高中几何题

高中几何题

实训报告心得体会-计算机资格证

2023年2月18日发(作者：拼音表)

高中联赛难度几何题100道

（精华双图版）

第一题：证明角平分

已知PE、PF是⊙O的切线，A、B是一组对径点，PB交⊙O于另一点C，直线AF、BE交于D点。

求证：PCEPCD。

第二题：证明四点共圆

如图，AB是⊙O的直径，C,D是圆上异于A、B,且在AB同侧的两点，分别过C、D作⊙的O切线，

它们交于点E,线段AD与BC的交点为F,线段AB与EF的交点为M,求证：E、C、M、D四点

共圆。

第三题：证明角的倍数关系

如图，PE、PF是以AB为直径圆的切线E、F是切点，PB交圆于C点，AF、BE交于D点，AB

是直径。求证：ACDDPE2。

第四题：证明线与圆相切

已知：ABC中，90A，AD切⊙ABC，AD交BC延长线于D，E是A关于BC的对称点，

BEAY于Y，X是AY中点，延长BX交⊙ABC于J，求证：BD切AJD外接圆。

第五题：证明垂直

已知四边形ABCD内接于以BD为直径的圆，设'A为A关于BD为对称点，'B是B关于AC对称点，直

线AC交'DB于Q，直线DB交'CA于P。求证：ACPQ。

第六题：证明线段相等

已知：BC、BD是⊙O切线，C、D是切点，BJA是割线，A、J在圆上，J离B较近，

AODE于E，交AB于F，AC交DE于G，求证：FGDF。

第七题：证明线段为比例中项

已知ABC中，BCAC，M是AB的中点，FG经过点M，且CFG与ABC有相同的内心。

求证：GMFMAM2

。

第八题：证明垂直

已知：ABC为非直角三角形，AD平分BAC，D在BC上，ACDF于F，ABDE于E，CE

交BF于P。求证：BCAP。

第九题：证明线段相等

过圆O外一点P作圆O的两条切线PC、PD，切点分别为C、D，过劣弧CD上一点E作圆O的另一

条切线分别交PC、PD于A、B，连结OE交CD于点N，连结PN交AB于点M。

求证：MBMA。

第十题：证明角平分

已知PA、PB是⊙O切线，DE是过C的切线，D、E分别在AP、PB上，ABCF于F，连接DF、

EF。求证：EFCDFC

第十一题：证明垂直

设PAB是圆O的割线，PC是切线，CD是圆O的直径，DB、OP相交于E。求证：CEAC。

第十二题：证明线段相等

设C、D是以O为圆心AB为直径的半圆上两点，过B做圆O的切线交CD于P，直线PO交直线CA、

AD分别于E、F。求证:OFOE。

第十三题：证明角相等

如图，ABC中，D、E分别为AB、AC上一点，且BCDE//，BE、CD交于点F，BDF的外

接圆⊙O，与CEF的外接圆⊙P交于点G，求证：CAGBAF。

第十四题：证明中点

如图，⊙O、⊙P交于A、B两点，BO、PA延长线交于点C，CD、CE分别切⊙O、⊙P于D、E，

连接DE交AB于F，求证：F为DE中点。

第十五题：证明线段的二次等式

如图，半径不相等的两圆⊙O、⊙P交于A、B两点，过A的直线CD分别交⊙O、⊙P于C、D，CB

延长线交⊙P于F，DB延长线交⊙O于E，过A作CD垂线交EF中垂线于G，求证：

ADACEGAG22

第十六题：证明角平分

如图，ABC内接于⊙O，D为BC中点，AD交⊙O于E，过E作BCEF//，交⊙O于F，过C作

ACCG，交AE于G。求证：FGCAGC。

第十七题：证明中点

如图，ABC内切圆⊙I切BC于D，过I作ADIE//交BC于E，过E作⊙I切线，分别交AB、AC

于F、G。求证：E为FG中点。

第十八题：证明角相等

如图，如图，⊙P、⊙Q交于A、B两点，它们的外公切线CD分别切⊙P、⊙Q于C、D，E为BA延

长线上一点，EC交⊙P于F，ED交⊙Q于G，AH平分FAG交FG于H。求证：GDHFCH。

第十九题：证明中点

如图，⊙O为ABC外接圆，I、E分别为ABC的内心和一个旁心，BAC的外角平分线交BC延长

线于D，DEIF于F，交⊙O于G。求证：G为IF中点。

第二十题：证明线段相等

如图，在锐角ABC中，CB，F是BC的中点，BE、CD是高。G、H分别是FD、FE的中

点，若过A且平行于BC的直线交GH于I。求证：IFIA

第二十一题：证明垂直

如图，D是ABC边BC上一点，ABDDAC，⊙O过点B、D分别交AB、AD于E、F，直

线BF交DE于G，M是AG中点。求证：AOCM。

