傅里叶级数展开公式

傅里叶级数展开公式

无双大蛇z全人物-李白七言绝句

傅里叶级数课程及习题讲解

第15章傅里叶级数

§15.1傅里叶级数

一基本内容

一、傅里叶级数

在幂级数讨论中1

()n

n

n

fxax







，可视为()fx经函数

系

21,,,,,nxxxLL

线性表出而得．不妨称2{1,,,,,}nxxxLL为基，则不同的

基就有不同的级数．今用三角函数系作为基，就

得到傅里叶级数．

1三角函数系

函数列1,cos,sin,cos2,sin2,,cos,sin,xxxxnxnxLL称为三

角函数系．其有下面两个重要性质．

(1)周期性每一个函数都是以2为周期的

周期函数；

(2)正交性任意两个不同函数的积在[,]

上的积分等于

零，任意一个函数的平方在上的积分不等于零．

对于一个在[,]可积的函数系

()[,],1,2,

n

uxxabn:L，定义两个函数的内积为

(),()()()db

nmnm

a

uxuxuxuxx，

如果

0

(),()

0nm

lmn

uxux

mn











，则称函数系

()[,],1,2,

n

uxxabn:L为正交系．

由于1,sin1sind1cosd0nxnxxnxx





；

sin,sinsinsind

0

mn

mxnxmxnxx

mn























；

cos,coscoscosd

0

mn

mxnxmxnxx

mn























；

sin,cossincosd0mxnxmxnxx





；

21,11d2x









，

所以三角函数系在,上具有正交性，故称为正

交系．

利用三角函数系构成的级数

0

1

cossin

2nn

n

a

anxbnx







称为三角级数，其中011

,,,,,,

nn

aababLL为常数

2以2为周期的傅里叶级数

定义1设函数()fx在,上可积，

11

(),cos()cosd

k

afxkxfxkxx







0,1,2,kL；

11

(),sin()sind

k

bfxkxfxkxx







1,2,kL，

称为函数()fx的傅里叶系数，而三角级数

0

1

cossin

2nn

n

a

anxbnx







称为()fx的傅里叶级数，记作

()fx～

0

1

cossin

2nn

n

a

anxbnx







．

这里之所以不用等号，是因为函数()fx按定

义1所得系数而获得的傅里叶级数并不知其是

否收敛于()fx．

二、傅里叶级数收敛定理

定理1若以2为周期的函数()fx在[,]上按

段光滑，则

0

1

(0)(0)

cossin

22nn

n

a

fxfx

anxbnx









，

其中,

nn

ab为()fx的傅里叶系数．

定义2如果()[,]fxCab



，则称()fx在[,]ab上光

滑．若

[,),(0),(0)xabfxfx



存在；

(,],(0)xabfx，(0)fx



存在，

且至多存在有限个点的左、右极限不相等，则称

()fx在[,]ab上按段光滑．

几何解释如图．

按段光滑函数图象是由有限条

光滑曲线段组成，它至多有有限个

第一类间断点与角点．

推论如果()fx是以2为周期的连续函数，且

在[,]上按

段光滑，则xR，

有

0

1

()cossin

2nn

n

a

fxanxbnx







．

定义3设()fx在(,]上有定义，函数

()(,]

ˆ

()

(2)(2,2],1,2,

fxx

fx

fxkxkkk

















L

称()fx为的周期延拓．

二习题解答

1在指定区间内把下列函数展开为傅里

叶级数

x

y

O

角点

(1)(),(i),(ii)02fxxxx；

解：(i)、()fx=x，(,)x作周期延拓的图象如

下．

其按段光滑，故可展开为傅里叶级数．

由系数公式得

0

11

()dd0afxxxx







．

当1n时，

11

cosdd(sin)

n

axnxxxnx

n







11

sinsind0|xnxnxx

nn













，

11

sindd(cos)

n

bxnxxxnx

n









1

112

coscosd(1)|nxnxnxx

nnn



















，

所以1

1

sin

()2(1)n

n

nx

fx

n









，(,)x为所求．

(ii)、()fx=x，(0,2)x作周期延拓的图象如下．

其按段光滑，故可展开为傅里叶级数．

由系数公式得

22

0

00

11

()dd2afxxxx







．

x

3





3

y

O

x

4

2

2

y

O

当1n时，

22

00

11

cosdd(sin)

n

axnxxxnx

n







2

2

0

0

11

sinsind0|xnxnxx

nn









，

22

00

11

sindd(cos)

n

bxnxxxnx

n









2

2

00

112

coscosd|xnxnxx

nnn











，

所以1

sin

()2

n

nx

fx

n









，(0,2)x为所求．

(2)2()(i)(ii)02fx=x,-π

解：(i)、()2fx=x，(,)x作周期延拓的图象如

下．

其按段光滑，故可展开为傅里叶级数．

由系数公式得

2

2

0

112

()dd

3

afxxxx











．

当1n时，

22

11

cosdd(sin)

n

axnxxxnx

n







2

11

sin2sind|xnxxnxx

nn













2

2

d(cos)xnx

n







222

224

coscosd(1)|nxnxnxx

nnn













，

22

11

sindd(cos)

n

bxnxxxnx

n









2

12

coscosd|xnxxnxx

nn















x

3





3

y

O

2

2

d(sin)xnx

n







22

22

sinsind0|xnxnxx

nn













，

所以2

2

1

sin

()4(1)

