二次函数定义

二次函数定义

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2023年2月19日发(作者：维普期刊资源整合服务平台)

(完整)二次函数的定义、图像及性质

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授课内

容

二次函数的定义、图像及性质授课老

师

XX老师

授课时

间

2018。11。1618：30—20：30授课时

长

4学时

学生姓

名

xx年级九年级学校xx

下节内

容

二次函数的实践与探索

二次函数的定义、图像及性质

一、基本概念:

1．二次函数的概念：一般地，形如2yaxbxc（abc，，是常数,0a）的函数,叫做二次函数.这里需

要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a,而bc，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．

2.二次函数2yaxbxc的结构特征：

⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．

⑵abc，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．

二、基本形式

1。二次函数基本形式：2yax的性质：

a的绝对值越大，抛物线的开口越小。

a的符号

开口方

向

顶点坐

标

对称

轴

性质

0a向上

00，

y

轴

0x时，

y

随x的增大而增大；0x时，

y

随

x的增大而减小；0x时，

y

有最小值0．

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2.

2yaxc的性质：（上加下减)

3。

2yaxh的性质：（左加右减）

4。

2yaxhk的性质：

三、二次

函数图象

的平移

1。平移步

骤：

方法1：

⑴将抛物线

解析式转化成顶点式2yaxhk，确定其顶点坐标hk，;

0a向下

00，

y

轴

0x时，

y

随x的增大而减小；0x时,

y

随

x的增大而增大;0x时，

y

有最大值0．

a的符号

开口方

向

顶点坐

标

对称

轴

性质

0a向上

0c，

y

轴

0x时，

y

随x的增大而增大;0x时，

y

随

x的增大而减小；0x时，

y

有最小值c．

0a向下

0c，

y

轴

0x时，

y

随x的增大而减小；0x时，

y

随

x

的增大而增大；0x时，

y

有最大值

c

．

a的符号

开口方

向

顶点坐

标

对称

轴

性质

0a向上

0h，X=h

xh时，

y

随x的增大而增大；xh时,

y

随

x的增大而减小；xh时,

y

有最小值0．

0a向下

0h，X=h

xh时,

y

随x的增大而减小；xh时，

y

随

x的增大而增大；xh时，

y

有最大值0．

a的符号

开口方

向

顶点坐

标

对称

轴

性质

0a向上

hk，X=h

xh时，

y

随x的增大而增大；xh时，

y

随x的增大而减小；xh时，

y

有最小值k．

0a向下

hk，X=h

xh时,

y

随x的增大而减小;xh时，

y

随

x的增大而增大;xh时，

y

有最大值k．

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⑵保持抛物线2yax的形状不变，将其顶点平移到hk，处，具体平移方法如下：

向右(h>0)【或左(h<0)】

平移|k|个单位

向上(k>0)【或下(k<0)】

平移|k|个单位

向右(h>0)【或左(h<0)】

平移|k|个单位

向右(h>0)【或左(h<0)】

平移|k|个单位

向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位

向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位

y=a(x-h)2+k

y=a(x-h)2

y=ax2+ky=ax2

2。平移规律

在原有函数的基础上“

h

值正右移，负左移；

k

值正上移,负下移”．概括成八个字“左加右减，上

加下减”．

方法2：

⑴cbxaxy2沿y轴平移:向上（下）平移m个单位,cbxaxy2变成

mcbxaxy2（或mcbxaxy2）

⑵cbxaxy2沿轴平移：向左(右）平移m个单位，cbxaxy2变成cmxbmxay)()(2（或

cmxbmxay)()(2）

四、二次函数

2yaxhk与2yaxbxc的比较

从解析式上看,2yaxhk与2yaxbxc是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，

即

2

24

24

bacb

yax

aa











，其中

24

24

bacb

hk

aa



，

．

五、二次函数2yaxbxc图象的画法

五点绘图法:利用配方法将二次函数2yaxbxc化为顶点式2()yaxhk，确定其开口方

向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图。一般我们选取的五点为：顶

点、与

y

轴的交点0c，、以及0c，关于对称轴对称的点2hc，、与x轴的交点

1

0x，，

2

0x，(若

与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）。

画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与

y

轴的交点。

六、二次函数2yaxbxc的性质

1。当0a时，抛物线开口向上，对称轴为

2

b

x

a

，顶点坐标为24

24

bacb

aa











，．

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当

2

b

x

a



时，

y

随x的增大而减小；当

2

b

x

a



时，

y

随x的增大而增大;当

2

b

x

a



时，

y

有最小值

24

4

acb

a



．

2.当0a时,抛物线开口向下，对称轴为

2

b

x

a



,顶点坐标为24

24

bacb

aa











，．当

2

b

x

a



时，

y

随x的

增大而增大；当

2

b

x

a



时，

y

随x的增大而减小；当

2

b

x

a



时，

y

有最大值24

4

acb

a



．

七、二次函数解析式的表示方法

1。一般式：2yaxbxc(a，b,c为常数,0a）；

2.顶点式：2()yaxhk（a，h，k为常数,0a）；

3。两根式：

12

()()yaxxxx（0a，

1

x，

2

x是抛物线与x轴两交点的横坐标）.

