微积分习题

微积分习题

劳动过程怎么写-锦州医科大学图书馆

2023年2月20日发(作者：迪高)

第五章一元函数积分学

１.基本要求

(1)理解原函数与不定积分的概念，熟记基本积分公式，掌握不定积分的基本性质。

（2)掌握两种积分换元法,特别是第一类换元积分法（凑微分法）。

(3）掌握分部积分法,理解常微分方程的概念,会解可分离变量的微分方程,牢记非齐次线性微

分方程的通解公式。

（4)理解定积分的概念和几何意义,掌握定积分的基本性质。

(5）会用微积分基本公式求解定积分。

(6)掌握定积分的凑微分法和分部积分法。

(7）知道广义积分的概念，并会求简单的广义积分。

（８）掌握定积分在几何及物理上的应用。特别是几何应用。

2.本章重点难点分析

（1）本章重点：不定积分和定积分的概念及其计算；变上限积分求导公式和牛顿—莱布

尼茨公式;定积分的应用。

（2）本章难点：求不定积分，定积分的应用。

重点难点分析:一元函数积分学是微积分学的一个重要组成部分，不定积分可看成是微分

运算的逆运算,熟记基本积分公式,和不定积分的性质是求不定积分的关键，而定积分则源于

曲边图形的面积计算等实际问题，理解定积分的概念并了解其几何意义是应用定积分的基

础。

3.本章典型例题分析

例1：求不定积分sin3xdx

解：被积函数sin3x是一个复合函数,它是由()sinfuu和()3uxx复合而成,因此，

为了利用第一换元积分公式，我们将sin3x变形为'

1

sin3sin3(3)

3

xxx，故有

'

111

sin3sin3(3)sin3(3)3(cos)

333

xdxxxdxxdxxuuC

1

3cos3

3

uxxC

例２:求不定积分22(0)axdxa

解:为了消去根式,利用三解恒等式22sincos1tt,可令sin()

22

xatt



,则

22222sincosaxaatat，cosdxadt,因此，由第二换元积分法,所以积分化

为

22222

1cos2

coscoscos

2

t

axdxatatdtatdtadt





2222

cos2(2)sin2

2424

aaaa

dttdtttC

2

(sincos)

2

a

tttC

由于sin()

22

xatt



，所以sin

x

t

a

，arcsin(/)txa,利用直角三角形直接写出

22

cos

ax

t

a





邻边

斜边

，于是

2

2222

1

arcsin(/)

22

a

axdxxaxaxC

例３：求不定积分sinxxdx

分析：如果被积函数()sinfxxx中没有x或ｓinx,那么这个积分很容易计算出来,所以可

以考虑用分部积分求此不定积分,如果令u=x，那么利用分部积分公式就可以消去x(因为

'1u)

解令,sinuxdvxdx,则dudx，

cosvx

.

于是sin(cos)(cos)cossinxxdxudvuvvduxxxdxxxxC。熟

悉分部积分公式以后，没有必要明确的引入符号,uv,而可以像下面那样先凑微分,然后直接

用分部积分公式计算:

sincos(coscos)cossinxxdxxdxxxxdxxxxC

例4:求微分方程21

dy

y

dx

的通解。

解：原方程为可分离变量的方程，移项分离变量得

12

dy

dx

y





，两端积分得：

12

dy

dx

y





，得

1

1

ln21

2

yxC从

而

1

2

2

1

11

ln21

222

C

x

e

yxCye。

因为

1

2

2

Ce

仍然是常数，把它记做C，故原方程的通解为2

1

2

xyCe其中Ｃ为任意常数

例5:求微分方程2

2dy

yx

dxx

的通解

解：这是一个一阶线性非齐次方程,通解公式为

()()(())pxdxpxdxyeQxedxC



在本题中2

2

(),()PxQxx

x

，由通解公式知

22

()()

2(())()dxdx

pxdxpxdx

xxyeQxedxCexedxC







＝

5

2ln22ln4

22

11

()()()

