反比例函数定义

反比例函数定义

小学消防演练总结-西南财经大学图书馆

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反比例函数知识点总结

知识点1反比例函数的定义

一般地，形如

x

k

y〔k为常数，

0k

〕的函数称为反比例函数，它可以从以下几个方面来

理解：

⑴x是自变量，y是x的反比例函数；

⑵自变量x的取值X围是

0x

的一切实数，函数值的取值X围是0y；

⑶比例系数

0k

是反比例函数定义的一个重要组成局部；

⑷反比例函数有三种表达式：

①

x

k

y〔

0k

〕，

②1kxy〔

0k

〕，

③kyx〔定值〕〔

0k

〕；

⑸函数

x

k

y〔

0k

〕与

y

k

x〔

0k

〕是等价的，所以当y是x的反比例函数时，x也是

y的反比例函数。

〔k为常数，

0k

〕是反比例函数的一局部，当k=0时，

x

k

y，就不是反比例函数了，由

于反比例函数

x

k

y〔

0k

〕中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出k的

值，从而确定反比例函数的表达式。

知识点2用待定系数法求反比例函数的解析式

由于反比例函数

x

k

y〔

0k

〕中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求

出k的值，从而确定反比例函数的表达式。

知识点3反比例函数的图像及画法

反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第

四象限，它们与原点对称，由于反比例函数中自变量函数中自变量

0x

，函数值0y，所以它

的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。

反比例的画法分三个步骤：⑴列表；⑵描点；⑶连线。

再作反比例函数的图像时应注意以下几点：

①列表时选取的数值宜对称选取；

②列表时选取的数值越多，画的图像越准确；

③连线时，必须根据自变量大小从左至右〔或从右至左〕用光滑的曲线连接，切忌画成折线；

④画图像时，它的两个分支应全部画出，但切忌将图像与坐标轴相交。

知识点4反比例函数的性质

☆关于反比例函数的性质，主要研究它的图像的位置及函数值的增减情况，如下表：

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-..

反比例函数

x

k

y〔0k〕

k

的符号0k0k

图像

性质

①x的取值X围是

0x

，y的

取值X围是0y

②当

0k

时，函数图像的两个

分支分别在第一、第三象限，在

每个象限内，y随x的增大而减

小。

①x的取值X围是

0x

，y

的取值X围是0y

②当

0k

时，函数图像的两

个分支分别在第二、第四象

限，在每个象限内，y随x的

增大而增大。

注意：描述函数值的增减情况时，必须指出“在每个象限内……〞否那么，笼统地说，当

0k

时，

y随x的增大而减小“，就会与事实不符的矛盾。

反比例函数图像的位置和函数的增减性，是有反比例函数系数k的符号决定的，反过来，由反比例

函数图像〔双曲线〕的位置和函数的增减性，也可以推断出k的符号。如

x

k

y在第一、第三象限，

那么可知

0k

。

☆反比例函数

x

k

y〔

0k

〕中比例系数k的绝对值k的几何意义。

如下图，过双曲线上任一点P〔x，y〕分别作x轴、y轴的垂线，E、F

分别为垂足，

那么

OEPF

SPEPFyxxy

矩形

k

☆反比例函数

x

k

y〔

0k

〕中，k越大，双曲线

x

k

y越远离坐标原点；k越小，双曲线

x

k

y

越靠近坐标原点。

☆双曲线是中心对称图形，对称中心是坐标原点；双曲线又是轴对称图形，对称轴是直线y=x和

直线y=－x。

二、例题

【例1】如果函数222kkkxy的图像是双曲线，且在第二，四象限内，那么k的值是多

少？

【解析】有函数图像为双曲线那么此函数为反比例函数

x

k

y，〔0k〕即kxy1

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〔0k〕又在第二，四象限内，那么0k可以求出的值

【答案】由反比例函数的定义，得：











0

1222

k

kk

解得















0

2

1

1

k

kk或

1k

1k时函数222kkkxy为

x

y

1



【例2】在反比例函数

x

y

1

的图像上有三点

1

x

，

1

y

，

2

x

，

2

y

，

3

x，

3

y。假设

321

0xxx那么以下各式正确的选项是〔〕

A．

213

yyyB．

123

yyyC．

321

yyyD．

231

yyy

【解析】可直接以数的角度比拟大小，也可用图像法，还可取特殊值法。

解法一：由题意得

1

1

1

x

y

，

2

2

1

x

y

，

3

3

1

x

y

321

0xxx，

213

yyy所以选A

解法二：用图像法，在直角坐标系中作出

x

y

1

的图像

描出三个点，满足

321

0xxx观察图像直接得到

213

yyy选A

解法三：用特殊值法

2

,1,1,

2

1

1,1,2,0yyyyyyxxxxxx令

【例3】如果一次函数的图像与反比例函数

x

mn

ymnmxy





3

0相交于点〔2

2

1

，〕，

那么该直线与双曲线的另一个交点为〔〕

【解析】











































1

2

13

2

2

1

2

2

13

n

m

mn

nm

x

x

mn

ynmxy解得，，相交于与双曲线直线

-

.

