六方最密堆积
大河流域-团队结构
2023年2月19日发(作者：lenzing)六方最密堆积中正八面体空隙
和正四面体空隙(同名11023)
中心这个球周围还围出六个八面体空隙，它平均分摊到每个正八面
体空隙的是六分之一个球。这样，每个正八面体空隙分摊到的球数是六
个六分之一，即一个。总之，这两种最密堆积中，球数:正八面体空
隙数:正四面体空隙数=1:1:2。
面心立方最密堆积（ccp，A1型）中正八面体空隙和正四面体空
隙的问题比较简单、直观。下面我们集中讨论六方最密堆积（hcp，A3
型）中正八面体空隙和正四面体空隙中心的分数坐标。
在六方最密堆积中画出一个六方晶胞，如下面两幅图所示。
平均每个六方晶胞中有两个正八面体空隙，如下面两幅图所示。空
隙中心的分数坐标分别为：（2/3,1/3,1/4），（2/3,1/3,3/4）。
对于正四面体空隙，存在这样一个问题，即正四面体的中心到它的
底面的距离是它的高的多少倍？
解法一（分体积法）：以正四面体
的中心O为顶点，以正四面体的四个面为
底面将正四面体平均分为四个等体积的小
三棱锥，小三棱锥的高为OH，则有：
4
V
33
4
SAHSOH
AHOH
即正四面体的中心到底面的距离是它的高的四分之一。
解法二（立方体法）：
将正四面体的四个顶点放在立方体相隔的四个顶点。设立方体的边
长为1，则正四面体的边长为2，正四面体的高为
623
2
33
。由于
立方体的体对角线为3，所以正四面体的中心（即立方体的中心）到
它的底面的距离与它的高之比为：
23323
:1:4
323
解法三（外接球法）：如图，设正四
面体的边长为1，则
2
2336
,A
3233
6
2A21
3
6
4
666
3412
1
3
BGG
rGr
r
OG
OG
r
解得
即正四面体的中心到底面的距离是它
的高的四分之一。
解法四（正弦定理法）：
如图，正四面体中心到两个顶点之间的
夹角为109.47°，等腰三角形的另两个角为
35.27°。根据正弦定理即可求解。
下面我们来找出六方最密堆积一个晶胞中的所有正四面体。
六方晶胞内中间层的一个球与上面三个球和下面三个球各围成一
个正四面体空隙，空隙中心的分数坐标分别是：（1/3,2/3,1/8），
（1/3,2/3,7/8）。
另外在每个棱上，晶胞顶点的八个球分别与中间层
的球围成正四面体空隙，这些空隙平均只有四分之一在这
个晶胞内，八个四分之一共为两个。空隙中心的分数坐标
分别是：（0,0,3/8），（0,0,5/8）。
四个坐标说明正四面体空隙共有四个。
用体积模型示意图来看各种空隙也是很有意思的。
请看左图。在六方硫化锌中，硫离子
呈六方密堆积，锌离子填入空隙。锌离子填
入的是什么空隙？（正四面体还是正八面
体？）是否填满
了所有的空隙？
将结果与立方硫
化锌的情况作对比，看有哪些相似与不同。
估计锌离子与硫离子的半径比。查阅锌离子与硫离子的半径数据，说明
硫离子是不是最密堆积。