注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，

只有抛物线与x轴有交点，即240bac时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析

式的这三种形式可以互化。

八、二次函数的图象与各项系数之间的关系

1.二次项系数a

二次函数2yaxbxc中，a作为二次项系数,显然0a．

⑴当0a时，抛物线开口向上,a的值越大，开口越小,反之a的值越小，开口越大；

⑵当0a时，抛物线开口向下，a的值越小,开口越小，反之a的值越大，开口越大．

总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向,a的大小决定开口的大小．

2.一次项系数b

在二次项系数a确定的前提下,b决定了抛物线的对称轴．

⑴在0a的前提下，

当0b时，

0

2

b

a

，即抛物线的对称轴在

y

轴左侧；

当0b时，

0

2

b

a

，即抛物线的对称轴就是

y

轴;

当0b时，

0

2

b

a

，即抛物线对称轴在

y

轴的右侧．

⑵在0a的前提下，结论刚好与上述相反,即

当0b时,

0

2

b

a

，即抛物线的对称轴在

y

轴右侧；

当0b时,

0

2

b

a

，即抛物线的对称轴就是

y

轴；

当0b时,

0

2

b

a

，即抛物线对称轴在

y

轴的左侧．

总结起来，在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置．

ab的符号的判定:对称轴

a

b

x

2

在y轴左边则0ab，在y轴的右侧则0ab,概括的说就是“左

同右异”

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总结：

3。常数项

c

⑴当0c时，抛物线与

y

轴的交点在

x

轴上方，即抛物线与

y

轴交点的纵坐标为正；

⑵当0c时,抛物线与

y

轴的交点为坐标原点，即抛物线与

y

轴交点的纵坐标为0；

⑶当0c时，抛物线与

y

轴的交点在

x

轴下方,即抛物线与

y

轴交点的纵坐标为负．

总结起来，

c

决定了抛物线与

y

轴交点的位置．总之，只要abc，，都确定，那么这条抛物线就是

唯一确定的．

二次函数解析式的确定：

根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须

根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说,有如下几种情况：

1.已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式;

2.已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；

3.已知抛物线与

x

轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；

4.已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．

九、二次函数图象的对称

二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达

1.关于x轴对称

2yaxbxc关于x轴对称后，得到的解析式是2yaxbxc;

2yaxhk关于x轴对称后，得到的解析式是2yaxhk；

2。关于

y

轴对称

2yaxbxc关于

y

轴对称后，得到的解析式是2yaxbxc；

2yaxhk关于

y

轴对称后,得到的解析式是2yaxhk;

3.关于原点对称

2yaxbxc关于原点对称后，得到的解析式是2yaxbxc；

2yaxhk关于原点对称后,得到的解析式是2yaxhk；

4。关于顶点对称(即：抛物线绕顶点旋转180°)

2yaxbxc关于顶点对称后，得到的解析式是2

2

2

b

yaxbxc

a



;

2yaxhk关于顶点对称后,得到的解析式是2yaxhk．

5.关于点mn，对称

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2yaxhk关于点mn，对称后,得到的解析式是222yaxhmnk

根据对称的性质,显然无论作何种对称变换,抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不变．求

抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式,习惯上是先确定

原抛物线（或表达式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方

向,然后再写出其对称抛物线的表达式．

十、二次函数与一元二次方程：

1.二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与x轴交点情况):

一元二次方程20axbxc是二次函数2yaxbxc当函数值0y时的特殊情况。

图象与x轴的交点个数:

①当240bac时，图象与x轴交于两点

12

00AxBx，，，

12

()xx，其中的

12

xx，是一元二次方程

200axbxca的两根．这两点间的距离2

21

4bac

ABxx

a



。

②当0时,图象与x轴只有一个交点；

③当0时,图象与x轴没有交点。

1'

当0a时，图象落在x轴的上方,无论x为任何实数,都有0y；

2'

当0a时，图象落在

x

轴

的下方，无论x为任何实数,都有0y．

2。抛物线2yaxbxc的图象与y轴一定相交，交点坐标为(0,)c；

3。二次函数常用解题方法总结：

⑴求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程;

⑵求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；

⑶根据图象的位置判断二次函数2yaxbxc中a，b，c的符号，或由二次函数中a，b,c的符号判

断图象的位置，要数形结合；

⑷二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标,或已知与x轴的一

个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标。

⑸与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)axbxca本身就是所含字母x的二次函数；

下面以0a时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系:

0抛物线与x轴

有两个交点

二次三项式的值可

正、可零、可负

一元二次方程有两个不相等实

根

0抛物线与x轴

只有一个交点

二次三项式的值为

非负

一元二次方程有两个相等的实

数根

0抛物线与x轴

无交点

二次三项式的值恒

为正

一元二次方程无实数根.