5

xx

x

exedxCxdxCC

xx



即原方程的通解为：

2

25

Cx

y

x



例6:求定积分

1

2

0

xdx

分析:设函数()fx在区间[,]ab上连续，()Fx是在[,]ab上的一个原函数，则

)()()(aFbFdxxfb

a

,这就是牛顿－莱布尼茨公式。

解：根据牛顿-莱布尼茨公式，因为

3

3

x

是2x的一个原函数，所以原式有

333

1

2

0

1

101

0

3333

x

xdx

例７：求定积分

8

3

0

1

1

dx

x



分析:在应用定积分换元时应注意两点:

（1）换元必换限,上限对上限,下限对下限,即如果用()xt把原来的变量换成了新变量

t,积分限也必须也必须换成新变量t的积分限,并且原来下限对应的参数做下限，上限

对应的参数做上限。

（2）求出换元后的原函数()t后,不必像计算不定积分那样将它还原成ｘ的函数，只需将

新变量的上、下限带入相减即可。

解为了去掉被积函数中的根式，令3xt，即3xt,于是23dxtdt，并且当x=０时，

t=0；当ｘ=8时，t=2，因此由换元公式有

22

822

3

000

13(1)1

3

11

1

tt

dxdtdt

tt

x











=

222

000

11

3(1)3[(1)(1)]

11

tdttdtdt

tt







=

222

3[()ln(1)]3ln3

00

2

t

tt

例8:计算定积分

1

0

xxedx

分析:定积分的分部积分其本质上与先用不定积分的分部积分法求原函数，再用牛顿－莱布

尼茨计算定积分是一样的.因此,定积分的分部积分法的技巧和适应的函数类型与不定积分的

分部积分法完全一样.

解令

ux

，xdvedx,则,xdudxve．故由分部积分公式得

111

1

000

1

()()()

0

xxxxxedxxeedxeedx1

1

2

1

0

xee

e



例９求反常积分

0

xxedx



分析：设()fx在[,)a或(,]b或(,)上连续,定义反常积分

()lim()b

aa

b

fxdxfxdx





()lim()

bb

a

a

fxdxfxdx







0

0

()()()fxdxfxdxfxdx





若上述极限存在,则称相应的反常积分收敛，否则称其发散.

解因为

0000

()()[()]

0

bbbb

xxxxbx

b

xedxxdexeedxbeedx

1

()1

0

bx

b

b

b

bee

e





，

所以

00

1

limlim(1)b

xx

b

bb

b

xedxxedx

e











1

1lim1

b

b

b

e





这里.极限

1

lim

b

b

b

e



是





型未定式,由洛必达法则易知其极限为0

例１０计算由抛物线2yx与2yx,0,1xx所围阴影图形的面积

分析:设函数(),()fxgx在区间[,]ab上连续,并且()()([,])fxgxxab，则由曲线

()yfx与()ygx以及,xaxb所围成的图形面积A为[()()]b

a

Afxgxdx

解联立两抛物线方程

2

2

yx

xy











，得交点(0,0),(1,1)OB,并且由图形可知当[0,1]x时均有

2()()fxxxgx

,则所求图形面积为

3

1

23

2

0

1

211

()[]

0

333

Axxdxxx

第六章多元函数微积分

1.基本要求

(1)了解多元函数的概念，了解二元函数的几何意义,知道求二元函数的定义域。

(2）了解多元函数偏导数与全微分的概念,会求多元复合函数一阶偏导数和全微分。

（3)了解二重积分的概念与基本性质,掌握二重积分的计算方法。

2.本章重点难点分析

（3）本章重点:二元函数的定义域、多元复合函数一阶偏导数和全微分以及二重积分的计

算方法。

（4）本章难点:一阶偏导数、全微分以及二重积分的计算。

3.本章典型例题分析

例1.求函数(xy)cossin(xy)z2的一阶偏导数.

解：把y看成常数,对ｘ求导.

)]2sin()[cos()]sin([)cos(2)cos(xyxyyyxyxyxyy

x

z







例2.设,

y

x

xyz求dz

解:根据全微分公式,先求两个偏导数

y

y

x

z1







；

2y

x

x

y

z







。

所以.)()

1

(

2

dy

y

x

xdx

y

ydy

y

z

dx

x

z

dz













例3.计算二重积分

D

xyd，其中D是由直线2,1xy及xy所围成的闭区域．

解区域D如图所示，可以将它看成一个

x

-型区域,

即}1,21|,{xyxyxD.所以

x

D

xydydxxyd

1

2

1





























2

1

3

2

1

1

2

8

9

2

1

2

1

2

1

dxxx

dxyx

xy

y

例4.计算二重积分

D

xyd，其中D是有抛物线xy2及2xy所围成的有界闭

区域.

