角平分线的判定

角平分线的判定

人口经济学-幼儿必读100本绘本

2023年2月17日发(作者：安山质火山角砾岩)

.

1/3

D

C

A

B

D

E

C

AB

D

F

E

B

AC

第02讲角平分线的性质与判定

考点·方法·破译

1．角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等.

2．角平分线的判定定理：角的内角到角两边距离相等的点在这个角的平分线上.

3．有角平分线时常常通过下列几种情况构造全等三角形.

经典·考题·赏析

[例１]如图,已知OD平分∠AOB,在OA、OB边上截取OA＝OB,PM⊥BD,PN⊥AD.求证：PM

＝PN

[变式题组]

01．如图,CP、BP分别平分△ABC的外角∠BCM、∠CBN.求证：点P在∠BAC的平分线上.

02．如图,BD平分∠ABC,AB＝BC,点P是BD延长线上的一点,PM⊥AD,PN⊥CD.求证：PM＝PN

[例２]如图,已知四边形ABCD中,AC平分∠BAD,CE⊥AB于点E,且AE＝

1

2

,如

果∠D＝120°,求∠B的度数

[变式题组]

01．如图,在△ABC中,CD平分∠ACB,AC＝5,BC＝3.求ACD

CBD

S

S





02．在四边形ABCD中,已知AB＝a,AD＝b.且BC＝DC,对角线AC平分∠BAD,问a

与b的大小符合什么条件时,有∠B＋∠D＝180°,请画图并证明你的结

论.

[例３]如图,在△ABC中,∠BAC＝90°,AB＝AC,BE平分∠ABC,CE⊥BE.

求证：CE＝

1

2

BD

[变式题组]

01．如图,已知AC∥BD,EA、EB分别平分∠CAB、∠DBA,CD过点E,

求证：AB＝AC＋BD.

02．如图,在△ABC中,∠B＝60°,AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线,AD、

CE相交于点F.

⑴请你判断FE和FD之间的数量关系,并说明理由；

⑵求证：AE＋CD＝AC.

演练巩固·反馈提高

01．如图,在Rt△ABC中,∠C＝90°,BD平分∠ABC交AC于D,若CD＝n,AB

＝m,则△ABD的面积是〔

A．

1

3

mnB．

1

2

mnC．mnD．2mn

02．如图,已知AB＝AC,BE＝CE,下面四个结论：①BP＝CP；②AD⊥BC；③AE平分∠BAC；④

.

2/3

F

B

D

E

C

A

第4题图

F

G

E

P

A

B

C

D

第5题图

E

O

D

B

A

C

∠PBC＝∠PCB.其中正确的结论个数有〔个

A．1B．2C．3D．4

03．如图,在△ABC中,P、Q分别是BC、AC上的点,作PR⊥AB,PS⊥AC,垂足分别是R、S.若

AQ＝PQ,PR＝PS,下列结论：①AS＝AR；②PQ∥AR；③△BRP≌△CSP.其中正确的是〔

A．①③B．②③C．①②D．①②③

04．如图,△ABC中,AB＝AC,AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E、F,则下列四个结

论中：①AD上任意一点到B、C的距离相等；②AD上任意一点到AB、AC的距离相等；

③AD⊥BC且BD＝CD；④∠BDE＝∠CDF.其中正确的是〔

A．②③B．②④C．②③④D．①②③④

05．如图,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,∠CAB＝30°,∠ACB的平分线与∠ABC的外角平分线

交于E点,则∠AEB的度数为〔

A．50°B．45°C．40°D．35°

06．如图,P是△ABC内一点,PD⊥AB于D,PE⊥BC于E,PF⊥AC于F,且PD＝PE＝PF,给出下列

结论：①AD＝AF；②AB＋EC＝AC＋BE；③BC＋CF＝AB＋AF；④点P是△ABC三条角平分

线的交点.其中正确的序号是〔

A．①②③④B．①②③C．①②④D．②③④

07．如图,点P是△ABC两个外角平分线的交点,则下列说法中不正确的是〔

A．点P到△ABC三边的距离相等B．点P在∠ABC的平分线上

C．∠P与∠B的关系是：∠P＋

1

2

∠B＝90°D．∠P与∠B的关系是：∠B＝

1

2

∠P

08．如图,BD平分∠ABC,CD平分∠ACE,BD与CD相交于D.给出下列结论：①点D到AB、AC

的距离相等；②∠BAC＝2∠BDC；③DA＝DC；④DB平分∠ADC.其中正确的个数是〔

A．1个B．2个C．3个D．4个

09．如图,△ABC中,∠C＝90°AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于E,下列结论中：①AD平分

∠CDE；②∠BAC＝∠BDE；③DE平分∠ADB；④AB＝AC＋BE.其中正确的个数有〔

A．3个B．2个C．1个D．4个

10．如图,已知BQ是∠ABC的内角平分线,CQ是∠ACB的外角平分线,由Q出发,作点Q到BC、

AC和AB的垂线QM、QN和QK,垂足分别为M、N、K,则QM、QN、QK的关系是_________

11．如图,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,且DB＝DC.求证：BE＝CF

12．如图,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F.求证：

AD⊥EF.

培优升级·奥赛检测

01．如图,直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物

中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可选择的地址有〔

A．一处B．二处C．三处D．四处

02．已知Rt△ABC中,∠C＝90°,AD平分∠BAC交BC于D,若BC＝32,且BD:CD＝9:7,则D到

AB边的距离为〔

A．18B．16C．14D．12

03．如图,△ABC中,∠C＝90°,AD是△ABC的平分线,有一个动点P从A向B运动.已知：DC

＝3cm,DB＝4cm,AD＝的长为x,那么x的范围是__________

04．如图,已知AB∥CD,PE⊥AB,PF⊥BD,PG⊥CD,垂足

分别为E、F、G,且PF＝PG＝PE,则∠BPD＝

.

3/3

G

P

F

E

D

C

B

A

P

D

A

B

C

__________

05．如图,已知AB∥CD,O为∠CAB、∠ACD的平分线的交点,OE⊥AC,且OE＝2,则两平行线AB、

CD间的距离等于__________

06．如图,AD平分∠BAC,EF⊥AD,垂足为P,EF的延长线于BC的延长线相交于点G.求证：∠G

＝

1

2

07．如图,在△ABC中,AB＞AC,AD是∠BAC的平分线,P为AC上任意一

点.求证:AB－AC＞DB－DC

08．如图,在△ABC中,∠BAC＝60°,∠ACB＝40°,P、Q分别在BC、AC上,并且AP、

BQ分别为∠BAC、∠ABC的角平分线上.求证：BQ＋AQ＝AB＋BP