一致连续性定理
舒服的近义词是什么-可持续
2023年2月18日发(作者：苏丽萍)关于连续性与一致连续性的一个定理
26高等数学研究
STUDIESINC()LLEGEMATHEMATICS
Voi.1l,No.4
Ju1.,2008
关于连续性与一致连续性的一个定理
高智民刘慧瑾蒋佩佩(深圳大学数学学院广东深圳518060)
摘要设厂()在n上连续.任给e>o,令(￡,SCo)一supf:当I一鳓l<
时,I厂()一f(xo)l<e}.
则l厂()在n上一致连续的充要条件是(e)=inf/(￡,.):z.∈n)>0.实例
给出其应用.
关键词函数;连续;一致连续中图分类号O172.2
在高等数学中,函数一厂(z)的连续性与一致连续性属于最基本的概
念.若一厂(z)在实数
集n上一致连续,则它在n上连续.反过来,若—f(3c)在n上连续,一般
来说,不能推出它在n上
一
致连续.本文讨论连续函数成为一致连续的充分必要条件.
定义l设函数一厂(z)定义于数集n之上,任意给定￡>0,对于zo∈
n,记
1
(￡,zo)一÷×sup{:当Iz—zoI<时,I厂(z)一f(xo)I<￡),厶
(￡,z.)可以是实数,也可以是+...进一步(针对前述￡)记
(e)一inf{(￡,zo):zo∈n},
同样,(￡)可以是实数,或+...
定理1设Y一-厂(z)是定义于n上的连续函数,则一厂(z)在n上一致
连续的充分必要条
件是:任给￡>0,都有(￡)>0.
证明必要性.设y一厂(z)在n上一致连续,任给￡>0,存在>0,当
Izt—zzI<时,
If(x1)一f(x2)I<￡,其中z.,z2∈n.显然,任给z.∈n,可知(￡,zo)≥,从
而(￡)≥>0.
所以,条件是必要的.
充分性.任给￡>0,由条件知,(￡)一n>0.取一a,则当Izt—zzI<
时,
Iz.一I<(￡,).于是存在∈{:当Iz—zI<时,I厂(z)一f(xt)I<￡),
且(￡,zt)<t,
从而Iz一z2I<(￡,z)<.,If(x2)一f(x)I<￡.所以,一厂()在n上一
致连续.
利用定理1,可给出下述经典定理的另一证明.
定理2闭区间[n,6]上的连续函数一厂(z)是一致连续的.
证明只需证明,此时定理1要求的条件一定满足即可.不妨使用反证
法.
假设存在￡.>0,使得(E0)一0,则存在序列{:n∈)c[“,b-I,使得对每
个n∈,
(￡.,z)<.因{z:n∈)c[“,6],所以,{z:n∈)有收敛子列.不妨假设{z:n∈)
收
丌
敛于z.,于是z.∈[n,b-I.
可以证明(￡,.)一0.事实上,若(￡,XO)>0,则存在>0,使得当
Jz—z.J<时,
I厂(z)一f(x.)I<E0.即当z∈(一.,z.+)时,I厂(z)一f(xo)I<.从而,任
给两点
z,∈(Xo一,XO+.),则I厂()一厂()I<E0.由于{:n∈)收敛于XO,于是
从某(第N)
*收稿日期z2006～07—17
第儿卷第4期高智民,刘慧瑾,蒋佩佩:关于连续性与一致连续性的一
个定理27
项开始,当≥N时,∈(j[o一,j[o+),于是,I—XnI<等时,I厂()--f(x)I<
￡.此与
(￡,)一1(≥N)矛盾,故(￡,o)一0.
但(￡,.)一0与Y一厂()在.点连续相矛盾,所以证明开始处的假设不
成立.从而定理1要
求的条件成立,所在Y一厂()在[n,6]上一致连续.
下面应用定理1处理几个熟知的例题.
例4求证:若函数Y一厂()在[以,c3和[c,6]上都一致连续,则厂()在[n,6]
上一致连续.
证明因为函数厂()在[n,c]上一致连续,所以在[以,c]上,(￡)一a>O;
同理,在[c,6]上有
(￡)一口>0.而(e,c)一y>0.所以,在[n,6]上,(￡)≥min{a,
卢,y)>0.所以,函数Y一厂(z)
在[n,6]上一致连续.
例5求证:函数厂()一.在(一..,+oo)上不一致连续.
证明取￡0>0且￡o<1.对于=,
I厂()一厂(+)I—I:一(+).l=I2一(.+2+)I≥2.
因￡.<1,所以If(x”)一f(x”+音I<￡.不成立?于是可知,(￡.,Xn)
音?所以
(￡0)一inf{d(~o,):∈(一..,+oo))一0
由定理1可知,厂()=.在(一..,+oo)上不是一致连续的.
例6求证:函数厂()=在[o,+..]上一致连续.
证明对于￡>0,任给,∈[1,+oo),当l一l<￡时,
J厂(,))I_I一I=l赫I<南<￡?
所以(￡,.)≥丢,.∈[1,+oo),从而(￡)≥要>0.于是,Y一厂()在[1,+oo)
上一致连续.
而在[O,1]上,厂()一致连续,由例4可知,Y一厂()在[O,+oo)上一致连
续.
参考文献
[1]复旦大学数学系.数学分析[M].北京:高等教育出版社,2004.
<>●o●<>●<>●<>●o●o●o●o●o●<>●o●o
●o●o●o●o●o●o●o●o●o●o●o●o●o●o●o●o●o●o●o●o●o●
(上接弟25页)
再证第二式.如果五≥0,对r分两种情况讨论.若r∈{1,2,…,一1),当
m>r,由(4)式可
得一一,一,=(一1)一U,,.再令m—kn+r(k∈N)得U6+r+,一+2,一(一
1)6u,,.
又三2(mod4),由第一式得U三Uo=0(mod户).从而U,+r三U,,(mod
户).因0<r<和
P是U的本原素因数,则U,≠0和户,卜U,.即(户,Ur)一1.由同余式的
消去律得7)6+,三,(mod户).
若r一0,由(1)式容易验证,对任何非负整数m,都有=2m+.一Au.令
m—kn(五∈N),则有
7)6=2斛l—Au.由第一式得三2ul一2—7)0(mod户).
如果k≤一1,则由(2)式得+r一(一1)--6--r7d—一,三(一1),广,(mod户).
至此,定理3得证.
参考文献
[13乙.&nidentitiesconcerningL姗
ssequences[_]].FibonacciQuart.2006,44(2):145—153.
cdandnsl’巧
withapplications[M].JohnW’tley&..NewYork2001.
[,oftheintegerswithoddmoduliandtheirapplica
tionstotheforTns一2
and.一/zEj].arXiv;/0702382,2007.