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二次函数考查重点与常见题型

1．考查二次函数的定义、性质,有关试题常出现在选择题中,如:

已知以x为自变量的二次函数

2)2(22mmxmy

的图像经过原点，则m的值是

2．综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考

查两个函数的图像，试题类型为选择题，如:

如图，如果函数

bkxy

的图像在第一、二、三象限内,那么函数12bxkxy的图像大致是（)

yyyy

11

0xo—1x0x0—1x

ABCD

3．考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和

选拔性的综合题，如:

已知一条抛物线经过（0，3），(4，6)两点，对称轴为

3

5

x，求这条抛物线的解析式.

4．考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值,有关试题为解答题，如:

已知抛物线2yaxbxc（a≠0）与x轴的两个交点的横坐标是－1、3，与y轴交点的纵坐标是－错误!

（1）确定抛物线的解析式；（2)用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.

5．考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。

【例题经典】

由抛物线的位置确定系数的符号

例1（1)二次函数2yaxbxc的图像如图1,则点),(

a

c

bM在（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

(2）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图2所示，•则下列结论：①a、b同号；②当x=1

和x=3时，函数值相等;③4a+b=0；④当y=—2时，x的值只能取0。其中正确的个数是（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

(1）(2)

【点评】弄清抛物线的位置与系数a，b，c之间的关系，是解决问题的关键．

例2.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点（—2，O)、(x

1

，0），且1〈x

1

〈2，与y轴的正半

轴的交点在点(O，2）的下方．下列结论：①aO；③4a+c

论的个数为()

A1个B.2个C.3个D．4个

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会用待定系数法求二次函数解析式

例3.已知：关于x的一元二次方程ax2+bx+c=3的一个根为x=-2,且二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直

线x=2，则抛物线的顶点坐标为（)

A（2,—3）B。（2，1）C(2，3）D．(3,2)

例4、（2006年烟台市）如图（单位：m），等腰三角形ABC以2米/秒的速度沿直线L向正方形移动，直

到AB与CD重合．设x秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为ym2．

（1)写出y与x的关系式;

（2）当x=2，3。5时，y分别是多少？

（3）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，

三角形移动了多长时间？求抛物线顶点坐标、

对称轴.

例5、已知抛物线y=

1

2

x2+x—

5

2

．

(1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴．

（2）若该抛物线与x轴的两个交点为A、B，求线段AB的长．

【点评】本题（1)是对二次函数的“基本方法”的考查，第(2）问主要考查二次函数与一元二次方程的

关系．

例6.已知：二次函数y=ax2-（b+1)x—3a的图象经过点P（4,10)，交x轴于)0,(

1

xA,)0,(

2

xB两点)(

21

xx，

交y轴负半轴于C点，且满足3AO=OB．

(1)求二次函数的解析式；(2）在二次函数的图象上是否存在点M,使锐角∠MCO〉∠ACO？若存在，请你

求出M点的横坐标的取值范围;若不存在，请你说明理由．

例7、“已知函数cbxxy2

2

1

的图象经过点A（c，－2），

求证：这个二次函数图象的对称轴是x=3.”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。

（1）根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式？若能，请写出求解过程，

并画出二次函数图象；若不能，请说明理由.

（2）请你根据已有的信息,在原题中的矩形框中，填加一个适当的条件，把原题补充完整.

点评：对于第（1）小题，要根据已知和结论中现有信息求出题中的二次函数解析式，就要把原来的

结论“函数图象的对称轴是x=3”当作已知来用，再结合条件“图象经过点A（c，－2)”，就可以列出

两个方程了，而解析式中只有两个未知数，所以能够求出题中的二次函数解析式。对于第（2）小题，

只要给出的条件能够使求出的二次函数解析式是第（1）小题中的解析式就可以了.而从不同的角度考虑

可以添加出不同的条件,可以考虑再给图象上的一个任意点的坐标，可以给出顶点的坐标或与坐标轴的

一个交点的坐标等。

函数主要关注：通过不同的途径（图象、解析式等）了解函数的具体特征；借助多种现实背景理解函数；

将函数视为“变化过程中变量之间关系”的数学模型；渗透函数的思想；关注函数与相关知识的联系。

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用二次函数解决最值问题

例1已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE（如图），其中AF=2，BF=1．试在AB上求一

点P，使矩形PNDM有最大面积．

【评析】本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起，能很好考查

学生的综合应用能力．同时，也给学生探索解题思路留下了思维空间．

例2某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）•与产品的日销售量y（件）之间的

关系如下表：

x（元)1

5

2

0

3

0

…

y（件)2

5

2

0

1

0

…

若日销售量y是销售价x的一次函数．

（1）求出日销售量y（件）与销售价x（元）的函数关系式；

（2)要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？•此时每日销售利润是多少元？

【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似,也有区别，主要有两点：（1）设未知数在

“当某某为何值时，什么最大(或最小、最省）”的设问中,•“某某”要设为自变量，“什么”要设为函

数；（2）•问的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程．

例3.你知道吗?平时我们在跳大绳时,绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线．如图所示，正在甩绳

的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4m，距地面均为1m，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1m、

2．5m处．绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶．已知学生丙的身高是1．5m,则学生丁的身高为

(建立的平面直角坐标系如右图所示）

（)

A．1．5mB．1．625m

C．1．66mD．1．67m

分析：本题考查二次函数的应用