线面角的求法

线面角的求法

bopa-小学生抽烟

2023年2月17日发(作者：苏教版英语)

1

线面垂直方法的总结

我们学习了平面与直线垂直的定义、判定定理和性质定理，大家可以体会线线垂直在

证明线面垂直时的重要性，将“三维”问题转化为“二维”解决是一种重要的立体几何数学

思想方法.在处理实际问题过程中，可以先从题设条件入手，分析已有的垂直关系，再从结

论入手分析所要证明的重要垂直关系，从而架起已知与未知的“桥梁”，同学们下面欣赏常

见的线面垂直证明方法.

一、应用勾股定理

同学们知道如果一个三角形的边长满足

222cba

，则这个三角形是直角三角形，可以

得到线线垂直的关系.

例1：如图1所示，点

P

是梯形ABCD所在平

面外一点，

PD

平面ABCD，

AB

∥

CD

，已知

82ADBD，54AB.设M是

PC

上的一

点,求证:

BD

平面

PAD

.

证明:∵

PD

平面ABCD,

BD

平面ABCD

∴

PDBD

.

又∵8BD,4AD,54AB,

∴222CDBDAD

,∴∠90ADB,∴ADBD

又∵PD平面PAD,ADPAD,DADPD.

∴BD平面PAD.

二、应用等腰(等边)三角形三线合一性质

所谓三线合一的性质是等腰三角形底边的中线同时是高和角分线,可以很轻松的得到线

线垂直,从而为证明线面垂直做了很好的准备工作.

例2：如图2所示，已知PA垂直于O所在平面，AB是O的直径，

C

是O的圆周上异于A、B的任意一点，且PAAC，点E是线段

PC

的

中点.求证：AE平面PBC.

证明：∵PA

O所在平面，

BC

是O的弦，∴BCPA.

又∵AB是O的直径，ACB是直径所对的圆周角，∴BCAC.

∵

,PAACAPA

平面PAC，AC平面PAC.

∴BC平面PAC，AE平面PAC，∴AEBC.

∵PAAC，点E是线段

PC

的中点.∴AEPC.

∵PCBCC,PC平面PBC，BC平面PBC.

∴AE平面PBC.

此题利用AE三线合一是解题的关键,在遇到线段的中点时,同学们要注意向三角形的

三线合一转化.同时应用了圆的直径所对的圆周角是直角这个重要的结论，这点体现了平面

几何对于立体几何的重要性.

三、应用两条平行线的性质

大家知道两条平行线中如果有一条与一个面中的直线垂直,则两条平行线都与平面中的

A

B

C

D

P

M

图1

A

C

B

P

E

O



图2

2

直线垂直.在三角形中位线与底边平行,可以得到线线平行的关系,平行四边形对边平行也

可以得到线线平行,这样的结论很多,我们可以欣赏体会这样的方法.

例3:如图3所示,

P

为△ABC所在平面外一点,BC平面

PAB

,

G

为

PB

的中

点,

M

为

PC

的中点,

N

在

AB

上,NBAN3,求证:

AB

平面MNG.

证明:取

AB

的中点

H

,连结

PH

.

∵

G

为

PB

的中点,

M

为

PC

的中点,

∴GM为△PBC的中位线,∴GM∥

BC

.

∵BC平面

PAB

,

AB

平面

PAB

,

∴BC

AB

,∴

AB

GM.

又∵

PBPA

,

H

为线段

AB

的中点,∴

AB

⊥

PH

.

∵

G

为

PB

的中点,

N

为

HB

的中点,∴

PH

∥

GN

.∴

AB

⊥

GN

.

∵GMGNG

,GM平面MNG,GN平面MNG,

∴

AB

平面MNG.

本题GM和

GN

分别是所在三角形的中位线,对于证明方法有很大的帮助,同学们在

后的解题中要注意根据已知条件找到平行关系是解题的关键.

四、应用平面图形的几何性质

我们都发现在立体几何问题的解决中,平面图形的性质产生了很重要的地位,在学习立

体几何的过程中,平面几何的诸多知识点不能推广到三维空间,但同学们要注意平面图形的

性质在解决立体几何的时候会发挥很重要的作用.