3

n

n

nx

fx

n







，(,)x为所求．

解：(ii)、()2fx=x，(0,2)x作周期延拓的图象如

下．

其按段光滑，故可展开为傅里叶级数．

由系数公式得

2

22

2

0

00

118

()dd

3

afxxxx







．

当1n时，

22

22

00

11

cosdd(sin)

n

axnxxxnx

n







2

2

2

0

0

11

sin2sind|xnxxnxx

nn









2

2

0

2

d(cos)xnx

n







2

2

222

0

0

224

coscosd|xnxnxx

nnn









，

22

22

00

11

sindd(cos)

n

bxnxxxnx

n









2

2

2

0

0

12

coscosd|xnxxnxx

nn











2

2

0

42

d(sin)xnx

nn







2

2

22

0

0

4224

sinsind|xnxnxx

nnnn









，

所以2

22

1

4cossin

()4

3

n

nxnx

fx

nn















，(0,2)x为所求．

x

4

2

2

4

y

O

(3)

0

()(,0,0)

0

axx

fxabab

bxx















．

解：函数()fx，(,)x作周期延拓的图象如下．

其按段光滑，故可展开为傅里叶级数．

由系数公式得

0

0

0

111()

()ddd

2

ba

afxxaxxbxx













．

当1n时，

0

2

0

11

cosdcosd

n

aaxnxxbxnxx







2

[1(1)]n

ab

n





0

0

11

sindsind

n

baxnxxbxnxx







1(1)n

ab

n







所以2

1

()2()1

()cos(21)

4(21)

n

baba

fxnx

n

















1

1

sin

()(1)n

n

nx

ab

n









，(,)x为所求．

2设f是以2为周期的可积函数，证明对任

何实数c，有

211

()cosd()cosd,0,1,2,c

n

c

afxnxxfxnxxn







L，

211

()sind()sind,1,2,c

n

c

bfxnxxfxnxxn









L．

证：因为()fx，sinnx，cosnx都是以2为周期的

可积函数，所以令2tx有

2

11

()cosd(2)cos(2)d(2)

cc

fxnxxftntt













x

3





3

y

O

c+2c+211

()cosd()cosdftnttfxnxx





．

从而21

()cosdc

n

c

afxnxx





211

()cosd()cosdc

n

cc

afxnxxfxnxx





c+211

()cosd()cosdfxnxxfxnxx





1

()cosdfxnxx





．

同理可得

211

()sind()sindc

n

c

bfxnxxfxnxx











．

3把函数

0

4

()

0

4

x

fx

x



























展开成傅里叶级

数，并由它推出(1)

111

1

4357



L；

(2)11111

1

357111317



L；

(3)311111

1

657111317

L．

解：函数()fx，(,)x作周期延拓的图象如下．

其按段光滑，故可展开为傅里叶级数．

由系数公式得

0

0

0

111

()ddd0

44

afxxxx













．

当1n时，

0

0

11

cosdcosd0

44n

anxxnxx













．

x

3





3

y

O

22

0

0

11

sindsind

44n

bnxxnxx













1

1

21

1

[1(1)]

2

02

n

nk

n

n

nk

















，

故1

1

()sin(21),(,0)(0,)

21

n

fxnxx

n











U为所求．

(1)取2

x



，则

111

1

4357



L；

(2)由111

1

4357



L得

1111

12391521



L，

于是

11111

1

341257111317



L；

(3)取3

x



，则

311111

1

4257111317











L，

所以

311111

1

657111317

L．

4设函数()fx满足条件()()fxfx，问此函数

在,内的傅里叶级数具有什么特性．

解：因为()fx满足条件()()fxfx，

所以(2)()()fxfxfx，即()fx是以2为周期的

函数．

于是由系数公式得

0

0

0

111

()d()d()dafxxfxxfxx







00

11

()d()dfttfxx







00

11

(2)d()dfttfxx







00

11

()d()d0fttfxx







．

当1n时，

0

0

11

()cosd()cosd

n

afxnxxfxnxx







00

11

()cos()d()cosdftnxnxfxnxx







1

0

1(1)

()cosd

n

fxnxx







0

2

()cosd21

02

fxnxxnk

nk























．

0

0

11

()sind()sind

n

bfxnxxfxnxx







0

2

()sind21

02

fxnxxnk

nk























，

故当()()fxfx时，函数()fx在,内的傅里

叶级数的特性是2

0

k

a，2

0

k

b．

5设函数()fx满足条件：()()fxfx，问此函

数在,内的傅里叶级数具有什么特性．

解：因为()fx满足条件()()fxfx，

所以(2)()()fxfxfx，即()fx是以2为周期的

函数．于是由系数公式得

0

0

0

111

()d()d()dafxxfxxfxx







00

11

()d()dfttfxx







00

11

(2)d()dfttfxx







000

112

()d()d()dfttfxxfxx







．

当1n时，

0

0

11

()cosd()cosd

n

afxnxxfxnxx







00

11

()cos()d()cosdftnxnxfxnxx







0

1(1)

()cosd

n

fxnxx







0

2

()cosd2

021

fxnxxnk

nk























．

0

0

11

()sind()sind

n

bfxnxxfxnxx







0

2

()sind2

021

fxnxxnk

nk























，

故当()()fxfx时，函数()fx在,内的傅里叶

级数的特性是21

0

k

a



，21

0

k

b



．

6试证函数系cos,0,1,2,nxnL和sin,1,2,nxnL都是

[0,]上的正交函数系，但他们合起来的却不是[0,]

