高中数学函数

高中数学函数

薛定鄂-zhun

2023年2月19日发(作者：马善祥)

高中数学函数知识点总结

1.对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。

2进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况

注重借助于数轴和文氏图解集合问题。

空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。

如：集合，AxxxBxax||22301

若，则实数的值构成的集合为BAa

3.注意下列性质：

（）集合，，……，的所有子集的个数是；12

12

aaa

n

n

要知道它的来历：若B为A的子集，则对于元素a1来说，有2种选择（在或者不在）。

同样，对于元素a2,a3,……an,都有2种选择，所以，总共有2n种选择，即集合A有2n

个子集。

当然，我们也要注意到，这2n种情况之中，包含了这n个元素全部在何全部不在的情况，

故真子集个数为21n，非空真子集个数为22n

（）若，；2ABABAABB

（3）德摩根定律：

CCCCCC

UUUUUU

ABABABAB，

有些版本可能是这种写法，遇到后要能够看懂

4.你会用补集思想解决问题吗（排除法、间接法）

如：已知关于的不等式的解集为，若且，求实数x

ax

xa

MMMa







5

035

2

的取值范围。

7.对映射的概念了解吗映射f：A→B，是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元

素的唯一性，哪几种对应能构成映射

（一对一，多对一，允许B中有元素无原象。）

注意映射个数的求法。如集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，则从A到B

的映射个数有nm个。

如：若}4,3,2,1{A，},,{cbaB；问：

A

到

B

的映射有个，

B

到

A

的映射有个；

A到B的函数有个，若}3,2,1{A，则A到B的一一映射有个。

函数)(xy的图象与直线ax交点的个数为个。

8.函数的三要素是什么如何比较两个函数是否相同

（定义域、对应法则、值域）

相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致(两点必须同时具备)

9.求函数的定义域有哪些常见类型





例：函数的定义域是y

xx

x







4

32lg

函数定义域求法：

分式中的分母不为零；

偶次方根下的数（或式）大于或等于零；

10.如何求复合函数的定义域

如：函数的定义域是，，，则函数的定fxabbaF(xfxfx())()()0

义域是_____________。

例若函数)(xfy的定义域为













2,

2

1

，则的定义域为。

11、函数值域的求法

1、直接观察法

对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。

例求函数y=

x

1

的值域

2、配方法

配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例、求函数y=2x-2x+5，x[-1，2]的值域。

3、判别式法

对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也

可以用其他方法进行化简，不必拘泥在判别式上面

.

1

1

2

..

2

2

2

2

2

2

22

b

ay型：直接用不等式性质

k+x

bx

b.y型,先化简，再用均值不等式

xmxn

x1

例：y

1+x

x+

x

xmxn

cy型通常用判别式

xmxn

xmxn

d.y型

xn

法一：用判别式

法二：用换元法，把分母替换掉

xx1（x+1）（x+1）+11

例：y（x+1）1211

x1x1x1





























5、函数有界性法

直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。我们所

说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。

6、函数单调性法

通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容

7、换元法

通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角

函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发

挥作用。

例求函数y=x+1x的值域。

8数形结合法

其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这

类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。

例：求函数y=)2(2x+)8(2x的值域。

倒数法

有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况

例求函数y=

3

2





x

x

的值域

12.求一个函数的解析式时，注明函数的定义域了吗

切记：做题，特别是做大题时，一定要注意附加条件，如定义域、单位等东西要记

得协商，不要犯我当年的错误，与到手的满分失之交臂

如：，求fxexfxx1().