第二十二题：证明角相等

如图，如图，CD为⊙O直径，PC、PE分别切⊙O于C、E，割线PBA交⊙O于A、B，AC、BD

交于点F，DE交AB于G，求证：ADEGFE。

第二十三题：证明四点共圆

如图，O为ABC外心，D、E分别为AB、AC上一点，DEOF于F，L、M、N分别为DE、

BE、CD中点。求证：F、L、M、N四点共圆。

第二十四题：证明两圆相切

如图，ABC内切圆⊙I切BC于D，BCAE于E，F为AE中点，DF交⊙I于G，作BCG的

外接圆⊙O，求证：⊙O、⊙I相切于点G。

第二十五题：证明线段相等

如图，ABC内接于⊙O，内切圆⊙I分别切AB、AC于J、K，AO交⊙O于D，连接DI，延长CA

到F，使得BJAF，过F作DI的垂线交BA延长线于G，求证：CKAG。

第二十六题：证明四条线段相等

如图，⊙O为ABC外接圆，AD平分BAC交⊙O于D，BDOE//交AB于E，CDOF//交AC于

F，H为ABC垂心，ADHG//交BC于G，求证：CFGFGEBE。

第二十七题：证明线段比例等式

如图，四边形ABCD中，ACAB，ABD外接圆⊙

1

O交AC于F，ACD外接圆⊙

2

O交AB于E，

BF、CE交于点G，求证：

CD

BD

CG

BG

。

第二十八题：证明角的倍数关系

如图，O为ABC外心，D为ABC内一点，使得DCBDAB，DCBDAC，E为AD中

点，过E作ADEF交CB延长线于F，连接FA、FD、FO，求证：OFCAFD2。

第二十九题：证明三线共点

如图，⊙O的内接四边形ABCD，AB、DC交于点E，AD、BC交于点F，EFC的外接圆⊙P交

⊙O于G，AG交EF于H，HC交⊙O于I，求证AI、GC、FE三线共点。

第三十题：证明平行

如图，ABC中，D为BC中点，O为外心，H为垂心，E、F分别为AB、AC上一点，使得AFAE，

且D、H、E三点共线，P为AEF外心，求证：HDOP//。

第三十一题：证明线段相等

如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为四边形内一点，使得ECOEAB，EDCEBA，过点

E的直线FG平分BEC，交⊙O于F、G两点，求证：EGEF。

第三十二题：证明四点共圆

如图，在ABC中，AD、BE、CF是三条高线，点P为ABC内部一点，P关于BC、CA、AB的

对称点分别为L、M、N，线段AP的中点为G，求证：D、E、G、F四点共圆的充要条件为A、

M、L、N四点共圆。

第三十三题：证明三角形相似

如图，⊙

1

O、⊙

2

O半径分别为

1

r、

2

r，⊙

1

O、⊙

2

O交于A、B两点，P为平面上一点，PC切⊙

1

O于

C，PD切⊙

2

O于D，且

2

1

r

r

PD

PC

，求证：PCA∽PBD。

第三十四题：证明角相等

如图，平行四边形ABCD中，E为BD上一点，使得ACDECB，AC交ABD外接圆⊙O于F，

连接EF，求证：AFDBFE。

第三十五题：证明内心

如图，I是ABC内心，E为BC中点，F为弧BC中点，EF中点为N，BI中点为M，MN交BC于

D，连接AD，求证：M为ABD内心。

第三十六题：证明角平分

如图，⊙O为ABC的外接圆，AF平分BAC交⊙O于F，H为ABC的垂心，ABCE于E，

ACBD于D，ADE的外接圆⊙P交⊙O于G。GF交BC于I，求证：IH平分BHC。

第三十七题：证明垂直

在ABC中，O为外心，三条高AD、BE、CF交于点H，直线ED和AB交于点M，直线FD和AC

交于点N，求证：（1）DFOB；（2）DEOC；（3）MNOH。

第三十八题：证明面积等式

如图，ABC和ADE均为等腰直角三角形，90AEDBAC，连接BD、CE，取CE的中点F，

连接DF、BF，求证：

BDF

S



=

ACEADEABC

SSS



3

2

1

。

第三十九题：证明角平分

如图，ABC中，旁切圆⊙P分别切CB、CA延长线于D、E，旁切圆⊙Q分别切BC、BA延长线于

F、G，DE、FG分别交PQ于M、N，BN、CM交于点L，求证：AL平分BAC。

第四十题：证明角相等

如图，平行四边形ABCD中，E、F分别为AD、CD上一点，AF、CE交于点G，AEG的外接圆