例4:如图4所示,四边形ABCD是边长为1的菱形,点P

是菱形ABCD所在平面外一点，∠60BCD,E是

CD

的

中点,PA平面ABCD,求证:BE⊥平面PAB.

证明:∵PA平面ABCD,BE

平面ABCD,

∴PABE,如图5所示,

∵底面ABCD是的菱形,∠60BCD,

∴∠60ABD.

∵E是

CD

的中点,∴∠30DBE,

∴∠903060DBEBCDABE,

∴ABBE.

∵AABPA,PA平面PAB,AB平面PAB,

∴BE⊥平面PAB.

本题菱形ABCD的性质对于解决立体几何的线面垂直有着很重要

的作用,类似这样的方法很多,所以同学们要重视平面几何定义、定理、

性质的应用.以上解题方法体现了立体几何证明的一个重要的思想方法:

立体几何平面化,即转三维问题为二维,可以合理的解决立体几何问题.

五、利用线面垂直、线线垂直关系

线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决，其关系为：

线线垂直





判定

性质

线面垂直





判定

性质

面面垂直．这三者之间的关系非常密切，可以互相转化，

从前面推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理．同学们应当学会灵活应用这些

定理证明问题。

A

B

C

P

H

N

M

G

图3

A

B

C

E

D

P

图4

B

A

D

C

E

60

30

图5

3

4如图２，在三棱锥Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD，

作BE⊥CD，Ｅ为垂足，作AH⊥BE于Ｈ．求证：AH⊥平面BCD．

证明：取AB的中点Ｆ，连结CF，DF．

∵ACBC，∴CFAB．

∵

ADBD

，∴

DFAB

．

又

CFDFF

，∴

AB

平面CDF．

∵CD平面CDF，∴CDAB．

又CDBE，

BEABB

，

∴

CD

平面ABE，CDAH．

∵AHCD，

AHBE

，

CDBEE

，

∴

AH

平面BCD．

评注：本题在运用判定定理证明线面垂直时，将问题转化为证明线线垂直；而证明线线

垂直时，又转化为证明线面垂直．如此反复，直到证得结论．

5如图３，

AB

是圆Ｏ的直径，Ｃ是圆周上一点，

PA

平面ABC．若AE⊥PC，Ｅ为垂足，

Ｆ是PB上任意一点，求证：平面AEF⊥平面PBC．

证明：∵AB是圆Ｏ的直径，∴ACBC．

∵

PA

平面ABC，

BC

平面ABC，

∴PABC．∴

BC

平面APC．

∵

BC

平面PBC，

∴平面APC⊥平面PBC．

∵AE⊥PC，平面APC∩平面PBC＝PC，

∴AE⊥平面PBC．

∵AE平面AEF，∴平面AEF⊥平面PBC．

评注：证明两个平面垂直时，一般可先从现有的直线中寻找平

面的垂线，即证线面垂直，而证线面垂直则需从已知条件出发寻

找线线垂直的关系．

线面角的三种求法

1．直接法：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。通常是

解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元

素，它可以起到联系各线段的作用。

例1（如图1）四面体ABCS中，SA,SB,SC两两垂直，∠SBA=45°,∠SBC=60°,M为

AB的中点，求（1）BC与平面SAB所成的角。

（2）SC与平面ABC所成的角。

解:（1）∵SC⊥SB,SC⊥SA,

B

M

H

S

C

A图1

4

∴SC⊥平面SAB故SB是斜线BC在平面SAB上的射影，

∴∠SBC是直线BC与平面SAB所成的角为60°。

（2）连结SM,CM，则SM⊥AB,

又∵SC⊥AB,∴AB⊥平面SCM,

∴面ABC⊥面SCM

过S作SH⊥CM于H,则SH⊥平面ABC

∴CH即为SC在面ABC内的射影。

∠SCH为SC与平面ABC所成的角。

sin∠SCH=SH／SC

∴SC与平面ABC所成的角的正弦值为√7／7

（“垂线”是相对的，SC是面SAB的垂线，又是面ABC的斜线.作面的垂线常根据面面

垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的

垂线，则得面的垂线。）

2.利用公式sinθ=h／ι

其中θ是斜线与平面所成的角，h是垂线段的长，ι是斜线段的长，其中求出垂线段

的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线

段的长。

例2（如图2）长方体ABCD-A

1

B

1

C

1

D

1,

AB=3,BC=2,A

1

A=4，求AB与面AB

1

C

1

D

所成的角。

解：设点B到AB

1

C

1

D的距离为h,

∵V

B﹣AB1C1=V

A﹣BB1C1∴1／3S△AB1C1·h=1／3S△BB1C1·AB，易得h=12／5

设AB与面AB

1

C

1

D所成的角为θ,则sinθ=h／AB=4／5

图2

A

1

C

1

D

