角的平分线

角的平分线

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2023年3月20日发(作者：美丽校园我的家)

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角的平分线的性质

一.基础知识

1．角的平分线的性质

(1)内容

角的平分线上的点到角的两边的距离相等．

(2)书写格式

如图所示，

∵点P在∠AOB的角平分线上，PD⊥OA，PE⊥OB，

∴PD＝PE.

2．角的平分线的判定

(1)内容

角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．

(2)书写格式

如图所示，

∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE，

∴点P在∠AOB的角平分线上．

3．运用角的平分线的性质解决实际问题

运用角的平分线的性质的前提条件是已知角的平分线以及角平分线上的点到角两边的

距离．

在运用角的平分线的性质解决实际问题时，题目中常常出现求到某个角的两边距离相等

的点的位置，只要作出角的平分线即可．

运用角平分线的性质解决实际问题时，一定要把实际问题中道路、河流等抽象成数学图

形直线，并且要求的点是到两线的距离相等，常常确定两线夹角的平分线上的点，这个过

程就是建立数学模型的过程，这是在解决实际问题中常用的方法．

4．运用角的平分线的判定解决实际问题

在实际问题中，如果出现了某个地点到某些线的距离相等，常先把实际问题转化为数

学问题，即建立数学模型(角的平分线)．然后根据已知某点到角两边的距离相等，则常常联

想到用角的平分线的判定得到角的平分线来解决问题．

解技巧巧用角的平分线的性质和判定解决问题能根据已知条件联想到角的平分线

的性质或判定是解决问题的关键．找到解决问题的切入点就是已知条件中有点到直线的距离

相等或要找到到两条直线的距离相等的点．

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5．综合运用角的平分线的性质和判定解决实际问题

角的平分线的性质和判定的关系如下：

对于角的平分线的性质和判定，一方面要正确理解和明确其条件和结论，“性质”和“判

定”恰好是条件和结论的互换，在应用时不要混淆，性质是证两条线段相等的依据，判定是

证明两角相等的依据．

析规律构造角的平分线的模型证明线段相等当有角平分线时，常过角平分线上的

点向角的两边作垂线，根据角平分线的性质得线段相等．同样，欲证明某射线为角平分线时，

只需过其上一点向角的两边作垂线，再证线段相等即可．

6．运用角的平分线的性质和判定解决探究型问题

在实际问题中，确定位置(如建货物中转站、建集市、建水库等)的问题，常常用到角

的平分线的性质来解决．尤其是涉及作图探究的题目，性质“角的内部到角两边的距离相

等的点在这个角的平分线上”的应用是寻找角的平分线的一种比较简单的方法．

三角形有三条角平分线交于三角形内部一点，并且交点到该三角形三边的距离都相等，

其实只要作出其中两条角平分线的交点，第三条角平分线一定过此交点．

三角形两个外角的平分线也交于一点，这点到该三角形三边所在的直线距离相等．

三角形外角平分线共有三条，所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个．

【例6】如下图所示，三条公路l1，l2，l3两两相交于A，B，C三点，现计划修建一个

商品超市，要求这个超市到三条公路的距离相等，可供选择的地方有多少处？你能在图中找

出来吗？

解：三角形的三条角平分线的交点到该三角形三条边的距离相等；∠ACB，∠ABC的外

角平分线交于一点，利用角的平分线的性质和判定定理，可以得到此点也在∠CAB的平分线

上，且到公路l1，l2，l3的距离相等；同理还有∠BAC，∠BCA的外角平分线的交点；∠BAC，

∠CBA的外角平分线的交点，因此满足条件的点共有4个．

作法：(1)如右图所示，作出△ABC两内角∠BAC，∠ABC的平分线的交点O1.

(2)分别作出∠ACB，∠ABC的外角平分线的交点O2，∠BAC，∠BCA的外角平分线的交

点O3，∠BAC，∠CBA的外角平分线的交点O4；故满足条件的修建点有四处，即点O1，O2，

O3，O4处．

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课堂练习

一、填空题

1．已知：△ABC中，∠B=90°，∠A、∠C的平分线交于点O，则∠AOC的度数

为.

2．角平分线上的点到_________________距离相等；到一个角的两边距离相等的

点都在_____________．

3．∠AOB的平分线上一点M，M到OA的距离为1.5cm，则M到OB的距离为

_________.

4．如图，∠AOB=60°，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，且CD=CE，则∠DOC=_________.