⊙O与CFG的外接圆⊙P交于点H，连接BG、DH，求证：HDAGBA。

第四十一题：证明中点

如图，PA、PB分别切⊙O于A、B，PCD为⊙O一条割线，过C作PBCF//，交AB于E，交BD

于F，求证：E为CF中点。

第四十二题：证明中点

如图，H为ABC垂心，D为BC中点，过H作DHEF分别交AB、AC于E、F，求证：H为EF

中点。

第四十三题：证明角相等

如图，锐角ABC中，ACAB，且D、E在边BC上，满足CEBD，若在ABC内存在点P满足

AEPD//，且EACPAB，求证：PCAPBA。

第四十四题：证明垂直

如图，AB为半圆O的直径，ABOC，C在圆上，P是BA延长线上一点，PD切⊙O于D，PE平

分DPB，分别交AC、BC于E、F，求证：90EOF。

第四十五题：证明角相等

如图，PA为⊙O的切线，PBC为⊙O的割线，OPAD于点D，ADC的外接圆与BC的另一个交

点为E，求证：ACBBAE。

第四十六题：证明垂直

如图，平行四边形ABCD中，ABCE于E，ADCF于F，EF交BD于G，求证：ACGC。

第四十七题：证明四点共圆

如图，ABC内接于⊙O，BCAD于D，AD交CO于E，F为AE中点，FO交BC于H，AOCG

于G，求证：B、H、O、G四点共圆。

第四十八题：证明四点共圆

如图，I是ABC内心，A关于BI的对称点是K，E为BC中点，F为BC中点EF中点为N，BI中

点为M，MN交BC于D，求证：A、K、D、M四点共圆。

第四十九题：证明四点共圆

如图，H为ABC的垂心，D为CH中点，ADBE于E，证明：B、C、E、H四点共圆。

第五十题：证明角平分

已知ABC，内心为I，圆

1

O与边AB、BC相切，圆

2

O过A、C，且

1

O、

2

O外切与点M。求证：AMC

的平分线过点I。

第五十一题：证明线段相等

如图，⊙O为ABC外接圆，D为弧BAC中点，E为弧BC中点，ABCF于F，连接EF，过F作

EFFG交DA延长线于G，求证：CDCG。

第五十二题：证明两圆外切

如图，如图，A、B、C为⊙O上三点，过C作ACDC交AB延长线于D，过D作AODE交⊙

O于F，交AC于E，过B、E、F三点的圆为⊙P，过C、D、F三点的圆为⊙Q，求证：⊙P与

⊙Q外切于点F。

第五十三题：证明垂直

如图，如图，ABC中，D、E、F分别为BC、CA、AB中点，过E作ACEM交AD于M，过

F作ABFN交AD于N，EM、FN交于点O，CM、BN交于点K，求证：AKOK。

第五十四题：证明垂直

如图，ABC中，D为BC中点，⊙O过A、C两点，且切DA于A，延长BA交⊙O于E，CE延长

线交DA于F，求证：BCFO。

第五十五题：证明垂直

如图，AB为⊙O直径，CB切⊙O于B，D为弧AB上任一点，CD交⊙O于F，AD、OC交于点E，

连接EB、FB，证明：FBEB。

第五十六题：证明垂直

如图，正方形ABCD与正方莆EFGH，EF交AB于J，FG交BC于K，GH交CD于L，HE交DA

于I，求证：JLIK。

第五十七题：证中点

如图，PA、PB分别切⊙O于A、B两点，C为劣弧AB上一点，OC交AB于D，过C点的切线分别

交PA、PB于E、F，PD交EF于G，求证：G为EF中点。

第五十八题：证明角相等

如图，⊙P、⊙Q交于A、B两点，它们的外公切线CD分别切⊙P、⊙Q于C、D，E为BA延长线

上一点，EC交⊙P于F，ED交⊙Q于G，FG分别交⊙Q、⊙P于M、N，求证：GDNFCM。

第五十九题：证明角相等

如图，等腰ABC中，ACAB，E为AC中点，D为BC上一点，使得CDBD2，BEDF于F，

连结CF，求证：ABCEFC。

第六十题：证明四点共圆

如图，ABC中，D、E分别为AB、AC上一点，且BCDE//，BE、CD交于点F，O、P、Q、

R分别为ADF、AEF、BDF、CEF外心，求证：O、P、Q、R四点共圆。

第六十一题：证明四点共圆

如图，ABC旁切圆⊙I分别切BC、AB、AC于D、E、F，ED、FD分别交AI于M、N，G

为BC中点，H为A在BC上的垂足，求证：G、N、H、M四点共圆。

第六十二题：证明四点共圆

如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB、DC交于点E，AD、BC交于点F，点G为EF中点，AG