1

H

4

C

B

1

2

3

B

A

D

∴AB与面AB

1

C

1

D所成的角为arcsin4／5

3.利用公式cosθ=cosθ1

·cosθ

2

（最小角定理）

（如图3）若OA为平面的一条斜线，O为斜足，OB为OA在面α内的射影，OC为面α

内的一条直线，其中θ为OA与OC所成的角，

B

α

O

A

C

图3

θ1

为OA与OB所成的角，即线面角，θ

2

为OB与OC所成的角，那么cosθ=cosθ

1

·cosθ

2

（同

学们可自己证明），它揭示了斜线和平面所成的角是这条斜线和这个平面内的直线所成的一

5

切角中最小的角（常称为最小角定理）

例3（如图4）已知直线OA,OB,OC两两所成的角为60°,，求直线OA与面OBC所

成的角的余弦值。

解：∵∠AOB=∠AOC∴OA在面OBC内的射影在∠BOC的平分线OD上，则

∠AOD即为OA与面OBC所成的角，可知

∠DOC=30°,cos∠AOC=cos∠AOD·cos∠DOC

∴cos60°=cos∠AOD·cos30°

∴cos∠AOD=√3／3∴OA与面OBC所成的角的余弦值为√3／3。

O

α

D

A

C

B

图4

二面角大小的求法

二面角的类型和求法可用框图展现如下：

一、定义法：

直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面内作

棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性；

例、如图,已知二面角α-а-β等于120°,PA⊥α,A∈α,PB⊥

β,B∈β.求∠APB的大小.

P

O

B

A

6

例、在四棱锥P-ABCD中，ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，

PA=AB=a，求二面角B-PC-D的大小。

二、三垂线定理法：

已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或

逆定理作出二面角的平面角；

A

P

H

7

例、在四棱锥P-ABCD中，ABCD是平行四边形，PA⊥平面

ABCD，PA=AB=a，∠ABC=30°，求二面角P-BC-A的大小。

例、(2003北京春)如图,ABCD-A1B1C1D1是长方体,侧棱AA1长为1,底

面为正方体且边长为2,E是棱BC的中点,求面C1DE与面CDE所成二面角

的正切值.

例、ΔABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，平面ABC外一点P在平

面ABC内的射影是AB中点M，二面角P—AC—B的大小为45°。求（1）

二面角P—BC—A的大小；（2）二面角C—PB—A的大小

p

A

B

L

H

A

B

CD

A

1B

1

C

1

D

1

E

O

8

例、(2006年陕西试题)如图4，平面⊥平面，∩=l，A∈，

B∈，点A在直线l上的射影为A

1

，点B在l的射影为B

1

，已知

AB=2，AA

1

=1，BB

1

=2，求：二面角A

1

－AB－B

1

的大小.

三、垂面法：

已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半

图4

B

1

A





A

1

B

L

E

F

C

D

P

M

B

A

9

平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的

平面与棱垂直；

例、空间的点P到二面角

l

的面、



及棱l的距离分别为

4、3、

3

392，求二面角

l

的大小.

四、射影法：（面积法）

利用面积射影公式S射＝S原cos,其中为平面角的大小，此

方法不必在图形中画出平面角；

例、在四棱锥P-ABCD中，ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA

＝AB＝a，求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小。

l

A

B

D

P

P





l

C

B

A

10

例、如图，设M为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CC1的中点，求平面

BMD1与底面ABCD所成的二面角的大小。

五、平移或延长（展）线（面）法

对于一类没有给出棱的二面角，应先延伸两个半平面，使之相交

出现棱，然后再选用上述方法（尤其要考虑射影法）。

例、在四棱锥P-ABCD中，ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，

PA＝AB＝a，求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小。

A

H

M

D

1

C

1

B

1

A

1

B

CD

P

C1

A1

B1

A

B

C

D

P

A

B

C

D