多元函数求导
几乎的近义词-扬州江海学院
2023年2月18日发(作者：费用明细表)1/1
第四节多元复合函数的求导法则
教学目的：使学生熟练掌握多元复合函数的求导法则；了解函数全微分形
式不变性:。
教学重点：复合函数的中间变量均为多元函数的求导法则
教学过程：
一、复合函数的中间变量均为一元函数的情形
定理1如果函数u=j(t)及v=y(t)都在点t可导,函数z=f(u,v)在对应点(u
v)具有连续偏导数,则复合函数z=f[j(t),y(t)]在点t可导,且有
dt
dv
v
z
dt
du
u
z
dt
dz
.
简要证明1:因为z=f(u,v)具有连续的偏导数,所以它是可微的,即有
dv
v
z
du
u
z
dz
.
又因为u=j(t)及v=y(t)都可导,因而可微,即有
dt
dt
du
du,dt
dt
dv
dv,
代入上式得
dt
dt
dv
v
z
dt
dt
du
u
z
dz
dt
dt
dv
v
z
dt
du
u
z
)(
,
从而
dt
dv
v
z
dt
du
u
z
dt
dz
.
简要证明2:当t取得增量Dt时,u、v及z相应地也取得增量Du、Dv及Dz.由
z=f(u,v)、u=j(t)及v=y(t)的可微性,有
)(ov
v
z
u
u
z
z
)()]([)]([otot
dt
dv
v
z
tot
dt
du
u
z
)()()()(oto
v
z
u
z
t
dt
dv
v
z
dt
du
u
z
,
t
o
t
to
v
z
u
z
dt
dv
v
z
dt
du
u
z
t
z
)()(
)(
,
令Dt®0,上式两边取极限,即得
dt
dv
v
z
dt
du
u
z
dt
dz
.
注:0)()(0
)()(
)(
lim
)(
lim22
22
00
dt
dv
dt
du
t
vu
o
t
o
tt
.
推广:设z=f(u,v,w),u=j(t),v=y(t),w=w(t),则z=f[j(t),y(t),w(t)]对
1/1
t
的导数为:
dt
dw
w
z
dt
dv
v
z
dt
du
u
z
dt
dz
上述
dt
dz
称为全导数.
二、复合函数的中间变量均为多元函数的情形
定理2如果函数u(xy)v(xy)都在点(xy)具有对x及y的
偏导数函数zf(uv)在对应点(uv)具有连续偏导数则复合函数z=f
[j(x,y),y(x,y)]在点(xy)的两个偏导数存在且有
x
v
v
z
x
u
u
z
x
z
,
y
v
v
z
y
u
u
z
y
z
.
推广:设z=f(u,v,w),u=j(x,y),v=y(x,y),w=w(x,y),则
x
w
w
z
x
v
v
z
x
u
u
z
x
z
,
y
w
w
z
y
v
v
z
y
u
u
z
y
z
.
讨论
(1)设zf(uv)u(xy)v(y)则
x
z
？
y
z
？
提示
x
u
u
z
x
z
dy
dv
v
z
y
u
u
z
y
z
(2)设z=f(u,x,y),且u=j(x,y),则
x
z
？
y
z
？
提示
x
f
x
u
u
f
x
z
,
y
f
y
u
u
f
y
z
.
这里
x
z
与
x
f
是不同的
x
z
是把复合函数zf[(xy)xy]中的y看作不
变而对x的偏导数
x
f
是把f(uxy)中的u及y看作不变而对x的偏导数
y
z
与
y
f
也朋类似的区别
三、复合函数的中间变量既有一元函数又有多元函数的情形
定理3如果函数u(xy)在点(xy)具有对x及对y的偏导数函数v(y)在点
y可导函数zf(uv)在对应点(uv)具有连续偏导数则复合函数zf[(xy)
(y)]在点(xy)的两个偏导数存在且有
x
u
u
z
x
z
dy
dv
v
z
y
u
u
z
y
z
例1设z=eusinv,u=xy,v=x+y,求
x
z
和
y
z
.