15.如何用定义证明函数的单调性

（取值、作差、判正负）

判断函数单调性的方法有三种：

(1)定义法：

根据定义，设任意得x1,x2，找出f(x1),f(x2)之间的大小关系

可以变形为求12

12

()()fxfx

xx





的正负号或者1

2

()

()

fx

fx

与1的关系

(2)参照图象：

①若函数f(x)的图象关于点(a，b)对称，函数f(x)在关于点(a，0)的对称区间具有相

同的单调性；（特例：奇函数）

②若函数f(x)的图象关于直线x＝a对称，则函数f(x)在关于点(a，0)的对称区间里具

有相反的单调性。（特例：偶函数）

(3)利用单调函数的性质：

①函数f(x)与f(x)＋c(c是常数)是同向变化的

②函数f(x)与cf(x)(c是常数)，当c＞0时，它们是同向变化的；当c＜0时，它们是

反向变化的。

③如果函数f1(x)，f2(x)同向变化，则函数f1(x)＋f2(x)和它们同向变化；（函数相加）

④如果正值函数f1(x)，f2(x)同向变化，则函数f1(x)f2(x)和它们同向变化；如果负

值函数f1(2)与f2(x)同向变化，则函数f1(x)f2(x)和它们反向变化；（函数相乘）

⑤函数f(x)与1

()fx

在f(x)的同号区间里反向变化。

⑥若函数u＝φ(x)，x[α，β]与函数y＝F(u)，u∈[φ(α)，φ(β)]或u∈[φ(β),

φ(α)]同向变化，则在[α，β]上复合函数y＝F[φ(x)]是递增的；若函数u＝φ

(x),x[α，β]与函数y＝F(u)，u∈[φ(α)，φ(β)]或u∈[φ(β)，φ(α)]反向变

化，则在[α，β]上复合函数y＝F[φ(x)]是递减的。（同增异减）

⑦若函数y＝f(x)是严格单调的，则其反函数x＝f－1(y)也是严格单调的，而且，它们的

增减性相同。

17.函数

f(x)具有奇

偶性的条件

是什么

（f(x)

定义域关于原点对称）

若总成立为奇函数函数图象关于原点对称fxfxfx()()()

若总成立为偶函数函数图象关于轴对称fxfxfxy()()()

注意如下结论：

（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；

一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。

f(g)g(x)f[g(x)]f(x)+g(x)f(x)*g(x)

都是正数

增增增增增

增减减//

减增减//

减减增减减

（）若是奇函数且定义域中有原点，则。2f(x)f(0)0

（3）f（x）是定义域在（-6,0），（0，6）上的奇函数，若x＞0时f（x）=求

x＜0时f（x）

判断函数奇偶性的方法

一、定义域法

一个函数是奇（偶）函数，其定义域必关于原点对称，它是函数为奇（偶）函数的必要

条件.若函数的定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数.

二、奇偶函数定义法

在给定函数的定义域关于原点对称的前提下，计算)(xf，然后根据函数的奇偶性的定义

判断其奇偶性.

这种方法可以做如下变形

f(x)+f(-x)=0奇函数

f(x)-f(-x)=0偶函数

f(x)

1偶函数

f(-x)

f(x)

1奇函数

f(-x)





三、复合函数奇偶性

f(g)g(x)f[g(x)]f(x)+g(x)f(x)*g(x)

奇奇奇奇偶

奇偶偶非奇非偶奇

18.（若存在实数（），在定义域内总有，则为周期TTfxTfxfx0()()函数，T是一个周

期。）

如：若，则fxafx()

我们在做题的时候，经常会遇到这样的情况：告诉你f(x)+f(x+t)=0,我们要马上反应过

来，这时说这个函数周期2t.推导：

()()0

()(2)

()(2)0

fxfxt

fxfxt

fxtfxt













，

同时可能也会遇到这种样子：f(x)=f(2a-x),或者说f(a-x)=f(a+x).其实这都是说同样

一个意思：函数f(x)关于直线对称，对称轴可以由括号内的2个数字相加再除以2得

到。比如，f(x)=f(2a-x),或者说f(a-x)=f(a+x)就都表示函数关于直线x=a对称。

()

()()()()

()(2)

(2)(2)

()(2)

2,222,()(22)

()(22)