5．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是角平分线，DE⊥AB于E，且DE=3cm，

BD=5cm，则BC=_____cm.

6．如图，CD为Rt△ABC斜边上的高，∠BAC的平分线分别交CD、CB于点E、F，

FG⊥AB，垂足为G，则CF______FG，CE________CF.

7．如图，已知AB、CD相交于点E，∠AEC及∠AED的平分线所在的直线为PQ与

MN，则直线MN与PQ的关系是_________.

8．三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到________________相等．

9．点O是△ABC内一点，且点O到三边的距离相等，∠A=60°，则∠BOC的度数

为_____________．

10．在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=32且BD∶CD=9∶7，

则D到AB的距离为.

第4题

第5题

第6题

第7题

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二、选择题

11．三角形中到三边距离相等的点是（）

A、三条边的垂直平分线的交点B、三条高的交点

C、三条中线的交点D、三条角平分线的交点

12．如图，∠1＝∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，下列结论错误的是

（）

A、PD＝PEB、OD＝OEC、∠DPO＝∠EPOD、PD＝OD

13．如图，直线l

1

，l

2

，l

3

表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，

要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）

A、1处B、2处C、3处D、4处

14．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于

E，且AB＝6㎝，则△DEB的周长为（）

A、4㎝B、6㎝C、10㎝D、不能确定

2

1

D

A

P

O

E

B

l

2l1

l

3

D

C

A

E

B

第12题第13题

第14题

15．如图，MP⊥NP，MQ为△MNP的角平分线，MT＝MP，连接TQ，则下列结论中

不正确的是（）

A、TQ＝PQB、∠MQT＝∠MQPC、∠QTN＝90°D、∠NQT＝∠MQT

N

T

Q

P

M

第15题

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16．如图在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于D，如果AC=3cm，

那么AE+DE等于()

E

D

C

B

A

A．2cmB．3cmC．4cmD．5cm

17．如图，已知AB=AC，AE=AF，BE与CF交于点D，则对于下列结论：①△ABE

≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③D在∠BAC的平分线上．其中正确的是（）

A．①B．②C．①和②D．①②③

E

D

C

B

A

F

18．如图，AB=AD，CB=CD，AC、BD相交于点O，则下列结论正确的是（）

A．OA=OCB．点O到AB、CD的距离相等

C．∠BDA=∠BDCD．点O到CB、CD的距离相等

19．△ABC中，∠C=90°，点O为△ABC三条角平分线的交点，OD⊥BC于D，OE

⊥AC于E，OF⊥AB于F，且AB=10cm，BC=8cm，AC=6cm，则点O到三边AB、AC、

BC的距离为（）

A．2cm，2cm，2cm；B．3cm，3cm，3cm；

C．4cm，4cm，4cm；D．2cm，3cm，5cm

20．两个三角形有两个角对应相等，正确说法是（）

A．两个三角形全等B．如果还有一角相等，两三角形就全等

C．两个三角形一定不全等D．如果一对等角的角平分线相等，两三

角形全等

三、解答与证明

21．如图，已知△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，求证：D到AB、AC的距离

相等.

D

CB

A

D

C

B

A

O

第18题

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22．如图，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D，若BD=CD．求

证：AD平分∠BAC.

23．如图，已知BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且交BE于E．求证：AE平分∠

FAC.

D

F

C

B

A

E

24．如图，已知AB=AC，AD=AE，DB与CE相交于O.(1)若DB⊥AC于D，CE⊥AB

于E，试判断OE与OD的大小关系.并证明你的结论.(2)若没有第（1）中的

条件，是否有这样的结论?试说明理由.

D

C

B

A

O

E

25．如图，∠B=∠C=90°M是BC的中点，DM平分∠ADC，求证：AM平分∠DAB.