解：如图,区域D可以看成是y－型区域，它表示为

}2,21|,{2yxyyyxD，所以

8

45

2

2

12

1

2

2

1

2

2

2







dy

x

yxydxdyxyd

y

y

y

y

D

．

一、选择题

1、)d(exx(ﻩ）．

(A)cxxeﻩ（B）cxxxeeﻩ(C）cxxeﻩ(D）cxxxee

2、若)(xf是)(xg的原函数,则（）．

(A）Cxgdxxf)()((B）Cxfdxxg)()(

（C)



Cxfdxxg)()(（D）



Cxgdxxf)()(

3、若cexdxxfx22)(,则)(xf(）.

(A)xxe22(B）xex222(Ｃ)xxe2（Ｄ）)1(22xxex

4、xdx2sin（).

（A)cx2cos

2

1

(B)cx2sin(Ｃ)cx2cos（D)cx2cos

2

1

5、])(arctan[

0

2

xdtt

dx

d

（)。

(A）2arcｔａnｔ

21

1

t

（B）2)(arctanx(Ｃ）2)(arctanx（D）2)(arctant

二、填空:

１、已知)(xf的一个原函数为

xe，则)(xf=．

2、若)(xf



存在且连续,则

])(d[xf.

3、若cxFxxf)(d)(,则xfxx)de(e=.

4、



dx

x

x2)1(

．

5、dxctgxxx)(csccsc．

6、



dx

xx

x

sincos

2cos

=.

７、xdxexsincos＝.

8、已知)(xf在),(上连续,且2)0(f,且设2

sin

)()(x

x

dttfxF

，则

(0)F



.

９、

2

0

3

0

sin

lim

x

x

tdt

x





ﻩﻩ.

10、设

2

0

(2)4,()1ffxdx,则

2

0

()xfxdx



.

11、2

0

1dxxﻩ.

12、0cos2







xyyyx的阶数是ﻩ.

1３、0



xyyy的阶数是ﻩ.

四、求不定积分

(1）

1

0

24sec2dxxxx（2）4

0

2tan



xdx

(3)







dx

xx

x

22

2

1

13

(4）

dxx52sin

(５）dxxx22(６)



2

1

0

241

1

dx

x

（７）



dx

x

xe1

3ln

(8）







dx

x

x

2

2

1

arcsin

（9)2

0

3cossin



xdxx(1０)dx

xx

x







32

22

2

(1１)



8

0

31

1

dx

x

（１２)

2

3

22)(ax

dx

（1３）2

0

24dxx（1４)2

0

cos



xdxx

(1５）dxxxarctan2(16）

dxexx1

0

2

(17)dxxexsin（18)

2

1

2132dxxx

(1９)

1

145x

dx

（20）

edxx

1

2ln

（２1)求由曲线2xy,直线xyxy2,所围成的图形的面积.

(22）求由曲线2xy与直线2xy，0x围成的平面图形面积.

（23）33xyyxz

,

求

x

z

,

y

z





.

(２4)

x

y

zarctan，求

x

z

,

y

z





．

(25))(ln2xyxz

,

求dz．

(26)xyxze,

求dz.

（27）

D

ydxdy,其中D是由直线,1,01yxyxyy及及所围成的平面区域.

（28）dxdyxyx

D

)(22,其中Ｄ由直线xyy,2与xy2所围成.

（２9)dxdyxy

D

2其中D由抛物线2xy和直线xy所围成.

（30）解微分方程:0sincosxyx

dx

dy

.

(３1）解微分方程：0)1()1(dyxdxy.

（32)某厂生产某种商品q千件的边际成本为36)(



qqC（万元／千件）,其固定成本是

9800(万元）.求(1)产量为多少时能使平均成本最低?(2)最低平均成本是多少?

(33)已知某产品的边际成本为qqC4)(



（万元/百台),边际收入为qqR1260)(



(万元

/百台)。如果该产品的固定成本为10万元，求：（1)产量为多少时总利润)(qL最大?(２）

从最大利润产量的基础上再增产200台,总利润会发生什么变化？