北京五中
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2023年2月13日发(作者：)北京市五中2012届高三数学上学期期中考试试题理
班级姓名学号成绩
一.选择题（每题5分，共40分）
1.设全集
,RI
若集合}.02{},2{2xxxNxxM则下列结论正确的是
()
2.已知非零实数a、
b
满足
,ba
则下列不等式中成立的是()
3.等比数列}{
n
a的前n项和为
n
S，21,6
32
Sa则公比q等于()
.A2.B
2
1
.C2或
2
1
.D2或
2
1
4.若点
),(yxP
是300角终边上异于原点的一点,则
x
y
的值为()
5.已知点
)0,1(),0,1(BA
,
C
为平面内一动点,且满足,2BCAC那么点
C
的轨
迹方程为()
6.对函数
,sin)(xxxf
现有下列命题:
①函数
)(xf
是偶函数;②函数
)(xf
的最小正周期是
;2
③点)0,(是函数)(xf的图像的一个对称中心;
④函数)(xf在区间]
2
,0[
上单调递增,在区间]0,
2
[
上单调递减.
其中是真命题的是()
.A
①③
.B
①④
.C
②③
.D
②④
7.设等差数列}{
n
a的前n项和为,
n
S且满足,0,0
1615
SS则
15
15
2
2
1
1,,,
a
S
a
S
a
S
中最大
的项为()
8.若关于ba,的代数式
),(baf
满足:①
;),(aaaf
②
);,(),(bakfkbkaf
③);,(),(),(
22112121
bafbafbbaaf④
).
2
,(),(
ba
bfbaf
则),(yxf()
二.填空题（每题5分，共30分）
9.已知
,
5
3
sin且
),,
2
(
那么
2cos
2sin
的值等于.________
10.已知
,3,2baa、b的夹角为,60则
._____2ba
11.函数
),
52
sin(2)(
x
xf
对任意的
,Rx
都有)()()(
21
xfxfxf成立，则
21
xx的最小值为.________
12.已知
ACBD、
为⊙
O
:922yx的两条相互垂直的弦，垂足为),3,2(M则四
边形
ABCD
的面积的最大值为.
13.已知函数
)1(121)1(2ayabxxa的定义域为
,R
则
ab3
的取值范围是
14.在平面直角坐标系中,定义
2121
),(yyxxQPd为两点),,(
11
yxP
),(
22
yxQ之间的“折线距离”.则坐标原点
O
与直线0522yx上一点的“折
线距离”的最小值为_______;圆122yx上一点与直线0522yx上一点的
“折线距离”的最小值为.________
三.解答题(本题满分80分)
15.(本题满分13分)
在锐角ABC中，角
,,ABC
的对边分别为),1,sin(),2,(,,,Anbamcba且nm//.
⑴求B的值；
⑵求
CAsincos
的取值范围.
16.(本题满分13分)
已知:以点
)0,()
2
,(mRm
m
mC
为圆心的圆与x轴交于点O、,A与y轴交于点O、
,B其中
O
为原点.
(1)求证:OAB的面积为定值;
(2)设直线
42xy
与圆
C
交于点M、,N若,ONOM求⊙
C
的方程.
17.(本题满分13分)
已知四棱锥
ABCDP
的底面
ABCD
是边长为2的正方形,PD底面
ABCD
,
E、F分别为棱
BC
、AD的中点.
(1)求证:
//DE
平面
;PFB
(2)已知二面角CBFP的余弦值为,
6
6
求四棱锥ABCDP的体积.
18.(本题满分13分)
某同学参加3门课程的考试.假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为
,
5
4
第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为),(,qpqp且不同课程是否取得
P
F
E
D
C
B
A
优秀成绩相互独立,记为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为
0123
(1)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；
(2)求p，q的值；
(3)求数学期望
.E
19.(本题满分14分)
已知函数32
11
()(0)
32
fxxaxxba
，
\'()fx
为函数()fx的导函数．
(1)设函数
)(xf
的图象与x轴交点为
,A
曲线
)(xfy
在A点处的切线方程是
33yx
，求
,ab
的值；
(2)若函数()\'()axgxefx，求函数
()gx
的单调区间．
20.(本题满分14分)
设等差数列}{
n
a的公差
,0d
且),(0Nna
n
记
n
S为数列}{
n
a的前n项和.
(1)若
2
a、
3
a、
5
a成等比数列,且
5
a、
6
a的等差中项为,36求数列}{
n
a的通项公式;
(2)若m、n、,Np且
,2pnm
证明：;
211
pnm
SSS
(3)若,
1005
1
503
a证明:.2008
111
200721
SSS
答案
一.选择题
1.D2.A3.