-..









































2

2

1

1

1

1

12

1

,12

2

2

1

1

y

x

y

x

x

y

xy

x

yxy

得

解方程组双曲线为直线为

11，另一个点为

【例4】如图，在AOBRt中，点A是直线mxy与双曲线

x

m

y在第一象限的交点，

且2

AOB

S，那么m的值是_____.

图

解:因为直线mxy与双曲线

x

m

y过点A,设A点的坐标为

AA

yx,.

那么有

A

AAAx

m

ymxy,

.所以

AA

yxm.

又点A在第一象限,所以

AAAA

yyABxxOB,.

所以myxABOBS

AAAOB2

1

2

1

2

1

•



.而2

AOB

S.

所以4m.

三、练习题

1.反比例函数

x

y

2

的图像位于〔〕

A．第一、二象限B．第一、三象限C．第二、三象限D．第二、四象限

2.假设y与x成反比例，x与z成正比例，那么y是z的〔〕

A、正比例函数B、反比例函数C、一次函数D、不能确定

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o

y

x

y

x

o

y

x

o

y

x

o

ABCD

3.如果矩形的面积为6cm2，那么它的长

y

cm与宽

x

cm之间的函数图象大致为〔〕

4.某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，

气球内气体的气压P(kPa)是气体体积V(m3)

的反比例函数，其图象如下图．当气球内气压大于120kPa

时，气球将爆炸．为了平安起见，气球的体积应〔〕

A、不小于

5

4

m3B、小于

5

4

m3C、不小于

4

5

m3D、小于

4

5

m3

5．如图，A、C是函数

x

y

1

的图象上的任意两点，过A作x

轴的垂线，垂足为B，过C作y轴的垂线，垂足为D，记Rt

ΔAOB的面积为S

1

，RtΔCOD的面积为S

2

那么〔〕

A．S

1

＞S

2

B．S

1

2

C．S

1

=S

2

D．S

1

与S

2

的大小关系不能确定

6．关于x的一次函数y=-2x+m和反比例函数y=

1n

x



的图象都经过点A〔-2，1〕.

求：〔1〕一次函数和反比例函数的解析式；

〔2〕两函数图象的另一个交点B的坐标；

〔3〕△AOB的面积．

O

y

x

A

B

C

D

-

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7.如下图，一次函数y＝ax＋b的图象与反比例函数y＝

k

x

的图象交于A、B两点，与x

轴交于点C．点A的坐标为〔－2，1〕，点B的坐标为〔

1

2

，m〕．

〔1〕求反比例函数和一次函数的解析式；

〔2〕根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值X围．

O

C

A

B

8．某蓄水池的排水管每小时排水8m3，6小时可将满池水全部排空．

〔1〕蓄水池的容积是多少？

〔2〕如果增加排水管，使每小时的排水量到达Q〔m3〕，那么将满池水排空所需的

时间t〔h〕将如何变化？

〔3〕写出t与Q的关系式．

〔4〕如果准备在5小时内将满池水排空，那么每小时的排水量至少为多少？

〔5〕排水管的最大排水量为每小时12m3，那么最少需多长时间可将满池水全部排

空？

9.某商场出售一批名牌衬衣，衬衣进价为60元，在营销中发现，该衬衣的日销售量y〔件〕

是日销售价x元的反比例函数，且当售价定为100元/件时，每日可售出30件.

〔1〕请写出y关于x的函数关系式；

〔2〕该商场方案经营此种衬衣的日销售利润为1800元，那么其售价应为多少元？

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10．如图，在直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数

m

y

x

的图

象交于A(-2，1)、B(1，n)两点。

(1)求上述反比例函数和一次函数的表达式；

(2〕观察图象，写出一次函数值小于反比例函数值的x的取值X

围？

(3)求△AOB的面积。

四、课后作业

1．对与反比例函数

x

y

2

，以下说法不正确的选项是〔〕

A．点〔1,2〕在它的图像上B．它的图像在第一、三象限

C．当0x时，的增大而增大随xyD．当0x时，的增大而减小随xy

2.反比例函数0

k

yk

x

的图象经过点〔1，-2〕，那么这个函数的图象一定经过〔〕

A、〔2，1〕B、〔2，-1〕C、〔2，4〕D、〔-1，-2〕

3．在同一直角坐标平面内，如果直线xky

1

与双曲线

x

k

y2没有交点，那么

1

k和

2

k的

关系一定是〔〕

A.

1

k+

2

k=0B.

1

k·

2

k<0C.

1

k·

2

k>0D.

1

k=

2

k

4.反比例函数y＝

k

x

的图象过点P〔－1.5，2〕，那么k＝________．

5.点P〔2m－3，1〕在反比例函数y＝

1

x

的图象上，那么m＝__________．

6.反比例函数的图象经过点〔m，2〕和〔－2，3〕那么m的值为__________．

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7.反比例函数

x

m

y

21

的图象上两点

2211

,,,yxByxA

，当

21

0xx

时，有

21

yy

，

那么m的取值X围是？

8.y与x-1成反比例，并且x＝-2时y＝7，求：

(1)求y和x之间的函数关系式；(2)当x=8时，求y的值；

(3)y＝-2时，x的值。

9.3b,且反比例函数

x

b

y





1

的图象在每个象限内，y随x的增大而增大,如果点3,a

在双曲线上

x

b

y





1

，求a是多少？