上的正交函数系．

证：就函数系{1,cos,cos2,,cos,}xxnxLL，

因为n，0

1,1dx

，

2

00

1

cos,coscosd(cos21)d

22

nxnxnxxnxx





，

又0

1,coscosd0nxnxx



；

,mn，mn时，

0

cos,coscoscosdmxnxmxnxx





00

11

cos()dcos()d0

22

mnxxmnxx





．

所以{1,cos,cos2,,cos,}xxnxLL在[0,]上是正交系．

就函数系{sin,sin2,,sin,}xxnxLL，

因为n，

2

00

1

sin,sinsind(1cos2)d

22

nxnxnxxnxx





，

又,mn，mn时，

0

sin,sinsinsindmxnxmxnxx





00

11

cos()dcos()d0

22

mnxxmnxx





．

所以{sin,sin2,,sin,}xxnxLL在[0,]上是正交系．

但{1,sin,cos,sin2,cos2,,sin,cos,}xxxxnxnxLL不是[0,]上

的正交系．

实因：0

1,sinsind10xxx



．

7求下列函数的傅里叶级数展开式

(1)(),02

2

x

fxx







；

解：(),02

2

x

fxx







作周期延拓的图象如下．

其按段光滑，故可展开为傅里叶级数．

由系数公式得

22

0

00

11

()dd0

2

x

afxxx









．

当1n时，

22

00

11

cosdd(sin)

22n

xx

anxxnx

n









2

2

0

0

1

sinsind0

22

|x

nxnxx

nn











，

22

00

11

sindd(cos)

22n

xx

bnxxnx

n









2

2

0

0

11

coscosd

22

|x

nxnxx

nnn











，

所以1

sin

()

n

nx

fx

n







，(0,2)x为所求．

(2)()1cos,fxxx；

x

4

2

2

4

y

O

2



3

2





解：()1cos,fxxx作周期延拓的图象如

下．

其按段光滑，故可展开为傅里叶级数．

因为

2

2sin0

2

()1cos2sin

2

2sin0

2

x

x

x

fxx

x

x























，

所以由系数公式得

0

1

()dafxx







0

0

2242

sindsind

22

xx

xx









．

当1n时，

0

0

22

sincosdsincosd

22n

xx

anxxnxx









2

0

2242

sincosd

2(41)

x

nxx

n











．

0

0

22

sinsindsinsind0

22n

xx

bnxxnxx









．

所以2

1

22421

()cos

41

n

fxnx

n











，(,)x．

而x时，(0)(0)

2()

2

ff

f







，

故2

1

22421

()cos

41

n

fxnx

n











，[,]x为所求．

(3)2(),(i)02,(ii)fxaxbxcxx；

解：(i)由系数公式得

2

0

0

1

()dafxx







2

2

2

0

18

()d22

3

a

axbxcxbc









．

x

3





3

y

O

2

2

2

当1n时，

2

2

0

1

()cosd

n

aaxbxcnxx







2

2

2

0

0

11

()sin(2)sind|axbxcnxaxbnxx

nn









2

4a

n

，

2

2

0

1

()sind

n

baxbxcnxx







2

2

2

0

0

11

()cos(2)cosd|axbxcnxaxbnxx

nn









42a

nn



，

故2

2

4

()

3

a

fxaxbxcbc





2

1

442

cossin,(0,2)

n

aab

nxnxx

nn













为所求．

(ii)由系数公式得

0

1

()dafxx





2

2

12

()d2

3

a

axbxcxc











．

当1n时，

2

1

()cosd

n

aaxbxcnxx







2

11

()sin(2)sind|axbxcnxaxbnxx

nn













2

4

(1)n

a

n

，

2

1

()sind

n

baxbxcnxx







2

11

()cos(2)cosd|axbxcnxaxbnxx

nn













1

2

(1)n

b

n

，

故2

2

2

()

3

a

fxaxbxcc





2

1

42

(1)cos(1)sin,(,)nn

n

ab

nxnxx

nn









为所求．

(4)()ch,fxxx；

解：由系数公式得

0

1

()dafxx







12

chdshxx











．

当1n时，

1

chcosd

n

axnxx







11

chsinshsind|xnxxnxx

nn













2

1

shd(cos)xnx

n







22

11

shcoschcosd|xnxxnxx

nn













22

2sh1

(1)n

n

a

nn





，

所以2

2sh

(1)

(1)

n

n

a

n







．

11

chsindchd(cos)

n

bxnxxxnx









11

chcosshcosd|xnxxnxx

nn













2

1

shd(sin)xnx

n







22

11

shsinchsind|xnxxnxx

nn













22

11

shsinchsind|xnxxnxx

nn











2

1

n

b

n

，

所以0

n

b，

故2

1

211

()chsh(1)cos

21

n

n

fxxnx

n





















，

(,)x为所求．

(5)()sh,fxxx．

解：由系数公式得

0

1

()dafxx







1

shd0xx







．

当1n时，

1

shcosd0

n

axnxx







．

11

shsindshd(cos)

n

bxnxxxnx









11

shcoschcosd|xnxxnxx

nn













1

21

(1)shchd(sin)nxnx

nn















1

22

211

(1)shchsinshsind|nxnxxnxx

nnn





















1

2

21

(1)shn

n

b

nn





，

所以1

2

2sh

(1)

(1)

n

n

nx

b

n



，

故1

2

1

2sh

()sh(1)sin

(1)

n

n

n

fxxnx

n

















，

(,)x为所求．

8求函数22

1

()(362)

12

fxxx的傅里叶级数展

开式并应用它推出2

2

1

1

6

n

n







．

解：由2

2

4

()