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重点题型讲解

1.如图．已知在△ABC中，∠A、∠B的角平分线交于点O，过O作OP⊥BC于P，OQ⊥AC于Q，OR

⊥AB于R，AB=7，BC=8，AC=9．

（1）求BP、CQ、AR的长．

（2）若BO的延长线交AC于E，CO的延长线交AB于F，若∠A=60゜，求证：OE=OF．

2.如图．AE、BD是△ABM的高．AE、BD交于点C，且AE=BE，BD平分∠ABM．

（1）求证：BC=2AD；

（2）求证：AB=AE+CE；

（3）求证：DE平分∠MDB

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3.如图，点M（2，2），将一个90°的角尺的直角顶点放在点M处，角尺的两边分别交x轴、y轴正

半轴于A、B，AP平分∠OAB，交OM于点P，PN⊥x轴于N，把角尺绕点M旋转时：

（1）求证：OM平分∠AOB；

（2）求OA+OB的值

4.如图，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=α，AD、BE交于点H，连CH．

（1）求证：△ACD≌△BCE；

（2）求证：CH平分∠AHE；

（3）求∠CHE的度数．（用含α的式子表示）

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家庭作业

1角平分线上的点到_________________距离相等；到一个角的两边距离相等的点都在

_____________．

2、∠AOB的平分线上一点M，M到OA的距离为1.5cm，则M到OB的距离为_________.

3、如图，∠AOB=60°，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，且CD=CE，则∠DOC=_________.

4、如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是角平分线，DE⊥AB于E，且DE=3cm，BD=5cm，则

BC=_____cm.

5、三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到________________相等。

6、点O是△ABC内一点，且点O到三边的距离相等，∠A=60°，则∠BOC的度数为

_____________．

7、在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=32，且BD∶CD=9∶7，则D到

AB的距离为.

8、三角形中到三边距离相等的点是（）

A、三条边的垂直平分线的交点B、三条高的交点

C、三条中线的交点D、三条角平分线的交点

9、如图，∠1＝∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，下列结论错误的是（）

A、PD＝PEB、OD＝OEC、∠DPO＝∠EPOD、PD＝OD

10、如图，直线l

1

，l

2

，l

3

表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三

条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）

A、1处B、2处C、3处D、4处

11、如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB

＝6㎝，则△DEB的周长为（）

A、4㎝B、6㎝C、10㎝D、不能确定

2

1

D

A

P

O

E

B

l

2l1

l

3

第9题第10题第11题

第3题

第4题

D

C

A

E

B

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12、如图，MP⊥NP，MQ为△MNP的角平分线，MT＝MP，连接TQ，则下列结论中不正确

的是（）

A、TQ＝PQB、∠MQT＝∠MQPC、∠QTN＝90°D、∠NQT＝∠MQT

N

T

Q

P

M

E

D

C

B

A

E

D

C

B

A

F

第12题第13题第14题

13、如图在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于D，如果AC=3cm，那么AE+DE

等于()

A．2cmB．3cmC．4cmD．5cm

14、如图，已知AB=AC，AE=AF，BE与CF交于点D，则对于下列结论：①△ABE≌△ACF；

②△BDF≌△CDE；③D在∠BAC的平分线上．其中正确的是（）

A．①B．②C．①和②D．①②③

15、△ABC中，∠C=90°，点O为△ABC三条角平分线的交点，OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，

OF⊥AB于F，且AB=10cm，BC=8cm，AC=6cm，则点O到三边AB、AC、BC的距离为（）

A．2cm，2cm，2cm；B．3cm，3cm，3cm；

C．4cm，4cm，4cm；D．2cm，3cm，5cm

16、在Rt△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，

且∠BAD∶∠BAC＝1∶3，求∠B的度数．

17、已知：如图△ABC中，AB=AC，∠C=30°，

AB⊥AD，AD=4cm，求BC的长．

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18、如图11．3—4，在△ABC中∠C=900，AC=BC，AD平分．交BC于点D，

DE⊥BE

求证：（1）DE+BD=AC

（2）若AB=6cm，求△DBE的周长

19、如图11．3—6，已知：AB=AC，BD=CD，

求证：DE=DF

20、如图11．3—3，在，交BC于D，

若BC=10cm，BD=6cm，

求点D到AB的距离．

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21、如图ll．3—7，BN是的平分线，P在BN上，D、E分别在AB、BC上，

都不是直角，

求证：PD=PE

22．如图11．3—10，已知0为的平分线的交点，

0E_kAC于E，若0E=2

求0到AB与0到CD的距离之和．

23．如图11．3一ll，已知于F，BE、CF相交于点D若BD=CD

求证：