交⊙O于K，求证：C、K、F、E四点共圆。

第六十三题：证明角相等

如图，AB为半⊙O直径，ABCA于A，ABDB于B，EC、ED分别为半⊙O的两条切线，

CDOF于F，连接EF，求证：FOBEFD。

第六十四题：证明角的倍数关系

如图，AB、AC分别切⊙O于A、B，D为AB延长线上一点，ADC的外接圆⊙P交⊙O于E，

CDBF于F，求证：ADCDEF2。

第六十五题：证明中点

如图，在⊙O中，直径AB垂直于弦CD，E是OC的中点，AE的延长线交⊙O于点F，DF交BC于

点G。求证：G是BC的中点。

第六十六题：伪旁切圆

如图，ABC外接圆为⊙O，内切圆⊙I分别切三边于D、E、F，⊙P与⊙O外切于J，且分别切AB、

AC于G、H，连接AD并延长交⊙P于K，求证：AKAJ，且CADBAJ。

第六十七题：证明垂直

如图，⊙O为ABC外接圆，D、E分别为AB、AC中点，H为ABC垂心，DH延长线交⊙O于F，

EH延长线交⊙O于G，DE、GF交于点I，连接AI，求证：AOAI。

第六十八题：证明平行

如图，ABC内接于⊙O，BCAC，ACB平分线CH交⊙O于H，E、F分别为AC、BC上

一点，ABEF//，EF交CH于K，EFH的外接圆⊙P交⊙O于G，GK交⊙O于D，求证：ABCD//。

第六十九题：证明圆心在某线上

如图，⊙O、⊙P交于A、B两点，过O的直线依次交⊙P于C、D，过P的直线信用证次交⊙O于E、

F，若C、E、D、F四点共圆，求证：（1）四边形CEDF的外接圆圆心在直线AB上。（2）AB、CD、

EF三线共点。

第七十题：证明三线共点

如图，ABC中，D为BC上一点，E、F分别为ABD和ACD内心，以E为圆心，ED为半径作

⊙E，以F为圆心，FD为半径作⊙F，⊙E与⊙F交于点G，⊙E分别交AB、BC于J、K，⊙F

分别交AC、BC于M、N，求证：JK、MN、GD三线共点。

第七十一题：证明垂直

如图，ABC中，AD、BE、CF是ABC的三条高线，H为ABC的垂心，O为ABC的外心，ED

交AB于M，FD交AC于N，求证：MNOH。

第七十二题：证明垂直

如图，四边形ABCD中，AC、BD交于点G，E、F分别为AB、CD中点，H、I分别为AGD和

BGC的垂心，求证：HIEF。

第七十三题：证明中点

如图，ABC中，O为外心，H为垂心，ACBD于D，ABCE于E，OHAG，交DE于F，

交BC于G，求证：F为AG中点。

第七十四题：证明垂直

如图，平行四边形ABCD中，AC、BD交于点O，BDCE于E，ACDF于F，FE交BA延长

线于G，求证：ADGO。

第七十五题：证明垂直

如图，ABCRt中，90BAC，E、D分别AB、AC上一点，BD、CE交于点F，ABC的外

接圆⊙O交AED的外接圆⊙P于G，求证：GFAG。

第七十六题：证明三线共点

如图，ABC中，D、E、F分别为BC、CA、AB上一点，且AD、BE、CF交于一点P，G、H、

I分别为BC、CA、AB中点，J、K、L分别为DE、EF、FD中点，求证：GK、HL、IJ三线

共点。

第七十七题：证明平行

如图，五边形ABCDE中，DEAB//，BCAE//，BD、CE交于点P，M、N分别为BE、CD中

点，连接MN，求证：APMN//。

第七十八题：证明平行

如图，四边形ABCD中，E、F分别为AD、BC中点，G为平面上一点，使得CDBG//，ABCG//，

AC、BD交于点H，求证：GHEF//。

第七十九题：证明三线共点、证明垂直

如图，ABC中，AD平分BAC交BC于D，DE平分ADB交AB于E，DF平分ADC交AC于

F，EF交AD于G，CG交DE于H，BG交DF延长线于I，（1）求证：H、A、I三点共线；（2）

求证：HIAD。

第八十题：证明三点共线（牛顿定理）

如图，完全四边形ABCDEF中，L、M、N分别为AC、BD、EF中点，则L、M、N三点共线。

第八十一题：证明角平分

如图，⊙O为ABC外接圆，I为内心，⊙J分别切AB、AC于D、E，与⊙O内切于F，求证：IF

