矩阵运算法则
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2023年2月17日发(作者：国模梦怡)矩阵的运算及其规则
⼀、矩阵的加法与减法
1、运算规则
设矩阵，，
则
简⾔之，两个矩阵相加减，即它们相同位置的元素相加减！
注意：只有对于两个⾏数、列数分别相等的矩阵（即同型矩阵），加减法运算才有意义，即加减运算是可⾏的．
2、运算性质（假设运算都是可⾏的）
满⾜交换律和结合律
交换律 ；
结合律 ．
⼆、矩阵与数的乘法
1、运算规则
数乘矩阵A，就是将数乘矩阵A中的每⼀个元素，记为或．
特别地，称称为的负矩阵．
2、运算性质
满⾜结合律和分配律
结合律：(λμ)A=λ(μA)；(λ+μ)A=λA+μA．
分配律：λ(A+B)=λA+λB．
典型例题
例6.5.1 已知两个矩阵
满⾜矩阵⽅程，求未知矩阵．
解 由已知条件知
三、矩阵与矩阵的乘法
1、运算规则
设，，则A与B的乘积是这样⼀个矩阵：
(1)⾏数与（左矩阵）A相同，列数与（右矩阵）B相同，即．
(2)C的第⾏第列的元素由A的第⾏元素与B的第列元素对应相乘，再取乘积之和．
典型例题
例6.5.2 设矩阵
计算
解 是的矩阵．设它为
想⼀想：设列矩阵，⾏矩阵，和的⾏数和列数分别是多少呢
是3×3的矩阵，是1×1的矩阵，即只有⼀个元素．
课堂练习
1、设，，求．
2、在第1道练习题中，两个矩阵相乘的顺序是A在左边，B在右边，称为A左乘B或B右乘A．如果交换顺序，让B在左边，A在右边，即A右乘B，运算
还能进⾏吗？请算算试试看．并由此思考：两个矩阵应当满⾜什么条件，才能够做乘法运算．
3、设列矩阵，⾏矩阵，求和，⽐较两个计算结果，能得出什么结论吗？
4、设三阶⽅阵，三阶单位阵为，试求和，并将计算结果与A⽐较，看有什么样的结论．
解：
第1题
．
第2题
对于
，．
求是有意义的，⽽是⽆意义的．
结论1 只有在下列情况下，两个矩阵的乘法才有意义，或说乘法运算是可⾏的：左矩阵的列数＝右矩阵的⾏数．
第3题
是矩阵，是的矩阵．
．
结论2 在矩阵的乘法中，必须注意相乘的顺序．即使在与均有意义时，也未必有=成⽴．可见矩阵乘法不满⾜交换律．
第4题
计算得：．
结论3 ⽅阵A和它同阶的单位阵作乘积，结果仍为A，即．
单位阵在矩阵乘法中的作⽤相当于数1在我们普通乘法中的作⽤．
典型例题
例6.5.3 设，试计算和．
解
．
结论4 两个⾮零矩阵的乘积可以是零矩阵．由此若，不能得出或的结论．
例6.5.4 利⽤矩阵的乘法，三元线性⽅程组
可以写成矩阵的形式
＝
若记系数、未知量和常数项构成的三个矩阵分别为
，，，
则线性⽅程组⼜可以简写为矩阵⽅程的形式：．
2、运算性质（假设运算都是可⾏的）
(1) 结合律 ．
(2) 分配律 （左分配律）；
（右分配律）．
(3) ．
3、⽅阵的幂
定义：设A是⽅阵，是⼀个正整数，规定
，
显然，记号表⽰个A的连乘积．
四、矩阵的转置
1、定义
定义：将矩阵A的⾏换成同序号的列所得到的新矩阵称为矩阵A的转置矩阵，记作或．
例如，矩阵的转置矩阵为．
2、运算性质（假设运算都是可⾏的）
(1)
(2)
(3)
(4) ，是常数．
典型例题
例6.5.5利⽤矩阵
验证运算性质：
解 ；
⽽
所以
．
定义：如果⽅阵满⾜，即，则称A为对称矩阵．
对称矩阵的特点是：它的元素以主对⾓线为对称轴对应相等．
五、⽅阵的⾏列式
1、定义
定义：由⽅阵A的元素所构成的⾏列式（各元素的位置不变），称为⽅阵A的⾏列式，记作或．
2、运算性质
(1)（⾏列式的性质）
(2)，特别地：
(3)（是常数，A的阶数为n）
思考：设A为阶⽅阵，那么的⾏列式与A的⾏列式之间的关系为什么不是，⽽是？
不妨⾃⾏设计⼀个⼆阶⽅阵，计算⼀下和．
例如，则．
于是，⽽．
思考：设，有⼏种⽅法可以求？
解⽅法⼀：先求矩阵乘法，得到⼀个⼆阶⽅阵，再求其⾏列式．
⽅法⼆：先分别求⾏列式，再取它们的乘积．