微分方程公式

微分方程公式

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2023年2月18日发(作者：乐吧券)

1

微分方程的相关概念：

即得齐次方程通解。

，代替分离变量，积分后将，，，则设

的函数，解法：，即写成程可以写成齐次方程：一阶微分方

称为隐式通解。 得：

的形式，解法：为：一阶微分方程可以化可分离变量的微分方程

或 一阶微分方程：

u

x

y

uu

du

x

dx

u

dx

du

u

dx

du

xu

dx

dy

x

y

u

x

y

yxyxf

dx

dy

CxFyGdxxfdyyg

dxxfdyyg

dyyxQdxyxPyxfy

















)(

)(

),(),(

)()()()(

)()(

0),(),(),(







一阶线性微分方程：

)1,0()()(2

))((0)(

,0)(

)()(1

)()(

)(





















nyxQyxP

dx

dy

eCdxexQyxQ

CeyxQ

xQyxP

dx

dy

n

dxxPdxxP

dxxP

，、贝努力方程：

时，为非齐次方程，当

为齐次方程，时当

、一阶线性微分方程：

全微分方程：

通解。应该是该全微分方程的

，，其中：

分方程，即：中左端是某函数的全微如果

Cyxu

yxQ

y

u

yxP

x

u

dyyxQdxyxPyxdu

dyyxQdxyxP



















),(

),(),(0),(),(),(

0),(),(

二阶微分方程：

时为非齐次

时为齐次

，

0)(

0)(

)()()(

2

2







xf

xf

xfyxQ

dx

dy

xP

dx

yd

二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：

21

22

,)(2

,,(*)0)(1

,0(*)

rr

yyyrrqprr

qpqyypy

式的两个根、求出

的系数；式中的系数及常数项恰好是，，其中、写出特征方程：

求解步骤：

为常数；，其中















式的通解：出的不同情况，按下表写、根据(*),3

21

rr

的形式，

21

rr(*)式的通解

2

两个不相等实根)04(2qpxrxrececy21

21



两个相等实根)04(2qpxrexccy1)(

21



一对共轭复根)04(2qp

2

4

2

2

21

pq

p

irir











，

，

)sincos(

21

xcxceyx

二阶常系数非齐次线性微分方程

型

为常数；型，

为常数，

]sin)(cos)([)(

)()(

,)(

xxPxxPexf

xPexf

qpxfqyypy

nl

x

m

x



