3

a

fxaxbxcbc





2

1

442

cossin,(0,2)

n

aab

nxnxx

nn













得

22

1

()(362)

12

fxxx

222

326





2

1

1

cos

n

nx

n







2

1

1

cos

n

nx

n







，(0,2)x．

而2

(00)(20)

6

ff



，

故由收敛定理得

2

22

11

(00)(20)11

cos0

62

nn

ff

nn









．

9设()fx为,上光滑函数，()()ff．且,

nn

ab

为()fx的傅里叶系数，,

nn

ab

为()fx的导函数()fx

的傅

里叶系数．证明0

0,,(1,2,)

nnnn

aanbbnan



L．

证：因为()fx为,上光滑函数，所以()fx

为

,上的连续函数，故可积．

由系数公式得

0

1

()dafxx









1

()()0ff



．

当1n时，

1

()cosd

n

afxnxx









1

()cos()sind|n

n

fxnxfxnxxnb















．

1

()sind

n

bfxnxx









1

()sin()cosd|n

n

fxnxfxnxxna















故结论成立．

10证明：若三角级数0

1

(cossin)

2nn

n

a

anxbnx







中的

系数,

nn

ab满足关系

33sup,

nn

n

nanbM，M为常数，则上述

三角级数收敛，且其和函数具有连续的导函数．

证：设0

0

()

2

a

ux，()cossin

nnn

uxanxbnx，1,2,nL．

则0n，()

n

ux在R上连续，且

0

()0ux



，()sincos

nnn

uxnanxnbnx



亦在R上连续．

又xR，()sincos

nnn

uxnanxnbnx





nn

nanb

2

2M

n

．

而2

2M

n



收敛，

所以()cossin

nnn

uxnbnxnanx



在R上一致收敛．

故设0

1

()(cossin)

2nn

n

a

sxanxbnx







，则

11

()(cossin)()

nnn

nn

sxnanxnbnxux









且1

()(cossin)

nn

n

sxnanxnbnx









在R上连续．

§15.2以2l为周期的函数的展开

一基本内容

一、以2l为周期的函数的傅里叶级数

设()fx是以2l为周期的函数，作替换lt

x



，则

()

lt

Ftf









是以2为周期的函数，且

()fx在(,)ll上可积()Ft在(,)上可积．

于是

0

1

()cossin

2nn

n

a

Ftantbnt





:，

其中

1

()cosd,

n

aFtntt







1

()sind

n

bFtntt







．

令

x

t

l



得

()()

lt

Ftffx









，sinsin,coscos

nxnx

ntnt

ll



，

从而0

1

()cossin

2nn

n

a

nxnx

fxab

ll













:．

其中

1

()cos,l

n

l

nx

afxdx

ll







1

()sinl

n

l

nx

bfxdx

ll







．

上式就是以2l为周期的函数()fx的傅里叶系

数．在按段光滑的条件下，亦有

0

1

(0)(0)

cossin

22nn

n

a

fxfxnxnx

ab

ll

















．

其只含余弦项，故称为余弦级数．

同理，设()fx是以2l为周期的奇函数，则

()cosfxnx奇，()sinfxnx偶．

于是

1

()cosd0l

n

l

nx

afxx

ll







，

0

12

()sind()sindll

n

l

nxnx

bfxxfxx

llll







．

从而0

1

()sin

2n

n

a

nx

fxa

l





:．

其只含正弦项，故称为正弦级数．

由此可知，函数

(),(0,)fxxl

要展开为余弦级数必须作偶延拓．

偶延拓

()(0,)

()

()(,0)

fxxl

fx

fxxl













%，

函数(),(0,)fxxl要展

开为正弦级数必须作奇延拓．

奇延拓

()(0,)

()

()(,0)

fxxl

fx

fxxl













%．

二习题解答

1求下列周期函数的傅里叶级数展开式

(1)()cosfxx(周期)；

解：函数()cosfxx，,

22

x









延拓后的函数如下

图．

x

y

O

l

l

x

y

O

l

l

x

3

2



2



2





3

2





y

O





由于()fx按段光滑，所以可展开为傅里叶级

数，又()fx是偶函数，故其展开式为余弦级数．

因2

l



，所以由系数公式得

22

0

0

2

244

cosdcosdaxxxx







．

当1n时，

2

2

2

coscos2d

n

axnxx





2

0

4

coscos2dxnxx







2

0

2

[cos(21)cos(21)]dnxnxx







22

00

11

sin(21)sin(21)

(21)(21)

||nxnx

nn









1(1)2(1)2

(21)(21)

nn

nn







1

2

4

(1)

(41)