,()2||(,,

,

fxxaxb

faxfaxfbxfbx

fxfax

faxfbx

fxfbx

taxbxtbaftftba

fxfxba

fxbaab























又如：若图象有两条对称轴，

即，

令则

即

所以函数以为周期因不知道的大小关系

为保守起见我加了一个绝对值

如：

偶奇偶非奇非偶奇

偶偶偶偶偶

19.你掌握常用的图象变换了吗

fxfxy()()与的图象关于轴对称联想点（x,y）,(-x,y)

fxfxx()()与的图象关于轴对称联想点（x,y）,(x,-y)

fxfx()()与的图象关于原点对称联想点（x,y）,(-x,-y)

fxfxyx()()与的图象关于直线对称1联想点（x,y）,(y,x)

fxfaxxa()()与的图象关于直线对称2联想点（x,y）,(2a-x,y)

fxfaxa()()()与的图象关于点，对称20联想点（x,y）,(2a-x,0)

将图象

左移个单位

右移个单位

yfx

aa

aa

yfxa

yfxa













()

()

()

()

()

0

0

上移个单位

下移个单位

bb

bb

yfxab

yfxab

()

()

()

()











0

0

注意如下“翻折”变换：

()|()|x

()(||)y

fxfx

fxfx





把轴下方的图像翻到上面

把轴右方的图像翻到上面

19.

(k0)

y=b

O’(a,b)

Ox

x=a

（）一次函数：10ykxbk(k为斜率，b为直线与y轴的交点)

（）反比例函数：推广为是中心，200y

k

x

kyb

k

xa

kOab



'()

的双曲线。

（）二次函数图象为抛物线30

2

4

4

2

2

2

yaxbxcaax

b

a

acb

a



















顶点坐标为，，对称轴

















b

a

acb

a

x

b

a2

4

42

2

开口方向：，向上，函数ay

acb

a





0

4

4

2

min

ay

acb

a





0

4

4

2

，向下，

max

121212

2

,,||

||

b

x

a

bc

xxxxxx

aaa







根的关系：

2

2

1212

1212

()()

()()(mn

()()()(,2

()()()(,)(,)

fxaxbxc

fxaxmn

fxaxxxxxx

fxaxxxxhxhxh









二次函数的几种表达形式：

一般式

顶点式，（，）为顶点

是方程的个根）

函数经过点（

应用：①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——二次

方程

axbxcxxyaxbxcx2

12

200，时，两根、为二次函数的图象与轴

的两个交点，也是二次不等式解集的端点值。axbxc200()

②求闭区间［m，n］上的最值。

2

max(),min()

2

max(),min()

2

2

2

4

min,maxmax((),())

4

m,n

0

b

nffmffn

a

b

mffnffm

a

b

nm

a

cb

a

fffmfn

a

a













区间在对称轴左边（）

区间在对称轴右边（）

区间在对称轴边（）

也可以比较和对称轴的关系，距离越远，值越大

(只讨论的情况）

③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。

④一元二次方程根的分布问题。

如：二次方程的两根都大于axbxck

b

a

k

fk

20

0

2

0

























()

y

(a>0)

Okx

1

x

2

x

一根大于，一根小于kkfk()0

0

mn2

2

()0

()0

mn()()0

b

mn

a

fm

fn

fmfn































在区间（，）内有根

在区间（，）内有1根

（）指数函数：，401yaaax

（）“对勾函数”60yx

k

x

k

利用它的单调性求最值

y

Ox

k

k

21.如何解抽象函数问题

（赋值法、结构变换法）

如：（），满足，证明为奇函数。1xRfxfxyfxfyfx()()()()()

（先令再令，……）xyfyx000()

（），满足，证明是偶函数。2xRfxfxyfxfyfx()()()()()

（先令·xytfttftt()()()

∴ftftftft()()()()

∴……）ftft()()

（）证明单调性：……3

2212

fxfxxx()