平分BFC。

第八十二题：证明角相等

如图，O为ABC外心，过O的直线分别交AB、AC于D、E，F、G分别为BE、CD中点，求证：

AFOG。

第八十三题：证明三点共线

如图，ABC内接于⊙O，L为⊙O上一点，CLEL交AB于E，BLFL交AC于F，求证：E、

O、F三点共线。

第八十四题：证明四圆共点

已知四边形ABCD中，E、F分别为边AD、BC上的点，且

FC

BF

ED

AE

，射线FE与BA、CD分别交

于点S、T。SAE、SBF、TDE、TCF的外接圆分别为⊙

1

O、⊙

2

O、⊙

3

O、⊙

4

O。

求证：（1）⊙

1

O、⊙

2

O、⊙

3

O、⊙

4

O四圆共点。

（2）四边形

4321

OOOO相似于四边形ABCD。

第八十五题：证明角平分

如图，ABC中，ACAB，ACBD于D，ABCE于E，F为BC中点，AFAG交DE延

长线于G，连接GF，求证：AF平分GFC。

第八十六题：证明线段相等

如图，ABC内接于⊙O，H为ABC垂心，D为BC中点，连接DH，过H作DHEF，分别交AB、

AC于E、F，连接DE、DF，求证：DFDE。

第八十七题：证明角相等

如图，O为ABC外心，H为ABC垂心，CH交AB于D，ODDE交AC于E，求证：

AEHD。

第八十八题：证明线段相等

如图，AD为ABC的高，M为BC中点，过M的一条直线分别交AB、AC于E、F，使得AFAE，

O为AEF外心，求证：ODOM。

第八十九题：证明线段相等

如图，ABC内接于⊙O，BC的中垂线分别交⊙O于D、E，交BC于F，过F作AD的平行线，在

该平行线上任取一点G，连接EG，过G作EGMN，分别交AB、AC于M、N，求证：GNGM。

第九十题：证明线段相等

如图，ABC内接于⊙O，AD平分BAC交⊙O于D，E为BC中点，F为平面上一点，使得

ADEF，连接DF，过F作DFMN，分别交AB、AC于M、N，求证：FNFM。

第九十一题：证明中点

如图，⊙O为ABC外接圆，BC为⊙O直径，D为弧BC上一点（与A在BC异侧），BCDE于E，

BADF于F，EF交AD于G，求证：G为AD中点。

第九十二题：证明四点共圆

如图，O为ABC外心，D为BC上一点，BD中垂线交AB于F，CD中垂线交AC于E，求证：A、

F、O、E四点共圆。

第九十三题：证明西姆松定理及逆定理

(1)如图，ABC内接于⊙O，P为⊙O上一点，BCPD于D，CAPE于E，ABPF于F，

求证：D、E、F三点共线。

(2)ABC内接于⊙O，P为平面上一点，BCPD于D，CAPE于E，ABPF于F，若D、

E、F三点共线，则P、A、B、C四点共圆。

第九十四题：证明线段的和差关系等式

如图，⊙O的三条弦AB、CD、EF交于点P，且两两夹角为60，求证：

FPBPCPDPEPAP。

第九十五题：证明角相等

如图，已知PA、PB分别切⊙O于A、B两点，PCD为⊙O的一条割线，E有AB中点，求证：

BCEACD。

第九十六题：证明托勒密定理及逆定理

（1）如图，ABCD为⊙O内接四边形，求证：BDACBCADCDAB。

（2）四边形ABCD满足BDACBCADCDAB，求证：A、B、C、D四点共圆。

第九十七题：证明线段的和差关系等式

如图，ABC中，O为外心，I为内心，AIOI，求证：BCACAB2。

第九十八题：证明角相等

如图，四边形ABFD中，C、E分别为BF、DF上一点，且DAEBAC，BE、CD交于点G，

连接AG，求证：GAEFAC。

第九十九题：证明四点共圆

如图，ABC内切圆⊙I分别切BC、CA、AB于D、E、F，K为ABC内一点，使得KBC内切

圆⊙J切BC于D，分别切KB、KC于M、N，求证：E、F、M、N共圆。

第一百题：证明两三角形共内心

如图，ADE中，过AD的圆O与AE、DE分别交于B、C，BD交AC于G，直线OG与ADE外

接圆交于P。求证：PBD、PAC共内心。