n

n



．

2

2

2

cossind0

n

bxnxx







．

故1

2

1

241

()cos(1)cos2

41

n

n

fxxnx

n













，

(,)x为所求．

(2)()[]fxxx(周期1)；

解：函数()[]fxxx，

11

,

22

x







延拓后的函数如下

图．

由于()fx按段光滑，所以可展开为傅里叶级

数．

因

1

2

l，所以由系数公式得

x

31

13

y

O

2

2

1

1

11

2

1

0

00

2

2[]d2[]d2d1axxxxxxxx





．

当1n时，

1

1

2

1

0

2

2[]cos2d2[]cos2d

n

axxnxxxxnxx





11

00

1

2cos2dd(sin2)xnxxxnx

n







1

1

0

0

11

sin2sin2d0|xnxnxx

nn







．

1

1

2

1

0

2

2[]sin2d2sin2d

n

bxxnxxxnxx





1

0

1

d(cos2)xnx

n









1

1

0

0

11

cos2cos2d|xnxnxx

nn









1

n



．

故1

111

()[]sin2

2

n

fxxxnx

n











，(,)x为所求．

(3)4()sinfxx(周期)；

解：函数4()sinfxx，,

22

x









延拓后的函数如下

图．

由于()fx按段光滑，所以可展开为傅里叶级

数，又()fx是偶函数，故其展开式为余弦级数．

因2

l



，所以由系数公式得

44

22

0

0

2

24

sindsindaxxxx





2

2

0

41cos2

d

2

x

x

















2

0

4311

cos2cos4d

828

xxx













3

4

．

当1n时，

x

3

2



2



2





3

2





y

O





2

0

4311

cos2cos4cos2d

828n

axxnxx















1

1

2

01,2

1

2

8

n

nn

n



















．

2

2

2

cossind0

n

bxnxx







．

故4

311

()sincos2cos4

828

fxxxx，(,)x为所求．

(4)()sgn(cos)fxx(周期2)．

解：函数()sgn(cos)fxx，(,)x延拓后的函数如

下图．

由于()fx按段光滑，所以可展开为傅里叶级

数，又()fx是偶函数，故其展开式为余弦级数．

因l，所以由系数公式得

0

0

12

sgn(cos)dsgn(cos)d0axxxx







．

当1n时，0

2

sgn(cos)cosd

n

axnxx







2

0

2

224

cosdcosdsin

2

n

nxxnxx

n













4

sin

2

n

n







02

4

(1)21

(21)

k

nk

nk

k

















．

2

sgn(cos)sind0

n

bxnxx







．

故1

4cos(21)

()sgn(cos)(1)

21

n

n

nx

fxx

n













，(,)x．

x

3

2



2



2





3

2





y

O





2求函数

01

()112

323

xx

fxx

xx















的傅里叶级数并讨

论其收敛性．

解：函数()fx，(0,3)x延拓后的函数如下图．

由于()fx按段光滑，所以可展开为傅里叶级

数，又()fx是偶函数，故其展开式为余弦级数．

因

3

2

l，所以由系数公式得

3123

0

0012

22224

()ddd(3)d

33333

afxxxxxxx

．

当1n时，

12

01

2222

cosdcosd

3333n

nxnx

axxx





3

2

22

(3)cosd

33

nx

xx





2

1

0

1

1212

dsinsin

33

nxnx

x

nn















3

2

12

(3)dsin

3

nx

x

n















1

0

121214

sinsindsin

333

nnxn

x

nnn







3

3

2

2

121212

sin(3)sinsind

333

nnxnx

xx

nnn







1

22

0

1432

sincos

323

nnx

nn







3

22

2

1432

sincos

323

nnx

nn







2222

323

cos

232

n

nn







2222

334

cos2cos

223

n

n

nn









2222

323

cos

3

n

nn





．

x

2313

y

O

1

2

45

6

1

2

()sind0

n

bfxnxx







．

故222

1

231122

()coscos

333

n

nnx

fx

nn





















，(,)x为所求．

3将函数()

2

fxx



在[0,]上展开成余弦级数．

解：函数()

2

fxx



，[0,]x作偶延拓后的函数如

下图．

由于()fx按段光滑，所以可展开为傅里叶级

数，又()fx是偶函数，故其展开式为余弦级数．

由系数公式得

2

0

0

0

21

d0

222

axxxx

















．

当1n时，

0

2

cosd

2n

axnxx















0

0

22

sinsind

2

xnxnxx

nn















2

0

2

cosnx

n







2

4

21

02

nk

n

nk

















．

0

n

b．

故2

1

41

()cos(21),[0,]

2(21)

n

fxxnxx

n

















．

x

3

2



3

2





y

O



2

5

2



2



2



2





4将函数()cos

2

x

fx在[0,]上展开成正弦级数．

解：函数()cos

2

x

fx，[0,]x作偶延拓后的函数如

下图．

由于()fx按段光滑，所以可展开为傅里叶级

数，又()fx是奇函数，故其展开式为正弦级数．

由系数公式得0,0,1,2,

n

anL．

0

2

cossind

2n

x

bnxx







0

111

sinsind

22

nxnxx





















0

11

coscos

1

22

11

22

nxnx

nn





























2

8

(41)

n

n



．

故在[0,]上2

1

8

()cossin

241

n

xn

fxnx

n











为所求．

5把函数

102

()

324

xx

fx

xx













在(0,4)上展开成余弦级数．

解：函数()fx，(0,4)x延拓后的函数如下图．

x



y

O



2

3

1

x

23

1

3

y

O

1

2

4

5

1

由于()fx按段光滑，所以可展开为傅里叶级

数，又()fx是偶函数，故其展开式为余弦级数．

因4l，所以由系数公式得

424

0

002

211

()d(1)d(3)d0

422

afxxxxxx

．

当1n时，4

0

2

()cosd

44n

nx

afxx





24

02

11

(1)cosd(3)cosd

2424

nxnx

xxxx





2

2

0

0

22

(1)sinsind

44

nxnx

xx

nn







4

4

2

2

22

(3)sinsind

44

nxnx

xx

nn







2

22

0

8

cos

4

nx

n







4

22

2

8

cos

4

nx

n







22

8

2cos1(1)

2

n

n

n











22

042

16

42

nk

nk

n

















所以

102

()