（对于这种抽象函数的题目，其实简单得都可以直接用死记了

1、代y=x，

2、令x=0或1来求出f(0)或f(1)

3、求奇偶性，令y=—x；求单调性：令x+y=x1

几类常见的抽象函数

1.正比例函数型的抽象函数

f（x）＝kx（k≠0）---------------f（x±y）＝f（x）±f（y）

2.幂函数型的抽象函数

f（x）＝xa----------------f（xy）＝f（x）f（y）；f（

y

x

）＝

)(

)(

yf

xf

例1已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且当x>0

时，f(x)>0，f(－1)＝－2求f(x)在区间[－2,1]上的值域.

例2已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（x＋y）＋2＝f（x）＋f（y），且当

x>0时，f(x)>2，f(3)＝5，求不等式f（a2－2a－2）<3的解.

例3已知函数f（x）对任意实数x、y都有f（xy）＝f（x）f（y），且f（－1）＝

1，f（27）＝9，当0≤x＜1时，f（x）∈[0，1].

（1）判断f（x）的奇偶性；

（2）判断f（x）在[0，＋∞]上的单调性，并给出证明；

（3）若a≥0且f（a＋1）≤39，求a的取值范围.

例4设函数f（x）的定义域是（－∞，＋∞），满足条件：存在x1≠x2，使得f

（x1）≠f（x2）；对任何x和y，f（x＋y）＝f（x）f（y）成立.求：

（1）f（0）；

（2）对任意值x，判断f（x）值的符号.

例5是否存在函数f（x），使下列三个条件：①f（x）>0,x∈N；②f（a＋b）＝f

（a）f（b），a、b∈N；③f（2）＝4.同时成立若存在，求出f（x）的解析式，若不存

在，说明理由.

例6设f（x）是定义在（0，＋∞）上的单调增函数，满足f（x·y）＝f（x）＋f

（y），f（3）＝1，求：

（1）f（1）；

（2）若f（x）＋f（x－8）≤2，求x的取值范围.

例7设函数y＝f（x）的反函数是y＝g（x）.如果f（ab）＝f（a）＋f（b），那

么g（a＋b）＝g（a）·g（b）是否正确，试说明理由.

例9已知函数f（x）（x≠0）满足f（xy）＝f（x）＋f（y），

（1）求证：f（1）＝f（－1）＝0；

（2）求证：f（x）为偶函数；

（3）若f（x）在（0，＋∞）上是增函数，解不等式f（x）＋f（x－

2

1

）≤0.

例10已知函数f（x）对一切实数x、y满足f（0）≠0，f（x＋y）＝f（x）·f（y），

且当x＜0时，f（x）＞1，求证：

（1）当x＞0时，0＜f（x）＜1；

（2）f（x）在x∈R上是减函数.

练习题：

1.已知：f（x＋y）＝f（x）＋f（y）对任意实数x、y都成立，则（）

（A）f（0）＝0（B）f（0）＝1

（C）f（0）＝0或1（D）以上都不对

2.若对任意实数x、y总有f（xy）＝f（x）＋f（y），则下列各式中错误的是（）

（A）f（1）＝0（B）f（

x

1

）＝f（x）

（C）f（

y

x

）＝f（x）－f（y）（D）f（xn）＝nf（x）（n∈N）

3.已知函数f（x）对一切实数x、y满足：f（0）≠0，f（x＋y）＝f（x）f（y），且当

x＜0时，f（x）＞1，则当x＞0时，f（x）的取值范围是（）

（A）（1，＋∞）（B）（－∞，1）

（C）（0，1）（D）（－1，＋∞）

4.函数f（x）定义域关于原点对称，且对定义域内不同的x1、x2都有

f（x1－x2）＝

)()(1

)()(

21

21

xfxf

xfxf





，则f（x）为（）

（A）奇函数非偶函数（B）偶函数非奇函数

（C）既是奇函数又是偶函数（D）非奇非偶函数

5.已知不恒为零的函数f（x）对任意实数x、y满足f（x＋y）＋f（x－y）＝2[f（x）

＋f（y）]，则函数f（x）是（）

（A）奇函数非偶函数（B）偶函数非奇函数

（C）既是奇函数又是偶函数（D）非奇非偶函数

函数

1.函数的奇偶性

（1）若f(x)是偶函数，那么f(x)=f(－x)=;