C
4.D5.B6.B7.
C
8.A
二.填空题
9.
2
3
10.1311.212.1113.
)3,(
14.
2
5
5(第一空2分,第二空3分)
三.解答题
15.解:
16.解:
(1)由已知可设⊙
C
的方程为:
2,
4
)
2
()(
2
222
m
m
m
ymx
分
分别令
,0,0xy
易知
4),
4
,0(),0,2(
m
BmA
分
,4
4
2
2
1
2
1
m
mOBOAS
AOB
故
OAB
的面积为定值
64
分.
(2)CONOM,为圆心,
8MNCO
分
,1
MNCO
kk而直线
MN
的方程为
,42xy
102,
2
12
2
2
m
m
m
m
k
CO
分
当2m时,⊙
C
与直线
MN
相离,不合题意舍去……11分
所以⊙
C
的方程为13.5)1()2(:22yx分
17.解:
(2)以D为原点,直线
DPDCDA,,
分别为zyx,,轴建立空间直角坐标系.设
,aPD
可得如下点的坐标:
).0,2,2(),0,0,1(),,0,0(BFaP
则有7).0,2,1(),,0,1(FBaPF分
因为PD底面,ABCD所以平面ABCD的一个法向量为8).1,0,0(m分
设平面PFB的一个法向量为),,,(zyxn则可得
0
0
nFB
nPF
即
02
0
yx
azx
令,1x得
,
2
1
,
1
y
a
z
所以
10).
1
,
2
1
,1(
a
n
分
由已知,二面角
CBFP
的余弦值为,
6
6
所以得
,
6
6
1
4
5
1
,cos
2
a
a
nm
122a
分
13.
3
8
42
3
1
ABCDP
V
分
18.解：
事件
i
A表示“该生第i门课程取得优秀成绩”，i=1,2,3，由题意知
1
4
()
5
PA
，
2
()PAp，
3
()PAq2
分
(1)由于事件“该生至少有1门课程取得优秀成绩”与事件“
0
”是对立的，所
以该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率是
6119
1(0)1
125125
P
，4分
答:该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率是.
125
119
(2)由题意知
整理得
6
125
pq
，
1pq
由pq，可得
3
5
p，
2
5
q.8分
19.解:
(1)∵32
11
()(0)
32
fxxaxxba，∴2\'()1fxxax．
∵()fx在(1,0)处切线方程为
33yx，∴
\'(1)3
(1)0
f
f
，
即1a，
6
11
b.……5分
(2)
\'()
()
ax
fx
gx
e
21
ax
xax
e
()xR．
\'()gx
2
2
(2)(1)
()
axax
ax
xaeaxaxe
e
2[(2)]axxaxae.……7分
①当
0a
时，\'()2gxx，
()gx的单调递增区间为(0,)，单调递减区间为(,0)．
②当
0a
时，令
\'()0gx
，得
0x
或
2
xa
a
（ⅰ）当
2
0a
a
，即02a时，
()gx
的单调递增区间为
22
(0,)
a
a
，单调递减区间为
(,0)
，
22
(,)
a
a
；
（ⅱ）当
2
0a
a
，即2a时，
\'()gx2220xxe
，
故
()gx
在
(,)
单调递减；
（ⅲ）当
2
0a
a
，即2a时，
()gx在
22
(,0)
a
a
上单调递增，在
(0,)
，
22
(,)
a
a
上单调递综上所述，当
0a
时，
()gx
的单调递增区间为
(0,)
，单调递减区间为
(,0)
；
当
02a
时，
()gx
的单调递增区间为
22
(0,)
a
a
，单调递减区间为
(,0)
，
当
2a
时，
()gx
的单调递减区间为
(,)
；
当
2a
时，()gx的单调递增区间为
22
(,0)
a
a
，单调递减区间为
(0,)
，
22
(,)
a
a
．……14分
20.解:
(1)由已知得,
52
2
3
aaa即),4)(()2(
11
2
1
dadada
化简得:,0
1
da
,0d
.0
1
a
而,72
65
aa即.8,7292
1
dda
故4.88na
n
分
(3)
.
20072
2
1
)
11
(
2
11
1004
2007
1
10042008
2007
1
2007
SSSSS
n
n
n
n
an
n
而
,
1005
1004
1004)502(1004
2
10031004
1004
503111004
adadaS.
1004
10051
1004
S
14.2008
1004
2
1004
2007
1
SS
n
n
分