324

xx

fx

xx











22

1

81(21)

cos

(21)2

n

nx

n

















为所求．

6把函数2()1fxx在(0,1)上展开成余弦级

数，并推出

2

22

11

61

23











L．

解：函数()fx，(0,1)x延拓为以2为周期的函数

如下图．

由于()fx按段光滑，所以可展开为傅里叶级

数，又()fx是偶函数，故其展开式为余弦级数．

x

23

1

y

O

1

2

4

1

因l=0.5，所以由系数公式得

11

2

0

00

2

2()d2(1)d

3

afxxxx

．

当1n时，1

2

0

2(1)cosd

n

axnxx

1

1

2

0

0

22

(1)sin(1)sindxnxxnxx

nn







1

1

2222

0

0

22

(1)coscosdxnxnxx

nn







22

4

n

．

0

n

b．

所以2

22

1

141

(1)cos,[0,1]

3

n

xnxx

n







．

令0x得22

1

141

1

3

n

n







，即2

2

1

1

6

n

n







．

7求下列函数的傅里叶级数展开式

(1)()arcsin(sin)fxx；

解：函数()arcsin(sin)fxx是以2为周期的函数如

下图．

由于()fx按段光滑，所以可展开为傅里叶级

数，又()fx是奇函数，故其展开式为正弦级数．

由系数公式得

0,0,1,2,

n

anL．

0

2

arcsin(sin)sind

n

bxnxx







2

0

2

22

sind()sindxnxxxnxx













x

3

2



y

O

2





2

5

2



2



2





2

2

0

0

22

coscosdxnxnxx

nn











2

2

22

()coscosdxnxnxx

nn

















2

0

4

cosdnxx

n





2

4

sin

2

n

n







2

02

4

(1)21k

nk

nk

n

















所以2

1

4(1)

()arcsin(sin)sin(21)

(21)

n

n

fxxnx

n













，xR．

(2)()arcsin(cos)fxx．

解：函数()arcsin(cos)fxx是以2为周期的函数如

下图．

由于()fx按段光滑，所以可展开为傅里叶级

数，又()fx是偶函数，故其展开式为余弦级数．

由系数公式得

0

0

2

arcsin(cos)d0axx







，

当1n时，

0

2

arcsin(cos)cosd

n

axnxx





0

2

cosd

2

xnxx















0

0

22

sinsindnxnxx

nn









2

02

4

21

nk

nk

n















．

0,1,2,

n

bnL．

所以2

1

41

()arcsin(cos)cos(21)

(21)

n

fxxnx

n











，xR．

x



3

2



y

O

2





2

2



2





3

2





8试问如何把定义在0,

2







上的可积函数()fx

延拓到区间,内，使他们的傅里叶级数为如下

的形式

(1)21

1

cos(21)

n

n

anx









；(2)21

1

sin(21)

n

n

bnx









．

解：(1)先把()fx延拓到[0,]上，方法如下：

()0

2

()

()

2

fxx

fx

fxx

























；

再把()fx延拓到[0,2]上，方法如下：

()0

ˆ

()

(2)2

fxx

fx

fxx















．

其图象如下．

由于()fx按段光滑，所以可展开为傅里叶级

数，又()fx是偶函数，故其展开式为余弦级数．

由系数公式得

0

0

2

()d0afxx







，

当1n时，2

0

1

()sind0

n

bfxnxx







．

0

2

()cosd

n

afxnxx







2

0

2

22

()cosd()cosdfxnxxfxnxx









2

0

2

()[coscos()]dfxnxnnxx









x



3

2



y

O

2



2

2





()yfx

2

0

4

()cosd21

02

fxnxxnk

nk























．

所以21

1

()cos(21)0,

2n

n

fxanxx

















．

(2)先把()fx延拓到[0,]上，方法如下．

()0

2

()

()

2

fxx

fx

fxx

























；

再把()fx延拓到[0,2]上，方法如下．

()0

ˆ

()

(2)2

fxx

fx

fxx















．

其图象如下．

由于()fx按段光滑，所以可展开为傅里叶级

数，又()fx是偶函数，故其展开式为余弦级数．

由系数公式得

0

0

2

()d0afxx







，

当1n时，2

0

1

()cosd0

n

afxnxx







0

2

()sind

n

bfxnxx







2

0

2

22

()sind()sindfxnxxfxnxx









2

0

2

()[sinsin()]dfxnxnnxx









2

0

4

()sind21

02

fxnxxnk

nk























．

所以21

1

()sin(21)0,

2n

n

fxbnxx

















．

x



3

2



y

O

2



2

2





()yfx

§15.3收敛定理的证明

一基本内容

一、贝塞尔(Bessel)不等式

定理1设()fx在[,]上可积，则

2

222

0

1

1

()d

2nn

n

a

abfxx















,

其中,

nn

ab为()fx的傅里叶系数．

推论1设()fx在[,]上可积，则

lim()cosd0

n

fxnxx







,lim()sind0

n

fxnxx







．

推论2设()fx在[,]上可积，则

0

1

lim()sind0

2n

fxnxx















，

01

lim()sind0

2n

fxnxx















．

定理2设以2为周期的函数()fx在[,]上可

积，则

0

1

()cossin

2

n

nkk

k

a

Sxakxbkx





1

sin

1

2

()d

2sin

2

nt

fxtt

t















，

此称为()fx的傅里叶级数的部分和的积分表达

式．

二、收敛性定理的证明

定理3(收敛性定理)设以2为周期的函数

()fx在[,]上按段光滑，则

(0)(0)

lim()0

22n

n

fxfx

Sx











，

定理4如果()fx在[,]上有有限导数，或有

有限的两个单侧导数，则

0

1

(0)(0)

cossin

22nn

n

a

fxfx

anxbnx









．

定理5如果()fx在[,]按段单调，则

0

1

(0)(0)

cossin

22nn

n

a

fxfx

anxbnx









．

二习题解答

1设()fx以2为周期且具有二阶连续的导函

数，证明()fx的傅里叶级数在(,)上一致收敛于

()fx．

证：由题目设知()fx与()fx

是以2为周期的函

数，且光滑，

故0

1

()(cossin)