（2）若f(x)是奇函数，0在其定义域内，则（可用于求参数）；

（3）判断函数奇偶性可用定义的等价形式：f(x)±f(-x)=0或（f(x)≠0）;

(4)若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性；

（5）奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的单调

性；

2.复合函数的有关问题

（1）复合函数定义域求法：若已知的定义域为［a，b］,其复合函数f[g(x)]的定义域

由不等式a≤g(x)≤b解出即可；若已知f[g(x)]的定义域为[a,b],求f(x)的定义域，相当于

x∈[a,b]时，求g(x)的值域（即f(x)的定义域）；研究函数的问题一定要注意定义域优先的

原则。

（2）复合函数的单调性由“同增异减”判定；

3.函数图像（或方程曲线的对称性）

(1)证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像

上；

（2）证明图像C1与C2的对称性，即证明C1上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在

C2上，反之亦然；

（3）曲线C1：f(x,y)=0,关于y=x+a(y=-x+a)的对称曲线C2的方程为f(y－a,x+a)=0(或f(－

y+a,－x+a)=0);

（4）曲线C1:f(x,y)=0关于点（a,b）的对称曲线C2方程为：f(2a－x,2b－y)=0;

（5）若函数y=f(x)对x∈R时，f(a+x)=f(a－x)恒成立，则y=f(x)图像关于直线x=a对称；

（6）函数y=f(x－a)与y=f(b－x)的图像关于直线x=对称；

4.函数的周期性

(1)y=f(x)对x∈R时，f(x+a)=f(x－a)或f(x－2a)=f(x)(a>0)恒成立,则y=f(x)是周期

为2a的周期函数；

（2）若y=f(x)是偶函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为2︱a︱的周期函数；

（3）若y=f(x)奇函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为4︱a︱的周期函数；

（4）若y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称，则f(x)是周期为2的周期函数；

（5）y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b(a≠b)对称，则函数y=f(x)是周期为2的周期函数；

（6）y=f(x)对x∈R时，f(x+a)=－f(x)(或f(x+a)=，则y=f(x)是周期为2的周期函

数；

5.方程k=f(x)有解k∈D(D为f(x)的值域)；

≥f(x)恒成立a≥［f(x)］max,;a≤f(x)恒成立a≤［f(x)］min;

7.（1）(a>0,a≠1,b>0,n∈R+);(2)logaN=(a>0,a≠1,b>0,b≠1);

(3)logab的符号由口诀“同正异负”记忆;(4)alogaN=N(a>0,a≠1,N>0);

8.判断对应是否为映射时，抓住两点：（1）A中元素必须都有象且唯一；（2）B中元素不一

定都有原象，并且A中不同元素在B中可以有相同的象；

9.能熟练地用定义证明函数的单调性，求反函数，判断函数的奇偶性。

10.对于反函数，应掌握以下一些结论：（1）定义域上的单调函数必有反函数；（2）奇函数的

反函数也是奇函数；（3）定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数;（4）周期函数不存在

反函数；（5）互为反函数的两个函数具有相同的单调性；(5)y=f(x)与y=f-1(x)互为反函数，

设f(x)的定义域为A，值域为B，则有f[f-－1(x)]=x(x∈B),f-－1[f(x)]=x(x∈A).

11.处理二次函数的问题勿忘数形结合；二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看

法”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系；

12.依据单调性，利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的范围问题：

(或（或）；

13.恒成立问题的处理方法：（1）分离参数法；（2）转化为一元二次方程的根的分布列不等

式(组)求解；