曲线ngk在该点的切线正好平行。此时，储蓄率

s

的一个边际变化在长

期内不会对消费造成影响，而且消费在所有可能的平衡增长路径上取得最大值，人均资本*k

处于黄金律资本存量水平。

()fk

()sfk

()ngk

0*k

k

()fk

16

收敛

索洛模型显示，在封闭的经济体中，如果不同的国家或地区具有相同的储蓄率

s

、人口

增长率

n

和折旧率，并且具有相同的生产函数，那么，这些经济将会收敛到相同的稳定状

态。人均资本较低的落后经济最终将会追赶上更发达的经济，并最终收敛于同一稳定状态。

之所以会实现经济收敛，有如下三方面的可能原因。第一，依据索洛模型，在相同外生

变量下的经济体最终会收敛于同一平衡增长路径，各国最初经济发展水平不同只是源自于其

对平衡增长路径的相对位置的不同，最终穷国将会赶上富国。第二，由于资本边际报酬递减，

在人均资本越高的国家，将有更低的资本报酬率，这将会促使资本由富国向穷国流动，从而

导致经济实现收敛。第三，如果收入差距是由于技术进步的差异性而引起的，那么，尚未使

()fk

()sfk

()ngk

0*k

k

()fk

()fk

()sfk

()ngk

0*k

k

()fk

17

用先进技术的国家将会具有较低的发展水平，随着穷国不断改进和得到新的技术，将会不断

缩小和富国之间的差距，实现经济收敛。

由()()ksfkngk，资本增长率

k

g可以表示为

()

()

k

kfk

gsng

kk



对k求导

()()