2nn

n

a

fxanxbnx







，

0

1

()(cossin)

2nn

n

a

fxanxbnx











，

且0

1

()dafxx









1

()()0ff



．

当1n时，

1

()cosd

n

afxnxx









1

()cos()sind|n

n

fxnxfxnxxnb















．

1

()sind

n

bfxnxx









1

()sin()cosd|n

n

fxnxfxnxxna















于是22

22

1111

22

nn

nnnn

ab

abab

nnnn













22

2

11

()

2nn

ab

n



．

由贝塞尔不等式得22

1

()

nn

n

ab









收敛，又2

1

1

n

n







收敛，

从而

0

1

2nn

n

a

ab







收敛，

故0

1

(cossin)

2nn

n

a

anxbnx







在(,)上一致收敛．

2设f为,上可积函数，证明：若f的傅

里叶级数在[,]上一致收敛于f，则成立贝塞尔

(Parseval)等式

2

222

0

1

1

()d

2nn

n

a

fxxab















，

这里,

nn

ab为f的傅里叶系数．

证：设

0

1

cossin

2

m

mnn

n

a

Sanxbnx





，

因为()fx的傅里叶级数在[,]上一致收敛于

()fx，

所以0,0N，

,[,]()

m

mNxfxS“”．

于是2(),()

mm

fxSfxS．而

(),()(),()2(),,

mmmmm

fxSfxSfxfxfxSSS

22

22222

00

11

()d2

22

mm

nnnn

nn

aa

fxxabab























2

222

0

1

()d

2

m

nn

n

a

fxxab

















．

所以mN时，

2

2222

0

1

()d

2

m

nn

n

a

fxxab

















，

故

2

222

0

1

1

()d

2nn

n

a

abfxx















．

3由于贝塞尔等式对于在[,]上满足收敛

定理条件的函数也成立．请应用这个结果证明下

列各式．

(1)2

2

1

1

8(21)

n

n











；(2)2

2

1

1

6

n

n







；(3)4

4

1

90n





．

解：(1)取

0

4

()

0

4

x

fx

x



























，由§1习题3得

1

sin(21)

(),(,0)(0,)

21

n

nx

fxx

n













U．

由贝塞尔等式得2

2

1

11

d

16(21)

n

x

n























，

即2

2

1

1

8(21)

n

n











．

(2)取(),(,)fxxx，由§1习题1(1)得

1

1

sin

()2(1),(,)n

n

nx

fxx

n











．

由贝塞尔等式得

2

1

2

1

1(1)2

d

n

n

xx

n



























，

故2

2

1

1

6

n

n







．

(3)取2(),[,]fxxx，由§1习题1(2)得

2

2

2

1

cos

4(1),(,)

3

n

n

x

xx

n











．

由贝塞尔等式得

22

2

4

2

1

11(1)4

d

23

n

n

xx

n





























，

故4

4

1

90n





．

4证明：若,fg均为[,]上可积函数，且他

们的傅里叶级数在[,]上分别一致收敛于f和g，

则

00

1

1

()()d()

2nnnn

n

a

fxgxxab





















．

其中,

nn

ab为f的傅里叶系数，,

nn

为g的傅里叶系

数．

证：由题设知0

1

()(cossin)

2nn

n

a

fxanxbnx







，

0

1

()(cossin)

2nn

n

gxnxnx











．

于是

1

()()d(),()fxgxxfxgx







0

1

(),(cossin)

2nn

n

fxnxnx











0

1

(),(),cos(),sin

2nn

n

fxfxnxfxnx











而000

1

(),cossin,

222nn

n

a

fxanxbnx







0000,

222

aa



0

1

(),coscossin,cos

2nnnn

n

a

fxnxanxbnxnx







cos,cos

nnnn

anxnxa，

0

1

(),sincossin,sin

2nnnn

n

a

fxnxanxbnxnx







cos,cos

nnnn

bnxnxb，

所以00

1

1

()()d()

2nnnn

n

a

fxgxxab





















．

5证明若f及其导函数f

均在[,]上可

积,()d0fxx



,

()()ff，且成立贝塞尔等式，则

22()d()dfxxfxx







．

证：因为()fx、()fx

在,上可积，()d0fxx



，

()()ff，

设0

1

()(cossin)

2nn

n

a

fxanxbnx







，

0

1

()(cossin)

2nn

n

a

fxanxbnx











，

由系数公式得

0

1

()dafxx









1

()()0ff



．

当1n时，

1

()cosd

n

afxnxx









1

()cos()sind|n

n

fxnxfxnxxnb















．

1

()sind

n

bfxnxx









1

()sin()cosd|n

n

fxnxfxnxxna















于是由贝塞尔等式得

2

22

1

()d

nn

n

fxxab



















222222

11

nnnn

nn

nanbab







2()dfxx





．

总练习题15

1试求三角多项式

0

1

()(cossin)

