三角函数

三角函数

淮滨一中-成功心理学

2023年2月20日发(作者：餐饮建筑设计规范)

1

三角函数公式

一、任意角的三角函数

在角



的终边上任取

．．

一点

),(yxP

，记：22yxr

，

正弦函数：

r

y

sin

余弦函数：

r

x

cos正切函数：

x

y

tan

余切函数：

y

x

cot正割函数：

x

r

sec

余割函数：

y

r

csc

二、同角三角函数的基本关系式

六边形记忆法：图形结构“上弦中切下割，左正右余中间1”；记忆方法“对角线上两个

函数的积为1；阴影三角形上两顶点的三角函数值的平方和等于下顶点的三角函数值的平方；

任意一顶点的三角函数值等于相邻两个顶点的三角函数值的乘积。”

倒数关系：1cscsinxx，1seccosxx，1cottanxx。

商数关系：

x

x

x

cos

sin

tan

，

x

x

x

sin

cos

cot

。

平方关系：1cossin22xx，xx22sectan1，xx22csccot1。

积的关系：sinx=tanx·cosxcosx=sinx·cotxtanx=sinx·secx

cotx=cosx·cscxsecx=tanx·cscxcscx=secx·cotx

三、诱导公式

公式一：设



为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：

sin（2kπ＋α）＝sinαcos（2kπ＋α）＝cosα

tan（2kπ＋α）＝tanαcot（2kπ＋α）＝cotα(其中k∈Z)

公式二：设



为任意角，π＋α的三角函数的值与



的三角函数值之间的关系：

sin（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosα

tan（π＋α）＝tanαcot（π＋α）＝cotα

2

公式三：任意角α与－α的三角函数值之间的关系：

sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝cosα

tan（－α）＝－tanαcot（－α）＝－cotα

公式四：利用公式二和公式三可以得到π－α与α的三角函数值之间的关系：

sin（π－α）＝sinαcos（π－α）＝－cosα

tan（π－α）＝－tanαcot（π－α）＝－cotα

公式五：





2

与α的三角函数值之间的关系：

sin（





2

）＝cosαcos（





2

）＝sinα

tan（





2

）＝cotαcot（





2

）＝tanα

公式六：





2

与α的三角函数值之间的关系：

sin（





2

）＝cosαcos（





2

）＝－sinα

tan（





2

）＝－cotαcot（





2

）＝－tanα

公式七：





2

3

与α的三角函数值之间的关系：

sin（





2

3

）＝－cosαcos（





2

3

）＝－sinα

tan（





2

3

）＝cotαcot（





2

3

）＝tanα

公式八：





2

3

与α的三角函数值之间的关系：

sin（





2

3

）＝－cosαcos（





2

3

）＝sinα

tan（





2

3

）＝－cotαcot（





2

3

）＝－tanα

公式九：利用公式一和公式三可以得到2π－α与α的三角函数值之间的关系：

sin（2π－α）＝－sinαcos（2π－α）＝cosα

tan（2π－α）＝－tanαcot（2π－α）＝－cotα

⑴k2)(Zk、

、、

、2的三角函数值，等于



的同

名函数值，前面加上一个把



看成

．．

锐角时原函数值的符号。（口诀：函数名不变，

符号看象限）

⑵





2

、





2

、





2

3

、





2

3

的三角函数值，等于



的异名函数值，前

面加上一个把



看成

．．

锐角时原函数值的符号。（口诀：函数名改变，符号看象限）

四、和角公式和差角公式

3

sincoscossin)sin(sincoscossin)sin(

sinsincoscos)cos(sinsincoscos)cos(







tantan1

tantan

)tan(













tantan1

tantan

)tan(







五、二倍角公式

cossin22sin

2222sin211cos2sincos2cos

…

)(







2tan1

tan2

2tan





二倍角的余弦公式

)(

有以下常用变形：（规律：降幂扩角，升幂缩角）

2cos22cos12sin22cos1

2)cos(sin2sin12)cos(sin2sin1

六、万能公式（可以理解为二倍角公式的另一种形式）







2tan1

tan2

2sin





，







2

2

tan1

tan1

2cos





，







2tan1

tan2

2tan





。

万能公式告诉我们，单角的三角函数都可以用半角的正切

．．

来表示。

七、和差化积公式

2

cos

2

sin2sinsin









2

sin

2

cos2sinsin









2

cos

2

cos2coscos









2

sin

2

sin2coscos









八、积化和差公式

)sin()sin(

2

1

cossin)sin()sin(

2

1

sincos

)cos()cos(

2

1

coscos)cos()cos(

2

1

sinsin

4

九、辅助角公式

)sin(cossin22xbaxbxa

其中：角的终边所在的象限与点

),(ba

所在的象限相同，

22

sin

ba

b





，

22

cos

ba

a





，

a

b

tan

。

十、正弦定理

R

C

c

B

b

A

a

2

sinsinsin



（R为ABC外接圆半径）

十一、余弦定理

Abccbacos2222Baccabcos2222Cabbaccos2222

十二、三角形的面积公式

高底

2

1

ABC

SBcaAbcCabS

ABC

sin

2

1

sin

2

1

sin

2

1





（两边一夹角）

R

abc

S

ABC4





（R为

ABC

外接圆半径）

r

cba

S

ABC







2

（r为ABC内切圆半径）

))()((cpbpappS

ABC





…海伦公式（其中

2

cba

p





）