解
x
v
v
z
x
u
u
z
x
z
=eusinvy+eucosv1
=exy[ysin(x+y)+cos(x+y)],
y
v
v
z
y
u
u
z
y
z
=eusinvx+eucosv1
=exy[xsin(x+y)+cos(x+y)].
例2设222),,(zyxezyxfu,而yxzsin2.求
x
u
和
y
u
.
解
x
z
z
f
x
f
x
u
yxzexezyxzyxsin222222222
yxyxeyxx2422sin22)sin21(2.
y
z
z
f
y
f
y
u
yxzeyezyxzyxcos222222222
yxyxeyyxy2422sin4)cossin(2.
例3设z=uv+sint,而uet,v=cost.求全导数
dt
dz
.
解
t
z
dt
dv
v
z
dt
du
u
z
dt
dz
=v×et+u×(-sint)+cost
=etcost-etsint+cost
=et(cost-sint)+cost.
例4设w=f(x+y+z,xyz),f具有二阶连续偏导数,求
x
w
及
zx
w
2
.
解令u=x+y+z,v=xyz,则w=f(u,v).
引入记号:
u
vuf
f
),(
1
,
vu
vuf
f
),(
12
;同理有
2
f
,
11
f
,
22
f
等.
z
f
yzfy
z
f
fyzf
zzx
w
2
2
1
21
2
)(
22
2
2121211
fzxyfyzfyfxyf
22
2
21211
)(fzxyfyfzxyf
.
注:
1211
111fxyf
z
v
v
f
z
u
u
f
z
f
,
2221
222fxyf
z
v
v
f
z
u
u
f
z
f
.
例5设u=f(x,y)的所有二阶偏导数连续,把下列表达式转换成极坐标系中的
形式:
(1)22)()(
y
u
x
u
;(2)
2
2
2
2
y
u
x
u
.
解由直角坐标与极坐标间的关系式得
u=f(x,y)=f(cosθ,rsinθ)=F(r,θ)
其中x=rcosθy=rsinθ22yx
x
y
arctan
应用复合函数求导法则,得
x
u
x
u
x
u
2
y
uxu
sin
cos
y
uu
,
y
u
y
u
y
u
2
xu
y
u
cos
sin
uu
.
两式平方后相加,得
2
2
222)(
1
)()()(
uu
y
u
x
u
.
再求二阶偏导数,得
xx
u
xx
u
x
u
)()(
2
2
cos)
sin
cos(
uu
sin
)
sin
cos(
uu
2
2
2
22
2
2
2sincossin
2cos
uuu
2
2
sincossin2
uu
.
同理可得
2
2
2
22
2
2
2
2
2coscossin
2sin
uuu
y
u
2
2
coscossin2
uu
.
两式相加,得
2
2
22
2
2
2
2
211
uu
y
u
x
u
])([
1
2
2
2
uu
.
全微分形式不变性:设z=f(u,v)具有连续偏导数,则有全微分
dv
v
z
du
u
z
dz
.
如果z=f(u,v)具有连续偏导数,而u=j(x,y),v=y(x,y)也具有连续偏导数,则
dy
y
z
dx
x
z
dz
dy
y
v
v
z
y
u
u
z
dx
x
v
v
z
x
u
u
z
)()(
)()(dy
y
v
dx
x
v
v
z
dy
y
u
dx
x
u
u
z
dv
v
z
du
u
z
.
由此可见,无论z是自变量u、v的函数或中间变量u、v的函数,它的全微分形式
是一样的.这个性质叫做全微分形式不变性.
例6设z=eusinv,u=xy,v=x+y,利用全微分形式不变性求全微分.
解dv
v
z
du
u
z
dz
=eusinvdu+eucosvdv
=eusinv(ydx+xdy)+eucosv(dx+dy)
=(yeusinv+eucosv)dx+(xeusinv+eucosv)dy
=exy[ysin(x+y)+cos(x+y)]dx+exy[xsin(x+y)+cos(x+y)]dy.
（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。请预览后才下载，期待您的好
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