2

n

nkk

k

A

TxAkxBkx





的傅里叶级数展开式．

解：因为0

1

()(cossin)

2

n

nkk

k

A

TxAkxBkx





是以2为周期

的光滑函数，所以可展为傅里叶级数，

由系数公式得

0

00

1

(),1(cossin),1

2

n

nkk

k

A

aTxAkxBkxA





，

当1k时，

(),cos

kn

aTxkx

0

1

(cossin),cos

0

2

n

k

kk

k

Akn

A

AkxBkxkx

kn

















，

(),sin

kn

bTxkx

0

1

(cossin),sin

0

2

n

k

kk

k

Bkn

A

AkxBkxkx

kn

















，

故在(,)，0

1

()(cossin)

2

n

nkk

k

A

TxAkxBkx





的傅里叶级

数就是其本身．

2设f为[,]上可积函数，0

,,(1,2,,)

kk

aabknL为f

的

傅里叶系数，试证明，当00

,,(1,2,,)

kkkk

AaAaBbknL时，

积分2

()()d

n

fxTxx





取最小值，且最小值为

2

2

22

0

1

()d()

2

n

kk

k

a

fxxab























．

上述()

n

Tx是第1题中的三角多项式,0

,,

kk

AAB为它的傅

里叶系数．

证：设

0

1

()cossin

2nn

n

a

fxanxbnx







，

0

1

()(cossin)

2

n

nkk

k

A

TxAkxBkx





，

且00

,,(1,2,,)

kkkk

AaAaBbknL，

因为2

()()d

n

fxTxx







22()d2()()d()d

nn

fxxfxTxxTxx





，

而

00

1

()()d

2

n

nkkkk

k

Aa

fxTxxAaBb















，

222

0

1

()d

2

n

nkk

k

A

TxxAB















，

所以2

()()d

n

fxTxx







2

00

1

()d22

2

n

kkkk

k

Aa

fxxAaBb















22

0

1

2

n

kk

k

A

AB





2

2

22

0

1

()d()

2

n

kk

k

a

fxxab























2

22

00

1

()

()()

2

n

kkkk

k

Aa

AaBb







2

2

22

0

1

()d()

2

n

kk

k

a

fxxab























故当00

,,(1,2,,)

kkkk

AaAaBbknL时，

积分2

()()d

n

fxTxx





取最小值，且最小值为

2

2

22

0

1

()d()

2

n

kk

k

a

fxxab























．

3设f为以2周期，且具有二阶连续可微的

函数，

11

()sind,()sind

nn

bfxnxxbfxnxx









，

若级数n

b

绝对收敛，则

11

1

2

2nn

nn

bb

















．

证：因为()fx为以2周期，且具有二阶连续可

微的函数，

所以

1

()sind

n

bfxnxx











1

sind()

n

bnxfx









1

()sin()cosd

n

fxnxfxnxx

















cosd()

n

nxfx







2

2()cos()sind

n

nn

fxnxfxnxxnb















．

即2

1

1,

nn

nbb

n



，从而2

11

1,

2nn

nbb

n











又n

b

绝对收敛，2

1

n



收敛，

所以1

n

n

b







收敛，且

2

2

1111

111

226nnn

nnnn

bbb

n























1

1

2

2n

n

b

















．

故结论成立．

4设周期为2的可积函数()x与()x满足以

下关系式

(1)()()xx；(2)()()xx．

试问的傅里叶系数,

nn

ab与的傅里叶系数,

nn

有

什么关系？

解：设

0

1

()cossin

2nn

n

a

xanxbnx







，

0

1

()cossin

2nn

n

xnxnx











，

(1)则当()()xx时，0n，

11

()cosd()cos()d()

n

axnxxtntt











11

()cosd()cosdtntttntt











n

．

1n，

11

()sind()sin()d()

n

bxnxxtntt











11

()cosd()cosdtntttntt













n

．

(2)当()()xx时，0n，

11

()cosd()cos()d()

n

axnxxtntt











11

()cosd()cosdtntttntt













n

．

1n，

11

()sind()sin()d()

n

bxnxxtntt











11

()cosd()cosdtntttntt











n

．

5设定义在[,]ab上的连续函数列()

n

x满足关

系

0

()()d

1

b

nm

a

nm

xxx

nm

















，

对于在[,]ab上的可积函数f，定义

()()d,1,2,b

nn

a

afxxxnL，

证明2

1

n

n

a







收敛，且有不等式22

1

[()]db

n

a

n

afxx









．

证：在[,]ab上的所有可积函数构成的集合中

定义内积为

(),()()()db

a

fxgxfxgxx，

则函数列()

n

x为标准正交系．

令1

()(),1,2,

m

mnn

n

Sxaxm



L，则,(),()

nn

nafxx，

又2[()()]db

m

a

fxSxx

22()d2()()d()d

nn

fxxfxSxxSxx





，

2()d2(),()(),()

nnn

fxxfxSxSxSx







而11

(),()(),()(),()

mm

nnnnn

nn

fxSxfxaxafxx





2

1

m

n

n

a





．

11

(),()(),()(),()

mm

nnnkkknk

kk

SxSxSxaxaSxx





2

11

(),()

mm

kkkkk

kk

aaxxa





，

于是222

1

()d[()()]d0

m

b

nm

a

n

fxxafxSxx











，

所以22

1

1,[()]d

m

b

n

a

n

mafxx







，即()

m

Sx有上界．

故2

1

n

n

a







收敛，且22

1

[()]db

n

a

n

afxx









．