立方和公式

立方和公式

善行义举榜-昆明市价格指导

2023年2月20日发(作者：财会基础知识)

立方和公式

立方差公式

三项立方和公式

推导过程：

完全立方公式

(a-b)³=a³+3ab²-3a²b-b³

立方和累加

正整数范围中

注：可用数学归纳法证明

公式证明

迭代法一

我们知道：

0次方和的求和公式

，即

1次方和的求和公式

，即

2次方和的求和公式

，即

——平方和公式，此公式可由同种方法得出，取公式

，迭代即得。

具体如下：

(k+1)3-k3=(k3+3k2+3k+1)-k3=3k2+3k+1

利用上面这个式子有：

23-13=3×12+3×1+1

33-23=3×22+3×2+1

43-33=3×32+3×3+1

53-43=3×42+3×4+1

……

(n+1)3-n3=3×n2+3n+1

把上述各等式左右分别相加得到：

(n+1)3-13=3×(12+22+32+……+n2)+3×(1+2+3+……+n)+n×1

n3+3n2+3n+1-1=3×(12+22+32+……+n2)+3×n(n+1)/2+n(1)

其中12+22+32+……+n2=n(n+1)(2n+1)/6

代入(1)式，整理後得13+23+33+……+n3=[n(n+1)/2]2

迭代法二

取公式：

系数可由杨辉三角形来确定

那么就得出：

…………⑴

…………⑵

…………⑶

…………

…………(n).

于是⑴+⑵+⑶+…+(n)有

左边=

右边=

把以上这已经证得的三个公式代入，

得

移项后得

等号右侧合并同类项后得

即

推导完毕。

因式分解证明

几何验证

图象化立方和公式

透过绘立体的图像，也可验证立方和。根据右图，设两个立方，总和为：

把两个立方体对角贴在一起，根据虚线，可间接得到：

要得到

，可使用

的空白位置。该空白位置可分割为3个部分：

·

·

·

把三个部分加在一起，便得：

=

=

之后，把

减去它，便得：

公式发现两个数项皆有一个公因子，把它抽出，并得：

=

可透过完全平方公式，得到：

=

=

这样便可证明：

（注：文档可能无法思考全面，请浏览后下载，供参考。可复制、编制，期待

你的好评与关注）