0k

sfkfkk

g

kk











该式意味着，拥有较低人均资本的经济具有较低的增长率，拥有较高人均资本的经济具

有较高的增长率，穷国要以比富国更快的速度增长。巴罗（1992）将这种所有经济体都收敛

于同一平衡增长路径的情况称为绝对收敛。

严格的绝对收敛的假定与经济增长实际不很相符，在大多数实证检验中无法得到论证。

针对实证检验的结果，巴罗又提出了条件收敛，以修正绝对收敛假说的缺陷。条件收敛是指，

由于各个经济体结构不同，各自的稳态也将各不相同，人均资本较大的富国会比穷国增长更

快。如果考虑两个储蓄率不同的经济，无论其人均资本的初始值是否相同，最终这两个经济

将会分别收敛于两个不同的稳态，这个稳态的位置仅有储蓄率的大小决定。

还有一种收敛情况为俱乐部收敛。由于经济体系中存在有多重稳态均衡路径，经济结构

相同的国家也不一定会最终收敛到同一稳态均衡增长路径，其最后状态还要取决于经济体最

初所处的初始状态。只有结构特征相同，初始状态比较接近的经济体才会最终收敛于同一稳

态，不同的结构特征和不同的初始状态的经济体将会收敛于不同的稳态，这是，就出现了俱

乐部收敛。在俱乐部收敛的情况下，落后经济和发达经济各自内部存在着收敛，但它们之间

不存在收敛。

收敛的测度

在是否存在收敛性的检验方面，主要有收敛、收敛和收敛三类概念。

收敛是指随着时间的变化，不同经济体的人均产出的标准差逐渐缩小，人均国内生

产总值呈现趋同的趋势。相比于其它两种收敛来说，收敛更接近于我们对于收敛的现实

理解，可以直观地测度不同经济体的发展差距。在实际计算时，一般使用人均GDP对数的标

准差，即

12

2

i

XXn







其中，

n

表示经济体总的数量，

i

X表示第i个经济体的人均GDP的对数值，1,2,,in。

考虑到各经济体人口的多少比较重要，因此也可以用一个经济体的人口占总人口的比重作为

权数来进行计算，即

12

2

iii

XXPP







这里，

i

P表示第i个经济体的人口数。

收敛是指落后经济体的经济增长速度快于发达经济体的增长速度。收敛又可以分

18

为绝对收敛和和条件收敛。绝对收敛是指随着时间的推移，所有经济体都将收敛于

相同的平衡增长的稳态路径，也收敛于相同的人均收入水平；从长期来看，所有的经济体的

人均资本和人均收入都相等，无论它们的初始水平如何。根据BarroandX-Sala-Martin

（1991，1992，1996），可以用下述方程检验绝对收敛

11

loglog

Tt

iT

itit

it

y

e

Byu

TtyTt













在上式中，t和T分别代表期初时间和期末时间，Tt表示考察期时间长度，

it

y和

iT

y

分别代表第i个经济体在期初和期末的人均收入，B为常数项，

it

u为相应的误差项。为

收敛速度，表示

it

y向稳态收入水平收敛的速度，该值越大，表示向稳态收敛的速度越快。

当大于0时，表示该经济体增长趋于收敛，反之，如果小于0，则表示该经济体经济

增长不会收敛，趋于发散。

条件收敛认为，各个经济体不一定具有相同的结构，因此也就不存在一个绝对收敛

所能达到的同一的人均收入水平。各个经济体的经济增长速度不仅取决于储蓄率、资源禀赋、

要素流动、产业结构等因素的影响，还取决于其初期的发展水平。条件收敛表示各个经

济体将会收敛于各自的稳态，相对于不同类别经济体而言稳态各不相同。所以，不同类别经

济体之间的发展差距可能会长期存在，不同的经济体在长期内持续保持着各自的相对地位，

富裕的经济体依然富裕，贫穷的经济体依然贫穷。可以用下述方程检验条件收敛





11

loglog

Tt

j

iT

itjit

iTt

j

it

y

e

ByXu

TtyTt























其中，



j

iTt

X



为影响收敛的其它变量，

j

为其系数。条件收敛考察在外生变量不变

时，初始收入水平和经济增长率是否负相关，如果负相关，则条件收敛成立。

收敛的检验方法比较复杂，BoyleandMcCarthy（1996）提出了一个更简单的测度

方法，即Kendall和谐指数，也称为收敛，其计算公式为

0

0

()

1

T

it

t

i

VarARY

RC

VarTARY







其中，Var表示方差，

()

it

ARY表示第i个经济体人均收入在第t期时的实际秩次，



0i

ARY表示在第0期人均收入的实际秩次，1T为计算指数所包括的时期数。这个算式

19

考虑了0－t期之间的各期人均收入的秩次，故又被称为Kendall多元和谐指数。

如果只考虑第0期和第t期这两期的和谐指数，称为Kendall双元和谐指数，其计算公

式为



0

0

()()

2

iit

t

i

VarARYARY

RCa

VarARY





和谐指数值介于0和1之间，该值越小，说明收入分布的变化越大，经济增长趋于收敛；

该值越大，说明收入秩次变化很小，经济增长趋于发散。

收敛的速度

如果经济最终走向收敛，那么，收敛的速度如何呢？这里，利用对长期均衡的近似来分

析这个问题。

由于人均产出和人均资本的一一对应关系，为了简单起见，可以着重考察人均资本k的

行为，通过分析k以多快的速度趋近于*k来得到收敛速度。由前述内容，k是k的函数

()()()kksfkngk

在*kk处对()kk进行一级泰勒级数近似可得



*

*

()

kk

kk

kkk

k

















而通过将上式对k求导，并在所得表达式对k赋值为*kk，可得



*

*

**

*

*

()

()()

()

()

()1()

kk

kk

sfkng

k

ngkfk

ng

fk

kng































这里，第二行应用**()()sfkngk求出储蓄率

s

代进等式，第三行用到了产出对

资本的弹性*()k的定义。于是，可以得到

**()1()()ktkngktk





上式表明，在平衡增长路径的邻近，人均资本k向*k收敛的速度与其和*k的距离成比

例。如果定义*()()xtktk，*1()()kng，上式可以写为()()xtxt，

即

x

的增长率为常数且等于。

x

的路径因而可以写为()(0)txtxe，其中，(0)x为

x

的初始值。如果将这个等式用k表示，就有

20

*1()()

**()((0))kngtktkekk

可以证明，y趋近于*y的速度等于k趋近于*k的速度，也即

*1()()

**()((0))kngtytyeyy

对这个方程做一个简单模拟，假设人口增长率为1～2％，折旧率为3～4％，技术进步

率为1～2％，此时ng为6％。假设资本的收入份额约为1/3，则*1()kng

大致为4％。也就是说，y和k每年向*y和*k移动剩余距离的4％，要走到其到平衡增长

路径距离的一半约需17年时间1。这个结果会大大弱化储蓄率变动对于经济发展的总体影响，

如果储蓄率增加10％，将使得人均产出*y增加5％，那么，一年后人均产出将只增加

5%0.040.2%，17年后增加5%0.52.5%，然后逐渐趋近于5％。这使得储蓄率变

化较大时对经济的总体影响较小，产生作用的速度也不快。

对索洛模型的评价

1半衰期*t为方程

*1()()0.5kngte的解。而增长率*1()0.04kng，

方程两端取对数有，*ln(0.5)0.6917.25t。